Повторение планиметрии. Треугольник (Воронина Т.С.)

Текст урока

• конспект

   Название предмета – геометрия                                                                                                    Класс - 11                            Уровень обучения - базовый
  УМК (название учебника, автор, год издания) -  Геометрия, 10-11: Учеб. для общеобразоват. учреждений/ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2013
  Тема урока – Повторение школьного курса геометрии. Планиметрия. Треугольник.
  Цель урока – организовать деятель­ность учащихся по: 
  систематизации знаний об изученных свойствах треугольников, 
  решению планиметрических задач с применением алгебраического и тригонометрического аппаратов. 
  Задачи урока:
  1. Создать условия для достижения предметных планируемых результатов урока: на базовом уровне ученик должен знать (понимать)  значение математической науки для решения задач, возни­кающих в теории и практике и уметь:
  решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей) треугольников;
  проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач
  2. Создать условия для достижения метапредметных планируемых результатов урока (развития универсальных учебных действий), которые выражаются в:
  формировании интеллектуальной культуры, выражающейся в развитии абстрактного и критического мышления, умении распознавать логически не­корректные высказывания, применять индуктив­ные и дедуктивные способы рассуждений, способности ясно, точно и грамотно формулировать и аргументированно излагать свои мысли в устной и письмен­ной речи, корректности в общении;
  формировании информационной культуры, выражающемся в умении осуществлять поиск, отбор, анализ, систематизацию и классификацию ин­формации, использовать различные источники информации для решения учебных проблем;
  формировании умения видеть различные стратегии решения задач, планировать и осуществлять деятельность, направленную на их решение, про­верять и оценивать результаты деятельности, соотнося их с поставленными целями и личным жизненным опытом, а также публично представлять её ре­зультаты, в том числе с использованием средств информационных и коммуни­кационных технологий.
  3. Создать условия для достижения личностных планируемых результатов урока, к которым относятся:
  способность к эстетическому восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений;
  потребность в самообразовании, готовность принимать самостоятель­ные решения.
  Общее количество часов, отведенное на изучение темы - 1
  Место урока в системе уроков по теме – первый урок из раздела «Повторение школьного курса геометрии».
  Техническое обеспечение урока – ПК, проектор, экран (или ПК и TV)
  Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на интернет-ресурсы)
  Структура урока - мотивация – анализ содержания учебного материала – выделение главного в учебном материале – обобщение и систематизация – установление внутрипредметных и межпредметных  связей – рефлексия.
  
  
  Содержание урока:
  
  1.Организационный этап (мотивация)
  Учитель обращает внимание учеников на раздаточный материал – опорный конспект темы «Треугольники» (находится в конце плана урока), который учащиеся вместе с педагогом составили в 9 классе, и предлагает сформулировать тему и цель урока. 
  Ученики приходят к выводу, что весь материал, о котором идет речь в опорном конспекте, скорее всего не получится повторить на одном уроке, поэтому предлагают повторить общие свойства треугольников.  Формулируют тему и цель урока
  
  2.Этап актуализации субъектного опыта учащихся 
  Учитель организует анализ содержания учебного материала, содержащегося в опорном конспекте и выделение главного в учебном материале. 
  Ученики называют виды треугольников, находят и повторяют их общие свойства. 
  
  3.Этап обобщения и систематизации
  Учитель вовлекает учащихся в планирование их предстоящей деятельности на уроке и организует обобщение и систематизацию знаний по теме «Треугольники» через  классификацию заданий ЕГЭ на применение общих свойств  треугольников. При этом можно воспользоваться сайтом https://math-ege.sdamgia.ru/ и вывести на экран Каталог заданий и перечень тем из заданий 3, 6, 16. 
  Ученики знакомятся с классификацией заданий ЕГЭ на применение общих свойств  треугольников и выделяют те из них, которые необходимо решить на этом уроке.
  Учитель организует применение общих свойств треугольников через установление внутрипредметных и межпредметных  связей. Организует устное решение типичных задач (тексты задач и при необходимости чертежи к ним выводятся на экран):
  1
  
  В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 58°, AD и BE — бис­сек­три­сы, пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке O. Най­ди­те угол AOB. Ответ дайте в гра­ду­сах.
  3
  
  В тре­уголь­ни­ке ABC AB = BC. Внеш­ний угол при вер­ши­не B равен 138°. Най­ди­те угол C. Ответ дайте в гра­ду­сах.
  2
  
  В тре­уголь­ни­ке ABC угол A равен 44°, угол  C  равен  62°. На про­дол­же­нии сто­ро­ны AB за точку B от­ло­жен от­ре­зок BD, рав­ный сто­ро­не BC. Най­ди­те угол D тре­уголь­ни­ка BCD. Ответ дайте в гра­ду­сах.
  4
  
  У тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 9 и 6 про­ве­де­ны вы­со­ты к этим сто­ро­нам. Вы­со­та, про­ве­ден­ная к пер­вой сто­ро­не, равна 4. Чему равна вы­со­та, про­ве­ден­ная ко вто­рой сто­ро­не?
  5
  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, две сто­ро­ны ко­то­ро­го равны 8 и 12, а угол между ними равен 30°. 
  6
  Угол при вер­ши­не, про­ти­во­ле­жа­щей ос­но­ва­нию рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, равен 150°. Бо­ко­вая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка равна 20. Най­ди­те пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка.
  Учитель может воспользоваться задачами из уже представленного Каталога заданий и подобрать задачи разного уровня сложности. Задачи можно взять из открытого банка заданий с сайта http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-ege. 
  
  4.Этап применения изученного 
  Учитель организует решение задач, при этом возможна групповая или парная работа с последующей презентацией решений:
  1. Точка H яв­ля­ет­ся ос­но­ва­ни­ем вы­со­ты, про­ведённой из вер­ши­ны пря­мо­го угла B тре­уголь­ни­ка ABC к ги­по­те­ну­зе AC. Най­ди­те AB, если AH = 5, AC = 20.
  2. Ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка АВС  пе­ре­се­ка­ют­ся в точке М. Най­ди­те длину ме­ди­а­ны, про­ведённой к сто­ро­не ВС, если угол ВАС  равен 47°,  угол ВМС  равен 133°, ВС = 4 .
  3. В тре­уголь­ни­ке АВС углы А и С равны 20° и 60° со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те угол между вы­со­той ВН и бис­сек­три­сой BD.
  4. В тре­уголь­ни­ке ABC DE — сред­няя линия. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CDE равна 9. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.
  5. Пря­мая, па­рал­лель­ная сто­ро­не AC тре­уголь­ни­ка ABC, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AB и BC в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те BN, если MN = 13, AC = 65, NC = 28.
  6. В тупоугольном треугольнике АВС АС=ВС, высота АН равна 24, СН = 7. Найдите cos ACВ.
  
  5.Этап информации о домашнем задании
  Учитель предлагает учащимся сформулировать домашнее задание. Возможны варианты:
  1. Повторить или выучить опорный конспект по теме «Треугольники».
  2. Решить вариант из 2-3 задач, составленный и размещённый учителем на сайте https://math-ege.sdamgia.ru/
  3. Составить вариант из 2-3 задач по теме урока самостоятельно.
  
  6.Этап подведения итогов учебного занятия
  1. Какую цель мы сформулировали в начале урока? 
  2. Что мы сделали для её достижения?
  3. Достигли ли мы цели урока? Ответ обоснуйте.
  
  7.Рефлексия
  Используя цвета светофора (зеленый – могу идти дальше, желтый – есть повод подумать, красный – остановись и поработай), 
  1. Оцените свои знания по теме урока.
  2. Оцените свою деятельность на уроке.
  3. Оцените своё настроение на уроке. 
  
  
  
  
  
  
  
  
  Опорный конспект по теме «Треугольники»
  Равнобедренные 
  Опр.: треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны
  Прямоугольные 
  Опр.: если один из углов треугольника прямой, то он прямоугольный
  Равные
  Опр: треугольники называются равными, если их можно совместить наложением.
  Подобные
  Опр.: два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
  Общие свойства
  1.Сумма углов треугольника равна 180º.
  2.Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
  3.Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол и наоборот. Против равных углов лежат равные стороны и наоборот.
  4.Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
  5.S =  =  = 
  6.S = 
  7. S = ab·sin C
  8. В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
  9. В любом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
  10. В любом треугольнике высоты пересекаются в одной точке
  11. В любом треугольнике серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке, которая является центром описанной окружности.
  12. теорема синусов:  =  = 
  13. теорема косинусов: a² = b²+c²-2bc·cosA
  Медиана треугольника
  Опр.: отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны.
  Биссектриса треугольника
  Опр.: отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны
  Высота треугольника
  Опр.: перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
  Признак: если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный
  Свойства:
  1.В равнобедренном треугольнике углы при основании равны
  2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой и наоборот.
  Признак: Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный
  Свойства:
  1.Сумма двух острых углов равна 90º
  2.Катет, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы
  3.Если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30º
  
  Признаки равенства треугольников:
  
  1.по двум сторонам и углу между ними
  2.по стороне и двум прилежащим к ней углам
  3.по трём сторонам.
  
  
  Признаки равенства прямоугольных треугольников:
  
  1.по катетам 
  2.по катету и прилежащему к нему острому углу
  3.по гипотенузе и острому углу
  4.по гипотенузе и катету
  
  Свойство: Если треугольники равны, то равны их соответственные стороны и углы
  Признаки:
  1.по двум углам
  2.по двум пропорцио-нальным сторонам и углу между ними
  3.по трём пропорцио-нальным сторонам
  Свойство:
  Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия
  
  
  
  
   = 
   = 
  tg  = 
  
  
  
  
  
  
  
  
  30º
  45º
  60º
  
  
  Алгоритм решения задач:
  1.найти подобные треугольники
  2.из подобия пары треугольников следует равенство трёх отношений их сходственных сторон
  3. В записанное равенство отношений подставляем известные величины и находим неизвестные.
  
  
  
  sin 
  
  
  
  
  
  
  
  Равносторонние
  Опр.: треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
  Свойство: все углы = 60º
  S = а²
  
  cos 
  
  
  
  
  
  
  
  
  tg
  
  1
  
  
  
  
  
  
  Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
   c² = a² +b²
  
  
  
  
  
  S = , где a и b - катеты
  
  
  
  
  
  
   

   Read more ...

  Автор(ы):

  Скачать: Геометрия 11кл - конспект.docx