Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета

Учителю
  • Быстрый поиск
  • Расширенный поиск
Тип материала:
Разделы:
Темы:

Тип материала

Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

Текст урока

  • Конспект Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

     
    
    Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости
    Класс: 10
    
    Цель урока:
    образовательная: формировать понятие перпендикулярных прямых в пространстве, доказать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой, дать определение перпендикулярности прямой и плоскости, доказать теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости;
    
    развивающая: развивать вычислительные навыки, логическое и пространственное мышление, речь учащихся;
    
    воспитательная: воспитывать интерес к предмету, аккуратность при выполнении чертежей.
    
    Тип урока: урок усвоения новых знаний
    
    Методы обучения: индуктивно-эвристический, дедуктивно-репродуктивный.
    
    Требования к ЗУН: учащиеся должны знать понятие перпендикулярных прямых в пространстве, доказательство леммы о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой, определение перпендикулярности прямой и плоскости, формулировки теорем, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости; уметь применять изученные понятия и утверждения при решении задач по данной теме.
    
    Оборудование: ПК, экран, проектор, мультимедиа презентация.
    
    Литература:
    1. Геометрия, 10–11: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 11-е изд. – М.: Просвещение, 2002 г.
    2. Изучение геометрии в 10-11 классах: Метод. рекомендации к учеб.: Кн. для учителя /С. М. Саакян, В.Ф. Бутузов. – 2-е изд. – М. Просвещение, 2003. – 222 с.: ил. – ISBN 5-09-011836-1.
    3. Методика и технология обучения математике. М.: Дрофа, 2005. – 416 с.
    
    План урока:
    I. Орг. момент (2 мин)
    II. Изучение нового материала (20 мин)
    1. Актуализация знаний.
    2. Формирование понятия перпендикулярности двух прямых в пространстве.
    3. Доказательство леммы о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.
    4. Формирование понятия перпендикулярности прямой и плоскости.
    5. Доказательство теорем, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
    III. Первичное закрепление материала. №№ 117, 120 (17 мин)
    IV. Подведение итогов (5 мин)
    V. Домашнее задание. п.15 – 16, вопросы 1, 2 стр.54, №№ 116, 118 (1 мин)
    
    ХОД УРОКА:
    
    I. Орг. момент
    
    Приветствие учеников, проверка готовности учащихся к уроку, проверка отсутствующих.
    Учитель: (слайд 1) Мы приступаем к изучению новой большой главы: «Перпендикулярность прямых и плоскостей». Тема нашего сегодняшнего урока: «Перпендикулярность прямой и плоскости». Мы познакомимся с понятием перпендикулярных прямых в пространстве, с теоремами, касающимися перпендикулярности прямых и затем рассмотрим задачи.
    
    
    Запись на доске и в тетрадях:
    
    Число.
    Классная работа.
    «Перпендикулярность прямой и плоскости».
    II. Изучение нового материала
    
    1. Актуализация знаний.
    Учитель: Какое взаимное расположение прямых на плоскости?
    Ученик: Прямые могут не иметь общих точек – быть параллельными, иметь одну общую точку – пересекаться, либо быть перпендикулярными, иметь множество общих точек – совпадать.
    Учитель: Какие прямые называются перпендикулярными на плоскости?
    Ученик: Две прямые называются перпендикулярными, если при пересечении они образуют четыре прямых угла.
    Учитель: Какое взаимное расположение прямых в пространстве?
    Ученик: Две прямые могут пересекаться, быть параллельными, либо скрещивающимися.
    
    2. Формирование понятия перпендикулярности двух прямых в пространстве.
    Учитель: (слайд 2) Перед вами куб ABCDA1B1C1D1.
    
    
    Учитель: Какое взаимное расположение прямых АВ и ВС?
    Ученик: Прямые перпендикулярны.
    Учитель: (слайд 2) Найдите угол между прямыми АА1 и DC.
    
    Ученик: Прямые АА1 и DC тоже перпендикулярны, угол между ними равен 90 градусов.
    Учитель: (слайд 2) Запишем определение перпендикулярности двух прямых в пространстве
    
    Запись в тетрадях:
    
    Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов.
    
    Учитель: (слайд 3) В пространстве перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. Обратите также внимание на рисунок 43 на стр.34 ваших учебников. Перпендикулярные a и b пересекаются, а прямые a и cскрещиваются.
    
    
    
    3. Доказательство леммы о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.
    Учитель: (слайд 4) Рассмотрим прямые АА1 , СС1 и DC.
    
    
    Учитель: Прямая АА1 параллельна прямой СС1, а прямая СС1перпендикулярна прямой CD. Нами установлено, что АА1перпендикулярна CD. Какой мы можем сделать из этого вывод?Сформулируйте это утверждение.
    Ученик: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
    Учитель: (слайд 5) Это утверждение носит название Леммы о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.
    
    
    
    Запись в тетрадях:
    
    Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
    
    Учитель: (слайд 6) Докажем лемму.
    
    
    
    Запись на доске и в тетрадях:
    
    
    Дано: а || b, a ^. с
    Доказать: b^с.
    
    
    Учитель: Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как прямая aперпендикулярна c, то угол AMC равен 90 градусов.
    
    Запись на доске и в тетрадях:
    МА||а и МС||с. Т.к. a ^ c, то угол AMC = 90°
    
    Учитель: По условию b||а, а по построению а || МА, поэтомуb||МА. Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между которыми равен 90°. Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90°, т. е. b ^ c.
    
    Запись на доске и в тетрадях:
    b||а (по условию), а || МА (по построению), => b||МА.
    b|| МА и с|| МС, угол AMC = 90° => (b,^c) = 90°, т. е. b ^ c
    
    4. Формирование понятия перпендикулярности прямой и плоскости.
    Учитель: (слайд 7) Рассмотрим куб ABCDA1B1C1D1. Найдем углы между прямой АА1 и прямыми плоскости АBCD.
    
    Ученик: Между прямой АА1 и прямыми плоскости АBCD углы равны 90°, т.е прямая АА1 перпендикулярна прямым плоскости АBCD.
    Учитель: Отсюда мы можем сделать вывод: прямая АА1перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости АBCD.Такие прямые называются перпендикулярными. Перпендикулярность прямой α и плоскости α обозначается так:α ^ α,
    Учитель: (слайд 7) Запишем определение прямой, перпендикулярной к плоскости:
    
    Запись в тетрадях:
    Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
    Обозначение: α ^ α
    
    Учитель: Говорят также, что плоскость α перпендикулярна к прямой α.
    Учитель: (слайд 8) Если прямая α перпендикулярна к плоскости α, то она пересекает эту плоскость. Действительно, если бы прямая α не пересекала плоскость α, то она или лежала бы в этой плоскости, или была бы параллельна ей, а это противоречит определению перпендикулярности прямой и плоскости, значит прямая α пересекает плоскость α.
    
    Учитель: (слайд 9) На рисунке 45 стр.35 ваших учебников изображена прямая α перпендикулярная к плоскости α.Скажите, прямая будет перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α?
    
    Ученик: Да, будет. Это следует из определения прямой, перпендикулярной к плоскости.
    Учитель: (слайд 10) Окружающая нас обстановка дает много примеров, иллюстрирующих перпендикулярность прямой и плоскости. Прокомментируйте их.
    
    Ученик: Телеграфный столб перпендикулярен к плоскости земли.. Так же расположены колонны здания по отношению к плоскости фундамента, линии пересечения стен по отношению к плоскости пола.
    Учитель: А чему будет перпендикулярна открытая половинка окна?
    Ученик: Плоскости подоконника, плоскости пола, плоскости потолка.
    Учитель: Какие ещё примеры вы можете привезти из жизни?
    Ученик: Люстра висит перпендикулярно к плоскости пола и плоскости потолка, горизонтальная линия доски перпендикулярна плоскости стены и т.д.
    
    5. Доказательство теорем, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
    Учитель: (слайд 11) Рассмотрим ещё две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
    
    Запись в тетрадях:
    Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
    
    Учитель: (слайд 12) Докажем её.
    
    
    Запись на доске и в тетрадях:
    
    Дано: а || b, a ^α
    Доказать: b^α.
    
    Учитель: Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости α. Так как а^α, то а^х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей b^х.
    Таким образом, прямая b перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т.е. b^α.
    
    Запись на доске и в тетрадях:
    Т.к а^α, то а^х => b^х (по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей), а значит b^α (по определению).
    
    Учитель: (слайд 13) Докажем обратную теорему.
    
    Запись в тетрадях:
    Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
    
    Учитель: (слайд 14) Доказательство:
    
    
    Учащиеся самостоятельно записывают доказательство в тетрадь.
    
    III. Закрепление изученного материала
    Учитель: Переходим к решению задач. №№ 117, 120
    Один ученик работает у доски, остальные на местах в тетрадях.
    Учитель: Что дано в задаче?
    Учитель: Что нужно доказать?
    Учитель: Как мы это докажем?
    Учитель: Какие теоремы можно применить?
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    IV. Подведение итогов
    Обобщение материала, изученного на уроке, повторение основных понятий и формулировок (фронтальный опрос). Выделение положительных и отрицательных моментов урока, оценка работы ребят, выставление отметок.
    
    IV. Домашнее задание
    
    
     

    Автор(ы): Баловнев С. В.

    Скачать: Геометрия 10кл - Конспект Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости.doc
  • Конспект

     Урок 34
    ТЕОРЕМА О ПЛОСКОСТИ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ПРЯМОЙ.
    ТЕОРЕМА О ПРЯМОЙ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ПЛОСКОСТИ
    Цель:  доказать  теоремы  существования  и  единственности  прямой (плоскости), перпендикулярной к данной плоскости (прямой).
    Задачи: формировать навык применения изученной теории к решению задач.
    Планируемые результаты: Знать: теорему о прямой, перпендикулярной к плоскости. Уметь: применять теорему для решения стереометрических задач.
    Ход урока
    I. Объяснение нового материала.
    Доказать  теорему  существования и единственности плоскости, проходящей через любую точку пространства перпендикулярно к данной прямой (п. 17, № 133). Составить обратную теорему, доказать (п. 18).
    II. Решение задач.
    №№ 123, 132, 135, 137.
    III. Домашнее задание: теория (п. 17 – 18), № 134.
    
     

    Автор(ы): Солдатова Е. В.

    Скачать: Геометрия 10кл - Конспект.docx