Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета

Учителю
  • Быстрый поиск
  • Расширенный поиск
Тип материала:
Разделы:
Темы:

Тип материала

Повторение планиметрии. Треугольник (Воронина Т.С.)

Текст урока

  • конспект

     Название предмета – геометрия                                                                                                    Класс - 11                            Уровень обучения - базовый
    УМК (название учебника, автор, год издания) -  Геометрия, 10-11: Учеб. для общеобразоват. учреждений/ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2013
    Тема урока – Повторение школьного курса геометрии. Планиметрия. Треугольник.
    Цель урока – организовать деятель­ность учащихся по: 
    систематизации знаний об изученных свойствах треугольников, 
    решению планиметрических задач с применением алгебраического и тригонометрического аппаратов. 
    Задачи урока:
    1. Создать условия для достижения предметных планируемых результатов урока: на базовом уровне ученик должен знать (понимать)  значение математической науки для решения задач, возни­кающих в теории и практике и уметь:
    решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей) треугольников;
    проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач
    2. Создать условия для достижения метапредметных планируемых результатов урока (развития универсальных учебных действий), которые выражаются в:
    формировании интеллектуальной культуры, выражающейся в развитии абстрактного и критического мышления, умении распознавать логически не­корректные высказывания, применять индуктив­ные и дедуктивные способы рассуждений, способности ясно, точно и грамотно формулировать и аргументированно излагать свои мысли в устной и письмен­ной речи, корректности в общении;
    формировании информационной культуры, выражающемся в умении осуществлять поиск, отбор, анализ, систематизацию и классификацию ин­формации, использовать различные источники информации для решения учебных проблем;
    формировании умения видеть различные стратегии решения задач, планировать и осуществлять деятельность, направленную на их решение, про­верять и оценивать результаты деятельности, соотнося их с поставленными целями и личным жизненным опытом, а также публично представлять её ре­зультаты, в том числе с использованием средств информационных и коммуни­кационных технологий.
    3. Создать условия для достижения личностных планируемых результатов урока, к которым относятся:
    способность к эстетическому восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений;
    потребность в самообразовании, готовность принимать самостоятель­ные решения.
    Общее количество часов, отведенное на изучение темы - 1
    Место урока в системе уроков по теме – первый урок из раздела «Повторение школьного курса геометрии».
    Техническое обеспечение урока – ПК, проектор, экран (или ПК и TV)
    Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на интернет-ресурсы)
    Структура урока - мотивация – анализ содержания учебного материала – выделение главного в учебном материале – обобщение и систематизация – установление внутрипредметных и межпредметных  связей – рефлексия.
    
    
    Содержание урока:
    
    1.Организационный этап (мотивация)
    Учитель обращает внимание учеников на раздаточный материал – опорный конспект темы «Треугольники» (находится в конце плана урока), который учащиеся вместе с педагогом составили в 9 классе, и предлагает сформулировать тему и цель урока. 
    Ученики приходят к выводу, что весь материал, о котором идет речь в опорном конспекте, скорее всего не получится повторить на одном уроке, поэтому предлагают повторить общие свойства треугольников.  Формулируют тему и цель урока
    
    2.Этап актуализации субъектного опыта учащихся 
    Учитель организует анализ содержания учебного материала, содержащегося в опорном конспекте и выделение главного в учебном материале. 
    Ученики называют виды треугольников, находят и повторяют их общие свойства. 
    
    3.Этап обобщения и систематизации
    Учитель вовлекает учащихся в планирование их предстоящей деятельности на уроке и организует обобщение и систематизацию знаний по теме «Треугольники» через  классификацию заданий ЕГЭ на применение общих свойств  треугольников. При этом можно воспользоваться сайтом https://math-ege.sdamgia.ru/ и вывести на экран Каталог заданий и перечень тем из заданий 3, 6, 16. 
    Ученики знакомятся с классификацией заданий ЕГЭ на применение общих свойств  треугольников и выделяют те из них, которые необходимо решить на этом уроке.
    Учитель организует применение общих свойств треугольников через установление внутрипредметных и межпредметных  связей. Организует устное решение типичных задач (тексты задач и при необходимости чертежи к ним выводятся на экран):
    1
    
    В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 58°, AD и BE — бис­сек­три­сы, пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке O. Най­ди­те угол AOB. Ответ дайте в гра­ду­сах.
    3
    
    В тре­уголь­ни­ке ABC AB = BC. Внеш­ний угол при вер­ши­не B равен 138°. Най­ди­те угол C. Ответ дайте в гра­ду­сах.
    2
    
    В тре­уголь­ни­ке ABC угол A равен 44°, угол  C  равен  62°. На про­дол­же­нии сто­ро­ны AB за точку B от­ло­жен от­ре­зок BD, рав­ный сто­ро­не BC. Най­ди­те угол D тре­уголь­ни­ка BCD. Ответ дайте в гра­ду­сах.
    4
    
    У тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 9 и 6 про­ве­де­ны вы­со­ты к этим сто­ро­нам. Вы­со­та, про­ве­ден­ная к пер­вой сто­ро­не, равна 4. Чему равна вы­со­та, про­ве­ден­ная ко вто­рой сто­ро­не?
    5
    Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, две сто­ро­ны ко­то­ро­го равны 8 и 12, а угол между ними равен 30°. 
    6
    Угол при вер­ши­не, про­ти­во­ле­жа­щей ос­но­ва­нию рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, равен 150°. Бо­ко­вая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка равна 20. Най­ди­те пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка.
    Учитель может воспользоваться задачами из уже представленного Каталога заданий и подобрать задачи разного уровня сложности. Задачи можно взять из открытого банка заданий с сайта http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-ege. 
    
    4.Этап применения изученного 
    Учитель организует решение задач, при этом возможна групповая или парная работа с последующей презентацией решений:
    1. Точка H яв­ля­ет­ся ос­но­ва­ни­ем вы­со­ты, про­ведённой из вер­ши­ны пря­мо­го угла B тре­уголь­ни­ка ABC к ги­по­те­ну­зе AC. Най­ди­те AB, если AH = 5, AC = 20.
    2. Ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка АВС  пе­ре­се­ка­ют­ся в точке М. Най­ди­те длину ме­ди­а­ны, про­ведённой к сто­ро­не ВС, если угол ВАС  равен 47°,  угол ВМС  равен 133°, ВС = 4 .
    3. В тре­уголь­ни­ке АВС углы А и С равны 20° и 60° со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те угол между вы­со­той ВН и бис­сек­три­сой BD.
    4. В тре­уголь­ни­ке ABC DE — сред­няя линия. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CDE равна 9. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.
    5. Пря­мая, па­рал­лель­ная сто­ро­не AC тре­уголь­ни­ка ABC, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AB и BC в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те BN, если MN = 13, AC = 65, NC = 28.
    6. В тупоугольном треугольнике АВС АС=ВС, высота АН равна 24, СН = 7. Найдите cos ACВ.
    
    5.Этап информации о домашнем задании
    Учитель предлагает учащимся сформулировать домашнее задание. Возможны варианты:
    1. Повторить или выучить опорный конспект по теме «Треугольники».
    2. Решить вариант из 2-3 задач, составленный и размещённый учителем на сайте https://math-ege.sdamgia.ru/
    3. Составить вариант из 2-3 задач по теме урока самостоятельно.
    
    6.Этап подведения итогов учебного занятия
    1. Какую цель мы сформулировали в начале урока? 
    2. Что мы сделали для её достижения?
    3. Достигли ли мы цели урока? Ответ обоснуйте.
    
    7.Рефлексия
    Используя цвета светофора (зеленый – могу идти дальше, желтый – есть повод подумать, красный – остановись и поработай), 
    1. Оцените свои знания по теме урока.
    2. Оцените свою деятельность на уроке.
    3. Оцените своё настроение на уроке. 
    
    
    
    
    
    
    
    
    Опорный конспект по теме «Треугольники»
    Равнобедренные 
    Опр.: треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны
    Прямоугольные 
    Опр.: если один из углов треугольника прямой, то он прямоугольный
    Равные
    Опр: треугольники называются равными, если их можно совместить наложением.
    Подобные
    Опр.: два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
    Общие свойства
    1.Сумма углов треугольника равна 180º.
    2.Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
    3.Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол и наоборот. Против равных углов лежат равные стороны и наоборот.
    4.Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
    5.S =  =  = 
    6.S = 
    7. S = ab·sin C
    8. В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
    9. В любом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
    10. В любом треугольнике высоты пересекаются в одной точке
    11. В любом треугольнике серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке, которая является центром описанной окружности.
    12. теорема синусов:  =  = 
    13. теорема косинусов: a² = b²+c²-2bc·cosA
    Медиана треугольника
    Опр.: отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны.
    Биссектриса треугольника
    Опр.: отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны
    Высота треугольника
    Опр.: перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
    Признак: если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный
    Свойства:
    1.В равнобедренном треугольнике углы при основании равны
    2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой и наоборот.
    Признак: Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный
    Свойства:
    1.Сумма двух острых углов равна 90º
    2.Катет, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы
    3.Если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30º
    
    Признаки равенства треугольников:
    
    1.по двум сторонам и углу между ними
    2.по стороне и двум прилежащим к ней углам
    3.по трём сторонам.
    
    
    Признаки равенства прямоугольных треугольников:
    
    1.по катетам 
    2.по катету и прилежащему к нему острому углу
    3.по гипотенузе и острому углу
    4.по гипотенузе и катету
    
    Свойство: Если треугольники равны, то равны их соответственные стороны и углы
    Признаки:
    1.по двум углам
    2.по двум пропорцио-нальным сторонам и углу между ними
    3.по трём пропорцио-нальным сторонам
    Свойство:
    Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия
    
    
    
    
     = 
     = 
    tg  = 
    
    
    
    
    
    
    
    
    30º
    45º
    60º
    
    
    Алгоритм решения задач:
    1.найти подобные треугольники
    2.из подобия пары треугольников следует равенство трёх отношений их сходственных сторон
    3. В записанное равенство отношений подставляем известные величины и находим неизвестные.
    
    
    
    sin 
    
    
    
    
    
    
    
    Равносторонние
    Опр.: треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
    Свойство: все углы = 60º
    S = а²
    
    cos 
    
    
    
    
    
    
    
    
    tg
    
    1
    
    
    
    
    
    
    Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
     c² = a² +b²
    
    
    
    
    
    S = , где a и b - катеты
    
    
    
    
    
    
     

    Автор(ы):

    Скачать: Геометрия 11кл - конспект.docx