Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета

Учителю
  • Быстрый поиск
  • Расширенный поиск
Предметы
Класс
Тип материала:
Разделы:
Темы:

Тип материала

Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла

Текст урока

  • конспект 

     Название предмета: геометрия 
Класс: 11 
УМК (название учебника, автор, год издания): Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Л. С. Киселёва, Э. Г. Позняк.  Геометрия 10-11:  Учебник для общеобразовательных учреждений. – М. : Просвещение, 2011 - 2015  
Уровень обучения (базовый, углубленный, профильный): базовый
Тема урока: Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 17ч
Место урока в системе уроков по теме: 5 ч
Цель урока: показать учащимся возможность и целесообразность применения определенного интеграла для вычисления объемов. 
Задачи урока: 
образовательные: 
-изучить формулу определенного интеграла для вычисления объемов;
-вывести формулу объемов через определенный интеграл;
-научиться применять теоретические знания для нахождения объемов с помощью формулы через определенный интеграл
развивающие:
-развивать познавательную активность , творческие способности, мышление, умение анализировать и обобщать, переносить знания из одной ситуации в другую;
-учить искать , извлекать, систематизировать, отбирать необходимую для решения учебных задач информацию из учебника и дополнительной литературы, преобразовывать и применять ее.
воспитательные:
вызвать интерес к практическому применению полученных знаний по теме, формировать навыки взаимоконтроля и самооценки. Воспитывать культуру общения, умение работать в парах, группах, слушать друг друга, воспитывать чувство взаимовыручки, внимательного отношения друг к другу при работе на уроке.
Планируемые результаты:
Знать: основную формулу для вычисления объемов тел. 
Уметь: решать задачи по теме 
Техническое обеспечение урока: персональный компьютер,  проектор, экран, учебник.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на интернет-ресурсы): Комплекс материалов для подготовки учащихся «МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2016» А.В. Семенов, И.В.Ященко и др., М., Интелект – Центр, 2016; 4000 задач с ответами по математике, под ред.И.В. Ященко, М., «Экзамен» 2016

Содержание урока.

1. Организационный момент.
2. Домашнее задание. П.67, №675 (повтор. ЕГЭ 4000 №№3046,3047)
3. Актуализация опорных знаний  (решение задач ЕГЭ базового уровня)
Комплекс материалов для подготовки учащихся «МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2016» А.В. Семенов, И.В.Ященко и др., М., Интелект – Центр,


4. Изучение нового материала.
Историческая справка (вспомнить  понятие интеграла в алгебре)


5. Решение задач.
673




6. Итог урока

    Автор(ы):

    Скачать: Геометрия 11кл - конспект.doc

  • урок (Соколова Н.В.) 

     Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла
Название  предмета
Геометрия
Класс
11
УМК
Атанасян Л.С, Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия . 10-11 кл.
Уровень обучения
базовый
Тема урока
Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла
Общее количество часов, отведенное на  изучение  темы
21
Место урока в  системе уроков  по  теме
6
Цель урока
Усвоение возможности применения определенного интеграла к вычислению объемов тел
Задачи урока
Вывести формулу объема наклонной призмы с помощью интеграла;
воспитать ответственное отношение к учебе, трудолюбие, целеустремленность; объективно оценивать свои знания, осуществлять самоконтроль взаимоконтроль.
развивать пространственное мышление обучающихся, умения анализировать и систематизировать материал, делать выводы, умение применять полученных в различных ситуациях, в том числе в практической деятельности
Планируемые результаты
Вывод формулы объема наклонной призмы с помощью интеграла; применить полученную формулу к решению задач.
Техническое  обеспечение
Модели геометрических фигур; плакат; компьютер, проектор, экран, карточки-задания
Дополнительное методическое и  дидактическое обеспечение урока

Тип урока
Урок-лекция
Содержание   урока
1) сообщение темы, цели, задач урока и мотивация учебной деятельности
Понятия интеграла и определенного интеграла – это не узкие термины из урока алгебры. С помощью определенного интеграла можно вычислять объемы тел. Этот вопрос широко и глубоко рассматривается в процессе обучения в ВУЗе, поэтому учащимся, интересующимся математикой и планирующим обучение в технических ВУЗах следует обратить особое внимание на данные разделы темы «Объемы тел»
2) ознакомление с новым материалом в форме лекции
1) Пусть тело Т, объем которого необходимо вычислить , заключено между плоскостями α и β, причем α//β. Зададим систему координат, в которой ОХ перпендикулярна плоскостям  α и β, а и b абсциссы точек пересечения плоскостей α и β с осью абсцисс, причем a<b.
На слайде чертежи:


Считаем, что сечение Ф(х) плоскостью, проходящей через точку с абсциссой х и перпендикулярно к оси ох, является кругом, либо многоугольником для любого х ∈ [а, b] (при а = х и b = х в сечение может вырождаться точка, например, при х = а).
2) Пусть S(x) - площадь Ф(x), зависимости S(x) - непрерывная функция на числовом отрезке [а, b]. 
Разобьем отрезок [а, b] на n равных отрезков точками  а = х0; х1; …; хi; …xn=b
  и через точки с абсциссами xi  проведем плоскости, перпендикулярные OX. 
Они разобьют тело Т на n тем: Т1, T2,  ...,Тn; 
- если сечение Ф(xi) - круг, то  с основанием Ф(xi) и высотой, равной
∆ xi = xi - xi-1 =  ;  
- если Ф(xi) - многоугольник, то   с основанием Ф(xi) и высотой Δ xi. 
В любом случае:      =>  = .
 Приближенное значение Vn объема тела Т точнее с увеличением n и уменьшением Δ xi.
3) Причем   .
С другой стороны: сумма Vn - интегральная сумма для непрерывной функции S(x) на числовом отрезке [а, b].
.
Таким образом, получаем:
   - основная формула для вычисления объемов тел.

3) первичное осмысление и закрепление связей и отношений в объектах изучения

Задача №673
Дано: квадрат; а = ,  a ⊥ OX.
Найти: V.



Решение:
V найдем по основной формуле: , 
Если в сечении квадрат, то функция примет вид: .
.
  Oтвет: V = 0,5.

Задача №674

Решение: 
V найдем по основной формуле: ,
где  = , зная, что  , функция примет вид:
  = .
Вычислим объем:

 Ответ: V =  
Оставшуюся часть урока следует  посвятить решению задач с целью устранения возможный образовавшихся пробелов.
1) Дано: АВСА1В1С1 – прямая призма, в которой 
∠ACB = 90°, АВ = 10, АС = 6, A1С1 = СВ.

Найти: V.
Решение: V = AA1∙S∆ABC
По теореме Пифагора: ВС =  = 8;
S∆ABC = , по теореме Пифагора АА1= 
V = 24 48.
 Ответ: 48.

2) Дано: ABCDA1B1C1D1 – прямая призма, ABCD - ромб, AD = 12, ∠BAD = 60°, B1BDD1 - квадрат 

Найти: V.
Решение: V = ВВ1· SАВСD; 
ВВ1 = BD (по определению квадрата), 
ΔABD - равносторонний (∠А = 60°, AB = AD),  значит BD = AD = 12, BB1 = AD = 12. 

SАВСD = 12∙12∙sin60° =  = 72 = 12∙72 .
Ответ: 864.

3) Дано: ABCDA1B1C1D1 – прямая призма, ABCD - ромб, AD = 10, 
BK ⊥ AD, B1K = 13.
Найти: V.
Решение:    SABCD = 5 · 10 = 50; значит  V= 12 · 50 = 600. 
Ответ: 600.
4) постановка заданий на дом
Назовите известные вам способы вычисления объемов тел.
Домашнее задание  П. 67 (вывод формулы), № 675.

    Автор(ы):

    Скачать: Геометрия 11кл - урок (Соколова Н.В.).docx

Презентация к уроку