Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета

Учителю
  • Быстрый поиск
  • Расширенный поиск
Тип материала:
Разделы:
Темы:

Тип материала

Теорема о площади треугольника. Теорема синусов

Текст урока

  • Конспект

     
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    Предмет
    Геометрия
    
    Класс
    9
    
    Тема и номер урока 
    Теорема о площади треугольника. Теорема синусов , 1 час в теме
    
    Базовый учебник
    
      Уровень обучения             
    Геометрия 7-9. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др., 2012.
    Базовый
    Цель  урока: Доказать теорему о площади треугольника и теорему синусов. Применять знания, умения, навыки в измененной ситуации.
    Задачи:
     Обучающие: Создать условия для: закрепления понятий площадь треугольника и теорема синусов.. Организовать деятельность учащихся по самостоятельному применению знаний.
    -развивающие: Развивать интеллектуальные способности, мыслительные процессы, речь, память. Содействовать развитию у школьников умений выделять главное. 
    -воспитательные: Воспитывать у учащихся культуру самообразования, творческую активность, самостоятельность.
    Техническое оборудование: Компьютер, проектор, доска
    Ход урока
    I. Организационные моменты.
    Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
    II. Актуализация знаний учащихся:
    1. Проверка выполнения домашнего задания
    2. Проверка опорных знаний обучающихся.
    Провести математический диктант (10 мин).
    Вариант I
    1. Найдите площадь треугольника, если его основание равно 7 см, а высота равна 4 см.
    2. Найдите синус угла, если его косинус равен .
    3. Найдите синус угла, если синус смежного с ним угла равен 0,3.
    4. Начертите треугольник АВС с тупым углом С. Проведите высоту треугольника из вершины В.
    5. Луч ОС образует с положительной полуосью абсцисс угол 60°. Найдите координаты точки С, если ОС = 6 дм.
    6. Определите, каким – остроугольным, прямоугольным или тупоугольным – является треугольник, два угла которого равны 43° и 48°.
    7. Точка С единичной полуокружности имеет координаты . Найдите угол, который образует луч ОС с положительной полуосью ОХ.
     Взаимопроверка.
    III. Объяснение нового материала.
    1. Доказательство теоремы о площади треугольника можно организовать в форме беседы по вопросам:
    1) чему равна площадь любого треугольника?
    
    2) Какие формулы применяются для вычисления координат точки?
    формулы вычисления координат точки с положительной ординатой  - координаты точки А.
    2. Формулы приведения
    
    
    1. По рисунку 292 учебника провести доказательство теоремы о площади треугольника.
    2. Устно решить задачу: найти площадь треугольника АВС, если АВ = 12 см, АС = 8 см, А = 30°.
    3. Проблемная ситуация.
    Предлагается решить устно задачу
    Верно ли для треугольника равенство: ?
    
    c=c=c
    
    После того, как обучающиеся убедятся, что в прямоугольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов, ставится вопрос:«Верно ли это утверждение для любого треугольника?». Ответ получим после доказательства теоремы синусов
    3. Доказать теорему синусов, используя теорему о площади треугольника.
    1). Теорема: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
    Доказательство. Пусть в  AB = c,BC = a, AC = b.
    Докажем, что .
    По теореме о площади треугольника
    
    Из первых двух равенств получаем значит, аналогично, из второго и третьего равенств следует  Итак, . Теорема доказана.
    
    Теорему можно записать и в другом виде: 
    
    2). В теореме синусов в том виде, в каком мы ее получили, присутствует недоговоренность: мы узнали, что отношения сторон к синусам противолежащих им углов равны между собой, но чему же именно равны эти отношения? Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к рисунку
    
    
    
    Для начала вспомним, как связаны угловая величина дуги и длина стягиваемой ей хорды. Из равнобедренного треугольника АВО на рис.  видно, что если дугаАВ имеет угловую величину, а радиус окружности равен R, то AB=2AM=2Rsin( (на рисунке дуга занимает меньшую из двух половин окружности, но величина дуги, дополняющей дугу AB до полной окружности, равна  и, так что формулой можно пользоваться для любых дуг).
    Из теоремы о вписанном угле( величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается) следует, что величина углаАМВ, где точки А, М, В лежат на одной окружности (рис а)), полностью определяется
    
    
    дугой АВ и не зависит от положения точки M вне дуги AB: на рис б). УглыAM1B, AM2B, AM3B и т. д. равны.
    
    Теперь, когда в нашем распоряжении есть теорема о вписанном угле, мы можем наконец уточнить теорему синусов. Именно, рассмотрим треугольник ABCс углами A=, B=, C= и сторонами АВ=с, ВС=а, СА=b, и опишем около него окружность. Радиус окружности обозначим через R. В этой окружности длина хорды BC равна, как мы видели, 2Rsin (имеется в виду та из дуг BC, что не содержит точки A). С другой стороны, по теореме о вписанном угле BC/2=, хорда же BC- не что иное, как сторона a треугольника ABC. Подставляя эти равенства в выражение для BC, получаем, что a=2Rsin, или a/sin=2R. Проделывая то же для двух других сторон, получаем:если в треугольнике против сторон a, b, c лежат углы , ,  соответственно, то.
    где R - радиус окружности, описанной около треугольника.
    Таким образом, мы получили дополнительное правило отыскания радиуса описанной около треугольника окружности.
    
    IV. Закрепление изученного материала (решение задач).
    
    1. Решить задачу № 1020 (б) на доске и в тетрадях.
    Решение
    S = АВ · ВС sin B = ∙  18∙  3 sin 45° = 9∙  3 ∙   = 27 (cм2).
    Ответ: 27 cм2.
    2. Решить задачу № 1022.
    Решение
    S = 60 см2; S = АВ · AС sin A; 60 = AB · 15 sin 30°;
    60 = АВ · ; АВ = 60 : = 16 (см).
    Ответ: 16 см.
    3. Решить задачу № 1026.
    Решение
    Используем теорему синусов:
    ;  B = 180° – (60° + 75°) = 45°;
    ;  AB = ≈ 15 (см).
    SΔABC = АC · AB sin A = · 12 · 15 sin 75° ≈ 87 (см2).
    Ответ: АВ ≈ 15 см; SАВС = 87 см2.
    V. Итоги урока.
    VI. Домашнее задание: 
    Изучить материал пунктов 96 и 97; повторить материал п. 89; решить задачи:
    №№ 1020 (а, в), 1023.
    
     

    Автор(ы): Ясаков В. Н.

    Скачать: Геометрия 9кл - Конспект.docx