Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Название предмета: геометрия
Класс: 10
УМК (название учебника, автор, год издания)
1. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутусов и др. «Геометрия 10-11», Москва, «Просвещение», 2012 г.
2. В.А. Яровенко – Методическое пособие для учителя «Поурочные разработки по геометрии к учебному комплекту Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева, 10 класс» - Москва, «ВАКО», 2011 г.
Уровень обучения (профильный)
Тема урока: «Теоремы Менелая»
Общее количество часов, отведенное на изучение темы:12
Место урока в системе уроков по теме:9
Цель урока: ознакомление с теоремами Менелая;
исследование способов доказательства теорем;
овладение приемами решений планиметрических задач с использованием теоремы Менелая;
Задачи урока:
обучающие:
выявить теоретические положения для доказательства теорем;
систематизировать теоретический материал доказательств:
а) Теоремы Менелая,
проверить эффективность и целесообразность применения теорем при решении задач;
научиться применять теоремы Менелая в задачах разной сложности;сравнить задачи, решенные с использованием теоремы Менелая с задачами, решенными традиционным способом;
развивающие:
1.развивать логическое мышление, память, пространственное воображение, познавательный интерес;
2.расширять представления учащихся об окружающем мире;
3.поддерживать интерес к изучаемому предмету;
4.содействовать развитию навыка самостоятельной работы учащихся посредством вовлечения их в исследовательскую деятельность
воспитывающие:
1.активизировать интерес к изучаемому материалу, используя ИКТ.
Планируемые результаты:
а) изучить теоремы Менелая;
Знать: свойство точек, лежащих на одной прямой.
Уметь: применять свойство точек, лежащих на одной прямой.
Техническое обеспечение урока:
1. Персональный компьютер,
2. Мультимедийный проектор
3. Презентация «Теорема Менелая»
4. Приложения (раздаточный материал)
Содержание урока
Тема: Теорема Менелая.
Цели урока:
1. обобщить, расширить и систематизировать знания и умения учащихся; научить использовать знания при решении сложных задач;
2. способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при решении задач;
3. развивать логическое мышление и математическую речь учащихся, умение анализировать, сравнивать и обобщать;
4. воспитывать у учащихся уверенность в себе, трудолюбие; умение работать в коллективе.
Задачи урока:
Образовательная: изучить теорему Менелая; применить её при решении задач.
Развивающая: учить выдвигать гипотезу и умело доказательно отстаивать свое мнение; проверить умение обобщать и систематизировать свои знания.
Воспитательная: повысить интерес к предмету и подготовить к решению более сложных задач.
Ход урока
I этап. Организационный момент (1 мин.)
Лекция
Менелай Александрийский (1 – 2 вв. н.э.) – греческий математик и астроном.
Теорема Менелая. Если прямая пересекает стороны или продолжения сторон BC, CA и AB треугольника ABC соответственно в точках A1, B1, C1, то имеет место равенство
Доказательство. Проведём CD || AB. Рассмотрим треугольник A1BC1 и
треугольник A1CD.
Угол DA1C=углу C1A1B (вертикальные)
Угол D = углу C1 (накрест лежащие при CD || AC1 и секущей C1D)
Следовательно, треугольник A1BC1 подобен треугольнику A1CD. Стороны подобных треугольников пропорциональны
Рассмотрим треугольник B1 AC1 и треугольник B1 CD
Угол DB1C = углу AB1C1 (Вертикальные)
Угол D = углу C1 (Накрест лежащие при CD || AC1 и секущей C1D)
Следовательно, треугольник B1AC1 подобен треугольнику B1CD. Следовательно,
У нас получилось два равенства и
Перемножим почленно эти равенства: . Получим
Воспользуемся свойством дробей:
(Например )
Имеем . Теорема доказана.
Доказательство остаётся в силе
и в том случае, когда все три
точки A1, B1, C1 лежат на
продолжениях сторон
треугольника ABC
Прежде чем рассмотреть обратную теорему, сделаем одно уточнение. Пусть ABи CD – ненулевые коллинеарные векторы. Если, то будем писать: . Значит, число k равно отношению длин векторов и, взятому со знаком «плюс», если векторы сонаправлены, и со знаком «минус», если они направлены противоположно. При таком соглашении полученное выше равенство принимает вид:
Докажем обратную теорему.
Пусть на прямых BC, CA, AB, определяющих треугольник ABC, даны точки A1, B1, C1. Если выполняется равенство , то эти точки лежат на одной прямой.
Допустим, что выполнено равенство , и пусть прямая A1B1 пересекает прямую AB в точке C2. Согласно прямой теореме, . Сравнивая это соотношение с данным, получим, что .
Прибавим к обеим частям равенства 1. , получим: т.е. , откуда, т.е. C1 и C2 совпадут.
III этап. Решение задач.
Рассмотрим задачи на применение теоремы Менелая.
Задача №1
Решение
Рассмотрим ABN и секущую CM (точки пересечения M, K, C). По теореме Менелая: . т.к. , , тогда , то , следовательно,
Ответ: =
Задача №2
Решение
По теореме Менелая:, следовательно, .
Значит, SC1KB = SC1BC
Аналогично SAB1P=SAB1B, SA1NC=SACA1
По условию A1C=CB, следовательно, SACA1=SABC, следовательно, SA1NC=SABC
AB1=AC, следовательно, SABB1=SABC, следовательно, SAPB1=SABC
C1B=AB, следовательно, SC1BC=SABC, следовательно, SC1BK=SABC
SABC=SACA1+SCC1B-SA1NC+SAPKC1+SKPN , пусть SABC=S.
S=S+S-S+S+SKPN
S=S+ SKPN, откуда SKPN=(1-)S= S; SKPN=S
Ответ: SKPN=S
Задача №3
Решение
А) Используем свойство площадей треугольников:
(в случае, если BD –медиана, то SABD= SCBD)
Проведём медианы в B1AC1, в B1A1C и в BC1A1.
Обозначим площади частей A1B1C1 буквами S1;S2;S3;S4;S5;S6;S7
По свойству, приведённому выше:
S1=S2 (AB – медиана B1BC)
S6=S7 (A1A – медиана B1A1C) , следовательно, S1=S7
S6=S1 (AC – медиана ABA1)
S2=S3 (B1B – медиана AB1C1), следовательно, S1=S3
S1=S4 (CB – медианаACC1)
S4=S5 (C1C – медиана BC1A1), следовательно, S1=S5
SA1B1C1 = S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7 = 7SABC, где SABC=S1
Значит, =
Б) точки A, B, K – лежат на одной прямой, пересекающей стороны A1B1C По теореме Менелая: , т.к. B1A=AC; т.к. BC=CA1, следовательно, т.е.
Ответ: = ,
Задача №4
Решение
Используем теорему Менелая для BCD и секущей EP.
; CN=ND; следовательно, .
, следовательно, .
Рассмотрим ABD и секущую MP. По теореме Менелая: ; BM=MA, следовательно, , тогда, , следовательно, .
Из двух равенств: и , следует что, . Что и требовалось доказать.
Задача №5
Решение
Используем теорему Менелая поочерёдно к треугольникам:
AKM и секущая DO (точки пересечения O, P, D) ; , следовательно, AO=2OK.
BPN и секущая OC (точки пересечения O, K, C) ; , следовательно, BO=2OP.
AOD и секущая AK (точки пересечения M, P, K) ; , следовательно, DP=3PO
BOC и секущая PN (точки пересечения P, K, N) ; , следовательно, CK=3OK.
Значит, DO=4PO; BO=2PO, т.е.
CO=4OK; AO=2OK, т.е. . В AOB и COD ,
AOB = DOC – вертикальные, следовательно, AOB подобенCOD, следовательно BAO=DCO (накрест лежащие при прямых AB и DC и секущей AC), следовательно, AB || DC. Значит, ABCD – трапеция.
Из равенств и видно, что стороны подобных треугольников AOB и COD относятся как , значит или DC=2AB. Что и требовалось доказать.
Как запомнить равенство Менелая?
Вершины треугольника в каждом отношении и сами отношения записываются в направлении обхода вершин треугольника АВС – от вершины к вершине, проходя через точки деления, (внутренние или внешние).
Домашнее задание
№855,859
Список литературы
1. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. М.: Аванта +, 2002.
2. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии: Ч.1. М.: Наука, Физматлит, 1995.
3. Сканави М. И. Сборник задач по математике для поступающих во Втузы. М.: Высшая Школа, 1995.
4. Г. С. М. Коксетер, С. Л. Грейтцер. Новые встречи с геометрией. М.: Наука, 1991.
5. Математика. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября», 2004 №13,14.
6. Б.Орач «Теорема Менелая». Квант № 3, 1991.
7. Шарыгин И.Ф. Геометрия. Задачник.9—11 классы. — М.: Дрофа, 1996.
8. К. А. Иванов «О пропорциональных отрезках в треугольнике» , журнал « Математика в школе» №8-2004.
9. Е. Качалкина « Применение теорем Чевы и Менелая», журнал «Математика в школе» №13,14 -2004.
10. Г.И.Глейзер. История математики в школе – 1983, - 316с.
Приложение
Слайд 1: Теорема Менелая
Слайд 2-5: Решение задач
Автор(ы): Ильина В. В.
Скачать: Геометрия 10кл - Конспект.docxАвтор(ы): Ильина В. В.
Скачать: Геометрия 10кл - Презентация к уроку.ppt
