Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета

Учителю
  • Быстрый поиск
  • Расширенный поиск
Тип материала:
Разделы:
Темы:

Теоремы синусов и косинусов (Жамбулатов С. А.)

Текст урока

  • Конспект

     Название предмета: Геометрия 
    Класс: 9 класс 
    УМК  Л.С. Атанасян и др.,  учебник  геометрии  7 – 9 классов, Москва «Просвещение» 2008
    Уровень обучения : базовый
    Тема урока: «Теоремы синусов и косинусов».
    Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 1 час
    Место урока в системе уроков по теме: 5 урок в разделе «Соотношения между сторонами и углами треугольника», урок изучения нового материала 
    Цель урока:  1) доказать  теорему  синусов  и  косинусов  и  показать  их  применение         
       при  решении  задач
        2) закрепить  теорему  о  площади  треугольника  и  совершенствовать    навыки  решения  задач  на  ее  применение
        3) развивать  мышление,  логику,  интерес  к  предмету.
    Задачи урока:- научить решать задачи на применение теоремы синусов и косинусов.
    Планируемые результаты: использовать знания при решение задач на нахождение сторон и углов треугольника.
    Техническое обеспечение урока: мультимедийный проектор, компьютер
    Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на интернет-ресурсы: 
    Тесты по геометрии к учебнику Л.С.Атанасяна 9 класс Москва «Экзамен» 2010;
    Поурочные планы по геометрии в 9 классе по учебнику Л.С. Атанасяна; 
    сайт вариантов ОГЭ по математике -  www.alexlarin.ru
    Электронное приложение к учебнику Геометрия. 7—9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина
    
    Содержание урока
                                                          Ход  урока.
    I.  Организационный  момент. Тема нашего сегодняшнего урока «Теоремы синусов и косинусов». Цели нашего урока:  доказать  теорему  синусов  и  косинусов  и  показать  их  применение;  закрепить  теорему  о  площади  треугольника  и  совершенствовать    навыки  решения  задач  на  ее  применение; развить  мышление,  логику,  интерес  к  предмету/
    II. Проверка  домашнего  задания. 
    Задача.  В    △ АВС   медианы  АА1  и  СС1 пересекаются  в  точке   О.  АА1 =15 см,
                   СС1 =18см,    ∠ АОС1 = 60º.   Найти:  S △ ABC.
    
                                                                            Дано:   △ АВС,   АА1  ,   СС1  -  медианы;                                                   
                                                                                        АА1    ⋂   СС1   = О ;  АА1  = 15 см;
                                   B                                                       СС1  =  18 см ;   ∠АОС1 =  60º
                     Найти:   S  △ ABC
         А                                                                 С
            Решение:  По свойству медианы треугольника,они делятся точкой пересечения    в  отношении  2 : 1,  считая  от  вершины.
                      АО =  2/3 АА1  =  10 см,   ОС1  =  1/3  СС1 = 6 см
                         S△ AOC1 = ½ AO  OC1  sin 60º  =  ½ 10  6 √ 3 / 2 = 15  √3  см²
      S △ ABC = 6 15 √ 3  =  90  √3   см²
    Ответ : 90  √3   см²
    III. Актуализация знаний учащихся. 
     1)Работа  по  индивидуальным  карточкам (задания разной мотивации)  (4  человека) (см. приложение)
    2)  Весь  класс  выполняет остальные задания (самостоятельная работа в приложении)
     ( дети  меняются  местами  и  проверяют  правильность  задания  на  доске,  где  изображены   правильные  ответы)
       IV.   Изучение  нового   материала.
                                                       
          Решите задачу: Путник, стоящий на берегу моря, заметил в море корабль. Как измерить расстояние до корабля?. 
    Проблема не хватает знаний для решения этой задачи. 
    А решить ее поможет теорема синусов.
    
     Итак,  теорема  синусов: Стороны  треугольника  пропорциональны  синусам  противоположных  углов.
                                   
          Дано:   △ ABC, a,  b,   c  -   стороны     
                                                                                           
     С                   a            b               c
                                           b                                        Доказать:   ----- =    ---------   =   ------
    А                                                                                                sin   A       sin   B    sin   C
    
    Доказательство:  1)  Какая  формула  выражает  зависимость  между  сторонами  треугольника  и  синусами  его  углов?  (Формула  для   вычисления  площади  треугольника)
                            S △ ABC       =  ½ ab  sin   C       (1)
                            S  △ ABC      =  ½ ac  sin   B       (2)
                             S  △ ABC       =  ½ bc  sin   A     (3)
                    ½ ab  sin  C  =  ½ ac  sin   B                        ½ ac  sin  B  =  ½ bc  sin  A
                       b  sin  C   =   c  sin  B                                  a  sin  B    =  b  sin  A
                            b                         c                                      a                      b          
                          ------        =        -------  ;                              -------    =         -------
                       sin   B                  sin  C                               sin    A              sin  B
                                 a               b                 c
                            ---------  =   ---------   =   --------
                            sin   A         sin   B         sin   C    что и требовалось доказать.
                                         
             
          IV Закрепление материала
          А теперь вернемся к нашей задаче, приняв <А=30°, <В=45°, АВ=100 м.
              
         Для решения некоторых задач недостаточно теоремы синусов, существует еще теорема косинусов.
              Теперь ребята давайте рассмотрим и докажем теорему косинусов: 
    Квадрат   стороны   треугольника  равен  сумме  квадратов  2-х   других  сторон   минус  удвоенное  произведение  этих  сторон   на  косинус  угла  между  ними.           В
                                                                                                   y
      Дано:       △  АВС
      AB = c,  BC = a,  AC = b	       с                                    а       
    Доказать:  a²  =  b²   +  c²  -  2bc  cos A
                                                  Доказательство:                
    
    
                                                                                                     А                       b                       С   x    
    Поместим   треугольник   АВС  в  прямоугольную  систему   координат.
                              B С²  =  (b cos α    -  c)²     +  (b sin α    -  0)²
                              B С²   =  b²  cos² α   -   2bc cos α   +  c²   +  b²   sin ² α   =
                      =  b²  ( cos² α    +  sin² α     )  +  c²   -  2bc  cos α  =  b²  +   c²   -  2bc  cos α 
                                     a²   =   b ²   +    c ²   -  2bc  cos α     что и требовалось доказать.
    
        Историческая  справка.
        Теорема  синусов  была  впервые  доказана  в  X – XII  вв  математиками  Ближнего  и  Среднего  Востока.  Открытие  этой  теоремы  сыграло  важнейшую   роль   в  развитии  тригонометрии.
         Теорему  косинусов  знали  еще  древние  греки,  ее  доказательство  содержится  во   2  книге  «Начал»  Евклида.
    V. Закрепление изученного материала. Работа по группам (Решение   задач  ОГЭ).   
    1) Дано: треугольник АВС, АС=12см, ےА= 75°, ےС= 60°.
    Найти АВ и площадь треугольника АВС.
    Решение.
    1)ےВ=180°-(ےА+ےС)=45°.
    2)По теореме синусов:=
    AB= = 6
    3) S =1/2 AB*AC* sinA
    S= ½*6*12 sin 75(cм2 )
    Ответ: АВ= 6 см; S87 см2.
    
    2) Дано:  АВС, АВ = 4, ВС = 4, АС = 5.
    Определить вид   АВС.
    Решение. В  АВС АВ = ВС =  АВС – равнобедренный, т.к. в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, то В – больший угол  АВС, а следовательно, вид треугольника определяется углом В.
    По теореме косинусов: АС 2=АВ2 +ВС2 -2 АВ*ВС*cosB;          Cos B = , 
    т.е. Cos B = (16+16-25):32 =  . 
    т.к Сos B > 0, то ⦟ В – острый.
    Следовательно, данный треугольник – остроугольный.
    3) №  1025(а,е)
               а)    Дано:    ∠ А = 60,   ∠ В  = 40 ,   с = 14
        Найти:   ∠ С,  а,  b
                                                          Решение.
                  1) ∠ С =  180º  -  ( ∠ А  +  ∠В) =  80º
                   2)  а/  sin  60º=  b / sin 40º =  14  /  sin 80º
                 a = 14 sin 60º  /   sin 80º≈ 12,3;    b  =  14 sin 40º  /  sin 80º ≈ 9,1
    
          
    
                                      В                                              Дано:    а =6,3;  b  =  6,3;   ∠ С =  54º  .    
                                                                                      Найти : с, ےВ, ےА
    
                                                                                             
          е)      А                                                               С                                                     
                                                           Решение.
    
                   1)  По  теореме  косинусов:   с²   =  6,3²   +  6,3²   -  2   6,3   6,3  cos 54º  =
                                                                 
                                                                  =  2  6,3²  (1 -  cos 54º  ) ≈  5,7
    
                    2)  По  теореме  синусов:  a /  sin  A  =  b /  sin  B =  c / sin C
    
                                               6,3/ sin  A =  b /  sin  B =  5,7 /  sin 54º
    
                                               sin  A  =  sin  B = (6,3  sin 54º  ) / 5,7
    
                                                       ∠ A   = ∠ B  =   63º
    Обсуждение решенных задач.
    
    VI  Задание  на  дом:    п.97,  п. 98,  №  1020 (а,в),  №1023 
    Дополнительная задача: Найдите угол В треугольника АВС, если АВ = 2  см, ВС = 3 см и его площадь равна 3 см2.
    VII. Подведение итогов урока. Рефлексия. Выставление оценок 
    Продолжите предложение
    Сегодня на уроке я ….
    Полученные знания мне …
    
    
    
    
               
    
    
    
    
    
    
    
    
     

    Автор(ы): Жамбулатов С. А.

    Скачать: Геометрия 9кл - Конспект.docx

Задания к уроку