Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения (Апсалямова М.Ф.)

Текст урока

• конспект

   Название предмета: геометрия.
  Класс: 9 класс.
  УМК (название учебника, автор, год издания: Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений/[Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. -22-е изд.-М.:Просвещение, 2012.-384 с. 
  Уровень обучения (базовый, углубленный, профильный): базовый.
  Тема урока: « Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения»
  Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 1 ч.
  Место урока в системе уроков по теме:  В соответствии с программой по подготовке к ГИА по математике данный урок представляет собой объединение тем: «Теорема Пифагора», «Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника», «Соотношение между сторонами и углами треугольника».
  Цель урока:  выработка умений самостоятельного применения учащимися знаний и навыков по темам «Теорема Пифагора», «Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника», «Соотношение между сторонами и углами треугольника» в комплексе, в новых условиях.
  Задачи урока:
  Образовательные:
  - повторить определения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника; значения основных тригонометрических функций для углов- повторить определения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника; теорему Пифагора; теорему об остром угле в 30 I четверти; теорему косинусов; теорему синусов.
  - выработать умение решать тригонометрические задачи; правильно составлять уравнения, используя теорему Пифагора, теорему косинусов или теорему синусов;
  - формировать умения и навыки рационального применения данных методов при решении различных заданий по представленным темам.
  Коррекционные:
  - развивать внимание, память, логическое мышление, умение самостоятельной учебной деятельности, творчества и инициативы;
  - формировать культуру математической речи, умение анализировать, работать по алгоритму;
  - прививать навыки самоконтроля, умение организовывать индивидуальную и самостоятельную работу, работу в группах;
  Воспитательные:
  - воспитывать чувства ответственности, самостоятельности;
  - продолжить воспитание устойчивого познавательного интереса к математике.
  Планируемые результаты:
  Научатся: рационально применять различные методы при решении тригонометрических задач; решать задания, с использованием основных тригонометрических тождеств.
  Получат возможность научиться: комплексно применять известные теоремы и свойства при решении треугольников.
  Техническое обеспечение урока: компьютер, экран, мультимедийный проектор, карточки для индивидуальной работы; раздаточный материал – таблица значений углов основных тригонометрических функций.
  Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на интернет-ресурсы):ссылка на видеоурок:  http://interneturok.ru/geometry/9-klass/sinus-kosinus-i-tangens-ugla/sinus-kosinus-i-tangens-ugla-osnovnoe-trigonometricheskoe-tozhdestvo 
  
  
  Содержание урока.
  1. Организационный момент. 
  Учитель приветствует учащихся, подготавливает помещение к уроку и отмечает отсутствующих. 
  2. Актуализация знаний.
  
  Учитель: сегодня мы приступаем к изучению новой главы «Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения». Запишите в тетрадях число и тему урока. 
  Запись в тетрадях: 
  Число. Тема урока: Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения.(Запускаем видеоурок. Пауза для записи темы)
  Учитель: но прежде, чем перейти к изучению этой темы, повторим с вами пройденный материл. 
  – что называют синусом острого угла? 
  Ученик: синус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. 
  ( демонстрация видеоурока синус)
  Учитель: что называют косинусом острого угла? 
  Ученик: Косинус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. 
  ( демонстрация видеоурока косинус)
  Учитель: что такое тангенс острого угла? 
  Ученик: Тангенс острого угла α – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
  ( демонстрация видеоурока тангенс)
  
  3. Изучение нового материала
  Учитель: мы вспомнили, что является синусом, косинусом и тангенсом угла в прямоугольном треугольнике. Теперь мы познакомимся с этими понятиями в независимости от фигуры, в которой они находятся. 
  Введем прямоугольную систему координат Оху и построим полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат, расположенную в первом и втором квадрантах. Данная полуокружность называется единичной Запишите определение с экрана и сделайте рисунок. (демонстрация видеоурока).
  Запись в тетрадях: 
  Полуокружность называется единичной, если ее центр находится в начале координат, а радиус равен 1.
  
  Учитель: из точки О проведем луч h , пересекающий единичную полуокружность в точке М (х;у). обозначит буквой  угол между лучом h и положительной полуосью абсцисс. Если луч h совпадает с положительной полуосью абсцисс, то будем считать, что  = 0 .
  Если угол  острый, то из прямоугольного треугольника DOM имеем, sin  =  , a cos  = . 
  Но OM = 1, MD  это ордината, OD - абсцисса, поэтому sin  ордината у точки М, cos  это абсцисса х точки М.
  Запись на доске и в тетрадях: 
  Если угол  острый, то из прямоугольного треугольника DOM имеем,
  sin  =  , a cos  = . 
  Но OM = 1, MD = y, OD = x,
  поэтому sin  = y, cos  = x.   (1)
  Учитель: Так как из прямоугольного треугольника DOM тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему tg = , то тангенс будет равен отношению синуса угла  к косинусу угла   tg = . Существует еще функция, обратная тангенсу - катангенс, и он равен отношению косинуса угла  к синусу ctg =  .
  Итак, синус острого угла  равен ординате у точки М, а косинус угла  - абсциссе х точки М. Запишите со слайда информацию в тетради (демонстрация видеоурока).
  Запись на доске и в тетрадях: 
  Т.к. tg = , то   tg = , ctg =  .
  Учитель: если угол  прямой, тупой или развернутый, это углы AOC, AON и AOB на рисунке 290 учебника, или  = 0 , то синус и косинус угла  также определим по формулам (1).
  Таким образом, для любого угла  из промежутка 0 ≤  ≤ 180 синусом угла  называется ордината у точки М, косинусом угла  - абсцисса х точки М. 
  Так как координаты (х; у) точек единичной полуокружности заключены в промежутках 0 ≤ у ≤ 1, - 1 ≤ х ≤ 1, то для любого  из промежутка 0 ≤  ≤ 180 справедливы неравенства:
  0 ≤ sin  ≤ 1, - 1≤ cos  ≤ 1 (слайд 5).  Запишите это в тетради.
  Запись в тетрадях: 
  Т.к. 0 ≤ у ≤ 1, - 1 ≤ х ≤ 1, то для любого  из промежутка 0 ≤  ≤ 180
  0 ≤ sin  ≤ 1, - 1≤ cos  ≤ 1.
  
  Учитель: а теперь найдем значения синуса и косинуса для углов 0, 90 и 180. Для этого рассмотрим лучи OA, OC и OB, соответствующие этим углам. Так как точки А, С и B имеют координаты А (1; 0), С (0; 1), В (-1; 0), то 
  Sin 0 = 0, sin 90 = 1, sin 180 = 0, cos 0 = 1, cos 90 = 0, cos 180 = - 1.  (демонстрация видеоурока).) Запишите в тетради.
  Запись в тетрадях: 
  Sin 0 = 0, sin 90 = 1, sin 180 = 0, cos 0 = 1, cos 90 = 0, cos 180 = - 1
  Учитель: так как tg =  , то при  = 90 тангенс угла  не определен, так как  cos 90 = 0 знаменатель обращается в нуль. Катангенс угла ctg =  не определен при  = 0 ,  =  180  , так как знаменатель sin 0 = 0, sin 180 = 0 обращается в нуль. Используя формулы (2), находим: 
  tg 0  = 0, tg 180  = 0. 
  ctg 90 = 0.
  Запишите это в тетради.  
  Запись в тетрадях: 
  Т.к. tg =  , то при  = 90 тангенс угла  не определен. 
  tg 0  = 0, tg 180  = 0,
  т.к. ctg =   , то при  = 0 ,  =  180   катангенс угла  не определен
  ctg 90 = 0.
  Учитель: кроме этих значений при решении задач вам понадобятся и другие значения синуса, косинуса, тангенса и катангенса при различных угла . Сделайте себе в тетради небольшую тригонометрическую таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и катангенса.
  Запись в тетрадях:
  
  Учитель: теперь мы познакомимся с вами с основным тригонометрическим тождеством. Запишите заголовок в тетради.
  Запись в тетрадях: 
  Основное тригонометрическое тождество.
  Учитель: на рисунке 290 учебника изображены система координат Оху и полуокружность АСВ с центром О. Эта полуокружность является дугой окружности, уравнение которой имеет вид х2 + у2 = 1. Подставив сюда выражения для х и у из формул sin = x, cos = y, получим равенство
  sin2  + cos2  = 1, (4)
  Которое выполняется для любого угла  из промежутка 0 ≤  ≤ 180. Равенство (4) называется основным тригонометрическим тождеством. В  VIII классе оно было доказано для острых углов. Запишите в тетради информацию со слайда. (демонстрация видеоурока).
  Запись в тетрадях: 
  Для любого угла  из промежутка 0 ≤  ≤ 180 верно 
  sin2  + cos2  = 1 - основное тригонометрическое тождество.
  Учитель: теперь определим знаки синуса, косинуса и тангенса в разных четвертях.
  Знаки синуса. 
  Так как sin  =  , то знак синуса зависит от знака у. В первой и второй четвертях у > 0, в третьей и четвертой у > 0. Значит синус больше нуля, если угол  находится в первой ил второй четверти, и синус меньше нуля, если угол  находится в третьей ил четвертой четверти.  Запишите эту информацию в тетради с экрана (демонстрация видеоурока).
  Запись в тетрадях: 
  т.к. sin  =  ,
   I , II ч - sin  > 0, III, IV ч - sin  < 0
  Учитель: знаки косинуса. Так как cos  =  , то знак косинуса зависит то знака х. тогда в первой и четвертой четвертях х > 0, а во второй и третьей четвертях x < 0. Следовательно: косинус больше нуля, если угол  находится в первой или четвертой четверти, и косинус является меньше нуля, если угол  находится во второй или третьей четверти.  Запишите это в тетради со слайда.
  Запись в тетрадях: 
  Так как cos  = 
  I , IV ч - cos a > 0, II, III ч - cos a < 0
  Учитель: знаки тангенса и катангенса. 
  Так как tg  = , а ctg  = , то знаки tg  и ctg  зависят от знаков x и y. В 1 и 3 четвертях x и y имеют одинаковые знаки, а во 2 и 4 разные. Значит: tg  > 0 и ctg  > 0, если угол  является углом 1 или 3 четверти; tg  < 0 и ctg  < 0, если угол  является углом 2 или 4 четверти. Запишите в тетради, и перенесите в таблицу.
  Запись в тетрадях: 
  tg a =  
  I , III ч - tg a > 0, II, IV ч - tg a < 0 
  ctg  = 
  I , III ч - ctg a > 0, II, IV ч - ctg a < 0.
  
  Учитель: кроме основное тригонометрического тождества справедливы также следующие тождества, которые являются формулами приведения. Запишите их в тетради. (слайд 11)
  sin (90 - ) = cos 
  cos (90 - ) = sin      (5)    при 0 ≤   ≤  90,
  sin (180 - )= sin 
  cos (180 - ) = - cos     (6)   при   0 ≤   ≤  180 .
  
  Запись в тетрадях: 
  Формулы приведения.
  sin (90 - ) = cos 
  cos (90 - ) = sin      (5)    при 0 ≤   ≤  90,
  sin (180 - )= sin 
  cos (180 - ) = - cos     (6)   при   0 ≤   ≤  180 .
  
  4. Закрепление изученного материала
  
  Запись на доске и в тетрадях: 
  № 1013 (а, б) 
  Дано: а) cos  = . 
             б) cos  = .
  Найти: sin 
  Ученик: чтобы найти синус угла, используем основное тригонометрическое тождество и выразим синус через косинус.
  Запись на доске и в тетрадях: 
  sin2  + cos2  = 1
  a) sin2  = 1 - cos2 ;
  sin2  = 1 -  = 1 -  = ;
  sin2  = 
  Ученик: так как точка находится в первой четверти, синус положителен, следовательно равен . 
  Запись на доске и в тетрадях: 
  Так как  находится в 1 ч., то sin  > 0,
  sin  =  
  б) sin2  = 1 -  = 1 -  = ;
  Ученик: так как  угол  находится во 2 ч., то sin  > 0
  Запись на доске и в тетрадях: 
  Так как  находится во 2 ч., то sin  > 0,
  sin  =  .
  Учитель: теперь решите номер 1015(а, в), где необходимо найти тангенс угла .
  К доске вызывается ученик.
  Запись на доске и в тетрадях: 
  № 1015 (а, в)
  Дано: а) cos  = 1;
             в) sin  =   и 0 <  < 90.
  Ученик: так как тангенс - это отношение синуса угла к косинусу угла, нам необходимо под а) найти синус угла, а под б) косинус угла. Используем основное тригонометрическое тождество.
  Запись на доске и в тетрадях: 
  a) tg = , 
  sin2  + cos2  = 1;
  sin2  = 1 - cos2 ;
  sin2  = 1 -  = 1 -  = 0; sin  = 0.
  tg =  =  = 1.
  
  в) sin2  + cos2  = 1;
  cos2  = 1 - sin2 ; 
  cos2  = 1 -  = 1 -  = ;
  т.к. 0 <  < 90 , cos  > 0, cos  = .
  tg =  = 1. 
  
  5. Подведение итогов урока и домашнее задание
  
  Учитель: итак, сегодня на уроке мы изучили основное тригонометрическое тождество и формулы приведения. Теперь ответьте на следующие вопросы: 
  Что называется синусом угла? 
  Ученик: синус острого угла  равен ординате у точки. 
  Учитель: что называется косинусом угла? 
  Ученик: косинус острого угла  равен абсциссе х точки
  Учитель: что такое тангенс угла?
  Ученик: тангенс - это отношение синуса угла  к косинусу угла, отношение ординаты точки к абсциссе.
  Учитель: А что такое катангенс угла? 
  Ученик: катангенс - это отношение косинуса угла у синусу.
  Учитель: какое основное тригонометрическое тождество вы знаете? 
  Ученик: sin2  + cos2  = 1 является основным тригонометрическим тождеством.
  Учитель: решение задач по пройденной теме мы продолжим еще на следующем уроке, а сейчас запишите задание на дом: §1, пп. 93 - 95, №№ 1014, 1015 (б, г). 
  
   

   Read more ...

  Автор(ы): Апсалямова М. Ф.

  Скачать: Геометрия 9кл - конспект.docx