Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Название предмета: Геометрия
Класс: 9 класс
УМК Л.С. Атанасян и др., учебник геометрии 7 – 9 классов, Москва «Просвещение» 2008
Уровень обучения : базовый
Тема урока: «Теоремы синусов и косинусов».
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 1 час
Место урока в системе уроков по теме: 5 урок в разделе «Соотношения между сторонами и углами треугольника», урок изучения нового материала
Цель урока: 1) доказать теорему синусов и косинусов и показать их применение
при решении задач
2) закрепить теорему о площади треугольника и совершенствовать навыки решения задач на ее применение
3) развивать мышление, логику, интерес к предмету.
Задачи урока:- научить решать задачи на применение теоремы синусов и косинусов.
Планируемые результаты: использовать знания при решение задач на нахождение сторон и углов треугольника.
Техническое обеспечение урока: мультимедийный проектор, компьютер
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на интернет-ресурсы:
Тесты по геометрии к учебнику Л.С.Атанасяна 9 класс Москва «Экзамен» 2010;
Поурочные планы по геометрии в 9 классе по учебнику Л.С. Атанасяна;
сайт вариантов ОГЭ по математике - www.alexlarin.ru
Электронное приложение к учебнику Геометрия. 7—9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина
Содержание урока
Ход урока.
I. Организационный момент. Тема нашего сегодняшнего урока «Теоремы синусов и косинусов». Цели нашего урока: доказать теорему синусов и косинусов и показать их применение; закрепить теорему о площади треугольника и совершенствовать навыки решения задач на ее применение; развить мышление, логику, интерес к предмету/
II. Проверка домашнего задания.
Задача. В △ АВС медианы АА1 и СС1 пересекаются в точке О. АА1 =15 см,
СС1 =18см, ∠ АОС1 = 60º. Найти: S △ ABC.
Дано: △ АВС, АА1 , СС1 - медианы;
АА1 ⋂ СС1 = О ; АА1 = 15 см;
B СС1 = 18 см ; ∠АОС1 = 60º
Найти: S △ ABC
А С
Решение: По свойству медианы треугольника,они делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины.
АО = 2/3 АА1 = 10 см, ОС1 = 1/3 СС1 = 6 см
S△ AOC1 = ½ AO OC1 sin 60º = ½ 10 6 √ 3 / 2 = 15 √3 см²
S △ ABC = 6 15 √ 3 = 90 √3 см²
Ответ : 90 √3 см²
III. Актуализация знаний учащихся.
1)Работа по индивидуальным карточкам (задания разной мотивации) (4 человека) (см. приложение)
2) Весь класс выполняет остальные задания (самостоятельная работа в приложении)
( дети меняются местами и проверяют правильность задания на доске, где изображены правильные ответы)
IV. Изучение нового материала.
Решите задачу: Путник, стоящий на берегу моря, заметил в море корабль. Как измерить расстояние до корабля?.
Проблема не хватает знаний для решения этой задачи.
А решить ее поможет теорема синусов.
Итак, теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов.
Дано: △ ABC, a, b, c - стороны
С a b c
b Доказать: ----- = --------- = ------
А sin A sin B sin C
Доказательство: 1) Какая формула выражает зависимость между сторонами треугольника и синусами его углов? (Формула для вычисления площади треугольника)
S △ ABC = ½ ab sin C (1)
S △ ABC = ½ ac sin B (2)
S △ ABC = ½ bc sin A (3)
½ ab sin C = ½ ac sin B ½ ac sin B = ½ bc sin A
b sin C = c sin B a sin B = b sin A
b c a b
------ = ------- ; ------- = -------
sin B sin C sin A sin B
a b c
--------- = --------- = --------
sin A sin B sin C что и требовалось доказать.
IV Закрепление материала
А теперь вернемся к нашей задаче, приняв <А=30°, <В=45°, АВ=100 м.
Для решения некоторых задач недостаточно теоремы синусов, существует еще теорема косинусов.
Теперь ребята давайте рассмотрим и докажем теорему косинусов:
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В
y
Дано: △ АВС
AB = c, BC = a, AC = b с а
Доказать: a² = b² + c² - 2bc cos A
Доказательство:
А b С x
Поместим треугольник АВС в прямоугольную систему координат.
B С² = (b cos α - c)² + (b sin α - 0)²
B С² = b² cos² α - 2bc cos α + c² + b² sin ² α =
= b² ( cos² α + sin² α ) + c² - 2bc cos α = b² + c² - 2bc cos α
a² = b ² + c ² - 2bc cos α что и требовалось доказать.
Историческая справка.
Теорема синусов была впервые доказана в X – XII вв математиками Ближнего и Среднего Востока. Открытие этой теоремы сыграло важнейшую роль в развитии тригонометрии.
Теорему косинусов знали еще древние греки, ее доказательство содержится во 2 книге «Начал» Евклида.
V. Закрепление изученного материала. Работа по группам (Решение задач ОГЭ).
1) Дано: треугольник АВС, АС=12см, ےА= 75°, ےС= 60°.
Найти АВ и площадь треугольника АВС.
Решение.
1)ےВ=180°-(ےА+ےС)=45°.
2)По теореме синусов:=
AB= = 6
3) S =1/2 AB*AC* sinA
S= ½*6*12 sin 75(cм2 )
Ответ: АВ= 6 см; S87 см2.
2) Дано: АВС, АВ = 4, ВС = 4, АС = 5.
Определить вид АВС.
Решение. В АВС АВ = ВС = АВС – равнобедренный, т.к. в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, то В – больший угол АВС, а следовательно, вид треугольника определяется углом В.
По теореме косинусов: АС 2=АВ2 +ВС2 -2 АВ*ВС*cosB; Cos B = ,
т.е. Cos B = (16+16-25):32 = .
т.к Сos B > 0, то ⦟ В – острый.
Следовательно, данный треугольник – остроугольный.
3) № 1025(а,е)
а) Дано: ∠ А = 60, ∠ В = 40 , с = 14
Найти: ∠ С, а, b
Решение.
1) ∠ С = 180º - ( ∠ А + ∠В) = 80º
2) а/ sin 60º= b / sin 40º = 14 / sin 80º
a = 14 sin 60º / sin 80º≈ 12,3; b = 14 sin 40º / sin 80º ≈ 9,1
В Дано: а =6,3; b = 6,3; ∠ С = 54º .
Найти : с, ےВ, ےА
е) А С
Решение.
1) По теореме косинусов: с² = 6,3² + 6,3² - 2 6,3 6,3 cos 54º =
= 2 6,3² (1 - cos 54º ) ≈ 5,7
2) По теореме синусов: a / sin A = b / sin B = c / sin C
6,3/ sin A = b / sin B = 5,7 / sin 54º
sin A = sin B = (6,3 sin 54º ) / 5,7
∠ A = ∠ B = 63º
Обсуждение решенных задач.
VI Задание на дом: п.97, п. 98, № 1020 (а,в), №1023
Дополнительная задача: Найдите угол В треугольника АВС, если АВ = 2 см, ВС = 3 см и его площадь равна 3 см2.
VII. Подведение итогов урока. Рефлексия. Выставление оценок
Продолжите предложение
Сегодня на уроке я ….
Полученные знания мне …
Автор(ы): Жамбулатов С. А.
Скачать: Геометрия 9кл - Конспект.docxАвтор(ы): Жамбулатов С. А.
Скачать: Геометрия 9кл - Приложение.docx
