Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета

Учителю
  • Быстрый поиск
  • Расширенный поиск
Тип материала:
Разделы:
Темы:

Решение задач по теме "Перпендикулярность прямой и плоскости"

Текст урока

  • Конспект перпендик.прямой

     Геометрия
    10 класс
    «Геометрия. 10-11 класс», Л. С. Атанасян и др., М.: Просвещение, 2006 г. 256 с. 
    Базовый уровень обучения
    Тема урока:  Решение задач по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»
    Для изучения темы отведено 2 часа
    Данный урок относится к главе 2 § 1: «Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью.
    Это урок – обобщение  по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей»
    Цель:  Систематизация   и обобщение ЗУН   по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей».
    Задачи:
    1. Обобщить  теоретические знания по теме.
    2. Повторить  все понятия, определения и теоремы по данной теме, подготовиться к теоретическому зачёту.
    3. Разобрать возможные типы заданий  ЕГЭ по математике, научить применять полученные знания в решении этих задач.
    Планируемые образовательные результаты:
    предметные
    знать определения понятий: перпендикулярные прямые в пространстве, перпендикулярность прямой и плоскости; 
    уметь решать задачи
    личностные
    развитие познавательных интересов, учебных мотивов; 
    проявление дисциплинированности, трудолюбия и упорства в решении поставленных целей; 
    метапредметные
    умение ставить перед собой цель и планировать деятельность в соответствии с поставленной целью; 
    сличение способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона;
    умение вступать в сотрудничество с учителем и сверстниками, работать в группе;
    формирование научного мировоззрения
    Мультимедиапроектор 
    Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: 
    презентация к уроку;
    
    
    Содержание урока
    
    1. Организационный момент
    2. Актуализация опорных знаний
    3. Решение задач
    4. Самостоятельная работа
    5. Итог урока. Рефлексия
    6. Домашнее задание
    
    
    
    
    
    
    Ход урока
    Деятельность учителя
    Деятельность ученика
    I этап. Организационный момент
    Проверка готовности учащихся к началу урока
    
    Дорогие ребята! Сегодня мы с вами продолжим работу по теме: «Перпендикулярность прямой и плоскости»
    На доске записана тема урока.
    Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение. (В. Произволов)
    Сообщают об отсутствующих
    
    Записывают в тетради тему урока.
    II этап. Актуализация опорных знаний.
    1) доказать лемму о 2-ух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к третьей;
    2) доказать теорему о 2-ух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к плоскости;
    3) доказать обратную теорему о параллельности 2-ух прямых, перпендикулярных к плоскости;
    4) доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости.
    Пока ученики работают по карточкам, с классом проводится фронтальный опрос.
    С помощью мультимедиапроектора на экране появляются вопросы (Презентация слайд 1) и ученики отвечают на них
    1. Закончить предложение:
    а) две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если…
    б) прямая называется перпендикулярной к плоскости, если…
    в) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они…
    г) если плоскость перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она…
    д) если две плоскости перпендикулярны к одной прямой, то они…
    
    
    2. Дан параллелепипед (Презентация слайд 2)
    
    4 ученика работают по карточкам.
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    а) угол между ними равен 90°
    б) она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости
    в)параллельны
    г)перпендикулярна и к другой прямой
    д)параллельны
    
    а)
    1) ответ: AD; A1D1; B1C1; BC
    2) ответ: (АВС); (A1B1C1)
    б) 
    1)ответ: они перпендикулярны
    2)ответ: они параллельны
    
    
    
    
    
    III этап. Решение задач
    Решение задач по готовым чертежам (Устно)
    (Презентация Слайд 3)
    №1
    
    Дано: ∆ AB  - прямоугольный; AM ⊥ AC; M ∉ (ABC)
    Доказать: AC ⊥ (AMB)
    Доказательство: Т.к. AC ⊥ AB и AC ⊥ AM, а AM ⋂ AB, т.е. АМ и АВ лежат в плоскости (АМВ), то AC ⊥ (AMB) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
    Ч.т.д.
    №2
    
    Дано: ВМDC - прямоугольник, M ∉ (ABC), MB ⊥ AB
    Доказать: CD ⊥ (ABC)
    Доказательство: MB ⊥ BC, т.к. ВМDC – прямоугольник, MB ⊥ AB по условию, BC ⋂ AB, т.е. ВС и АВ лежат в плоскости (АВС) ⇒ MB ⊥ (ABC) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. СD ∥ МВ по свойству сторон прямоугольника ⇒ CD ⊥ (ABC) по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к плоскости (то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости). Ч.т.д.
    
    Решение письменных задач
    Задачи решаются у доски, учащиеся, которые справляются раньше получают индивидуальное задание (Презентация Слайд 4).
    №1.2 (№125 учебника)
    
    Через точки P и Q прямой РQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α и пересекающие её соответственно в точках P1 и Q1. Найдите P1Q1, если PQ = 15 cм; PP1 = 21,5 cм; QQ1 = 33,5 cм.
    Решение:
    1) PP1 ⊥ α и QQ1 ⊥ α по условию ⇒ PP1 ∥ QQ1 (обосновать);
    2) PP1 и QQ1 определяют некоторую плоскость β, α ⋂ β = P1Q1;
    3) PP1Q1Q - трапеция с основаниями PP1 и QQ1, проведём PK ∥ P1Q1;
    4) QK = 33,5 - 21,5 = 12 (см)
    P1Q1 = PK =
    
    = 9 см.
    Ответ: P1Q1 = 9 см.
    №2.2
    
    В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ = 9 см; ВС = 8 см; ВD = 17 см. Найдите площадь BDD1B1.
    Решение:
    1) ∆ ABD: ∠BAD = 90°; АD = BC = 8 см;
    ВD =
    
    см;
    2) ∆ DD1B: ∠D1DB = 90°;
    DD1 =
    
    
    
    3) SBB1D1D = BD ∙ DD1 =12 
    
    
    
    Ответ:
    
    см2.
    №3.2
    
    Отрезок МН пересекает плоскость α в точке К. Из концов отрезка проведены прямые МЕ и НР, перпендикулярные к плоскости α. НР = 4 см; МЕ = 12 см; НК = 5 см. Найдите отрезок РЕ.
    Решение:
    1) Т.к. прямые МЕ и НР перпендикулярны к плоскости α, то МЕ ∥ НР (обосновать) и через них проходит некоторая плоскость β. α ⋂ β = EP;
    2)МЕ ⊥ EP; НР ⊥ EP(обосновать), т.е. ∠MEK = ∠HPK = 90°;
    3) ∆ HPK: KP =
    
    = 3 см;
    4) ∠EMK = ∠PHK (накрест лежащие для параллельных прямых МЕ и НР и секущей МН),
    тогда ∆ MEK ∆ HPK по двум углам и
    
    ; т.е.
    
    ⇒ EK =
    
    = 9 см,
    РЕ = РК + КЕ, РЕ = 3 + 9 = 12 см.
    Ответ: РЕ = 12 см.
    Ученики в ходе фронтального опроса предлагают свои методы решения
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    Ученики записывают решение в тетради, в случае затруднения помогают ученику у доски
    
    
    
    IV этап. Самостоятельная работа
    Учитель раздает карточки с задачей для самостоятельной работы (Приложение 1)
    Ученики выполняют самостоятельную работу
    V этап. Итог урока. Рефлексия
    – Чему научились на уроке? 
    – Что оказалось для вас наиболее сложным?
    – Оцените свою работу и работу группы.
    
    VI этап. Домашнее задание
    Обратите внимание на слад, запишите задание на дом глава II, №130, №131.
    Ученики записывают домашнее задание
    
    Приложение 1
    Вариант I
    Вариант II
    Через вершины А и В прямоугольника АВСD проведены параллельные прямые AA1и BB1, не лежащие в плоскости прямоугольника. Известно, что AA1 ⊥ AB, AA1 ⊥ AD. Найдите B1B, если B1D = 25 см, AB = 12 см, AD = 16 см.
    Через вершины А и В ромба АВСD проведены параллельные прямые AA1 иBB1, не лежащие в плоскости ромба. Известно, что BB1 ⊥ BC, BB1 ⊥ AB. Найдите A1A, если A1C = 13 см, BD = 16 см, AB = 10 см.
    Решение:
    
    1) AA1 ⊥ AB, AA1 ⊥ AD, а AB ⋂ AD = A ⇒ AA1 ⋂ (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), а т.к. AA1 ∥ BB1, то BB1 ⊥ (ABC) ⇒ BB1 ⊥BD;
    2) ∆ ABD: ∠BAD = 90°. По теореме Пифагора:
    BD =
    
    = 20 см;
    3) ∆ B1BD – прямоугольный. По теореме Пифагора:
    B1B =
    
    = 15 см.
    Ответ: 15 см.
    Решение:
    
    1) BB1 ⊥ AB, BB1 ⊥ BC, а AB ⋂ BC = B ⇒ BB1 ⋂ (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), а т.к. BB1 ∥ AA1, то AA1 ⊥ (ABC) ⇒AA1 ⊥ AC;
    2) Используя свойство диагоналей ромба, имеем в ∆ AOB: ∠AOB = 90°, BO = ½ BD = 8 см. По теореме Пифагора:
    AO =
    
    = 6 см,
    AO = ½ AC ⇒ AC = 12 см;
    3) ∆ A1AC – прямоугольный. По теореме Пифагора:
    AA1 =
    
    = 5 см.
    Ответ: 5 см.
    
     

    Автор(ы): Касаева А. В.

    Скачать: Геометрия 10кл - Конспект перпендик.прямой.docx
  • Конспект 1

     
    Урок 35
    РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ»
    Цель:  проверить знание учащимися основных теоретических положений изученной темы.
    Задачи: отрабатывать навык применения теории к решению задач
    Планируемые результаты: Знать: теорему о прямой, перпендикулярной к плоскости. Уметь: находить расстояние от точки, лежащей на прямой, перпендикулярной к плоскости квадрата, правильного треугольника, ромба до их вершин, используя соотношения в прямоугольном треугольнике.
    Ход урока
    I. Диктант.
    Закончите предложения. Сделайте рисунок.
    1. Две прямые называются перпендикулярными, если…
    2. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если…
    3. Прямая перпендикулярна плоскости, если она…
    4. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то…
    5. Через данную точку пространства можно провести прямую, ей перпендикулярную, и притом…
    6. Все прямые, проходящие через данную точку прямой и перпендикулярные к этой прямой, лежат в…
    7. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то…
    8. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости,…
    9. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то…
    10. Если две плоскости перпендикулярны прямой, то они…
    II. Решение задач.
    
    1. Дано: Е (ABCD).  ABCD – 
    прямоугольник. ВЕ  АВ, ЕА  АD.
    Доказать, что AD BE.
    Найти SEBD, если BD = 7 см,
    ED = 25 см.
    
    2. Дано: ABCD – тетраэдр, 
    Δ АВС – правильный, DO (АВС).
    Доказать, что АВ DC.
    Доказательство
    1. АВ  (DMC), так как АВ  MD, АВ  МС.
    2. 
    
    3. Дано: ABCD – тетраэдр,
    DAC = DAB, АВ = АС.
    Найдите (AD, ВС).
    
    4. Дано:  ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед.
    Все грани – равные ромбы. 
    С1СВ =С1СD.
    Найдите (С1С, ВD), (А1С, ВD).
    Домашнее задание:
    1. Через катеты BD и BC прямоугольных треугольников ABD и ABC проведена плоскость α, не содержащая их общий катет. Будет ли АВ α?
    2. Отрезок MH пересекает некоторую плоскость в точке K. Через концы отрезка проведены прямые НР и МЕ, перпендикулярные плоскости и пересекающие ее в точках Р и Е. Найдите РЕ, если НР = 4 см, НK = 5 см, МЕ = 12 см.
    3. ABCD – квадрат. Отрезок MD перпендикулярен к плоскости АВС. Докажите, что MB АС.
    4. ABCD – прямоугольник. Отрезок АЕ перпендикулярен к плоскости АВС. ЕВ = 15, ЕС = 24, ED = 20. Докажите, что треугольник EDC прямоугольный, и найдите АЕ.
    5. Точка А принадлежит окружности, АK – перпендикуляр к ее плоскости, АK = 1 см, АВ – диаметр, ВС – хорда окружности, составляющая с АВ угол 45°. Радиус окружности равен 2 см. Докажите, что треугольник KСВ прямоугольный, и найдите KС.
    
     

    Автор(ы): Солдатова Е. В.

    Скачать: Геометрия 10кл - Конспект 1.docx
  • Конспект 2

     Урок 36
    РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
    Цель: сформировать навык применения признака перпендикулярности прямой и плоскости к решению задач.
    Задачи: систематизировать навык решения стереометрических задач по изученной теме
    Планируемые результаты: Знать: теорему о прямой, перпендикулярной к плоскости. Уметь: находить расстояние от точки, лежащей на прямой, перпендикулярной к плоскости квадрата, правильного треугольника, ромба до их вершин, используя соотношения в прямоугольном треугольнике.
    
    Ход урока
    I. Проверка домашнего задания (теорема, №№ 129, 131).
    II. Устная работа.
    1. Можно ли утверждать, что прямая, проходящая через центр круга перпендикулярна:
    а) диаметру;
    б) двум радиусам;
    в) двум диаметрам, перпендикулярна плоскости круга?
    (а) нет; б) нет; в) да.)
    2. Можно ли утверждать, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна лежащим в этой плоскости:
    а) двум сторонам треугольника;
    б) двум сторонам квадрата;
    в) диагоналям параллелограмма.
    3. Дано ABCD – куб. Заполните пропуски о взаимном расположении прямых и плоскостей:
    
    а) СС1…(DCB);
    б) АА1…(DCB);
    в) D1C1…(DCB);
    г) В1С1…(DD1C1);
    д) В1С1…DC1;
    е) А1D1…DC1;
    ж) ВВ1…АС;
    з) А1В…ВС;
    и) А1В…DC1.
    4. Три луча ОМ, ON, ОК попарно перпендикулярны. Как расположен каждый из лучей по отношению к плоскости, определяемой двумя другими лучами?
    Что моделирует в классной комнате описанную комбинацию?
    III. Решение задач.
    
    1. Дано: Е (ABCD), ABCD – 
    прямоугольник. ВЕ  АВ, ВЕ ВС.
    Доказать, что: а) ВЕ CD;
    б) CD (ВСЕ).
    Найдите SECD, если CD = 6 см,
    CЕ = 8 см.
    
    2. Дано: ABCD – тетраэдр,
    BD ВС, DC АС, АСВ = 90°.
    Доказать, что АС  BD.
    Найдите SABD, если AD = 25 см,
    АВ = 24 см.
    
    3. Дано: ABCD – тетраэдр.
    AD  АС, AD АВ, DC СВ.
    Доказать, что: а) AD ВС;
    б) ВС (ADC).
    Найдите SАВС, если ВС = 4 см,
    АС = 3 см.
    
    4. Дано: ABCD – тетраэдр. 
    ADC = BDC,
    ABD = DAB.
    Найдите (АВ, CD).
    Решение
    1. Δ ADB – равнобедренный 
     DK – высота и медиана.
    2. Δ ADС = Δ ВDС (по двум сторонам и углу между ними)  АС = CB.
    3. 
    4. 
    5. 
    
     

    Автор(ы): Солдатова Е. В.

    Скачать: Геометрия 10кл - Конспект 2.docx

Презентация к уроку