Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Урок геометрии по теме "Перпендикулярность прямой и плоскости". 10-й класс Цели: 1. закрепить вопросы теории по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»; 2. вырабатывать навыки применения теоретических знаний к решению типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости. План: I. Теоретический опрос. 1. Доказательство изученных теорем у доски. 2. Фронтальный опрос. 3. Презентации учащихся по данной теме. II. Решение задач. 1. Решение устных задач по готовым чертежам. 2. Решение письменных задач (по группам). 3. Самостоятельная работа с индивидуальным заданием. III. Итог урока. Задание на дом. Ход урока I. Теоретический опрос (4 ученика у доски) 1) доказать лемму о 2-ух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к третьей; 2) доказать теорему о 2-ух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к плоскости; 3) доказать обратную теорему о параллельности 2-ух прямых, перпендикулярных к плоскости; 4) доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости. Пока ученики готовятся у доски к ответу, с классом проводится фронтальный опрос. (1. Закончить предложение: а) две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если… (угол между ними равен 90°) б) прямая называется перпендикулярной к плоскости, если… (она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости) в) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они… (параллельны) г) если плоскость перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она… (перпендикулярна и к другой прямой) д) если две плоскости перпендикулярны к одной прямой, то они… (параллельны) 2. Дан параллелепипед а) Назовите: 1) рёбра, перпендикулярные к плоскости (DCC1) (ответ: AD; A1D1; B1C1; BC) 2) плоскости, перпендикулярные ребру BB1 (ответ: (АВС); (A1B1C1)) б) Определите взаимное расположение: 1) прямой CC1 и плоскости (DСВ) (ответ: они перпендикулярны) 2) прямой D1C1 и плоскости (DCB) (ответ: они параллельны) Далее выслушиваются ответы учеников у доски с дополнениями и исправлениями по необходимости. Затем рассматриваются презентации по данной теме, подготовленные рядом учеников в качестве зачётных работ II. Решение задач. 1. Решение задач по готовым чертежам (Устно) №1 Дано: ∆ ABC - прямоугольный; AM ⊥ AC; M ∉ (ABC) Доказать: AC ⊥ (AMB) Доказательство: Т.к. AC ⊥ AB и AC ⊥ AM, а AM ⋂ AB, т.е. АМ и АВ лежат в плоскости (АМВ), то AC ⊥ (AMB) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Ч.т.д. №2 Дано: ВМDC - прямоугольник, M ∉ (ABC), MB ⊥ AB Доказать: CD ⊥ (ABC) Доказательство: MB ⊥ BC, т.к. ВМDC – прямоугольник, MB ⊥ AB по условию, BC ⋂ AB, т.е. ВС и АВ лежат в плоскости (АВС) ⇒ MB ⊥ (ABC) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. СD ∥ МВ по свойству сторон прямоугольника ⇒ CD ⊥ (ABC) по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к плоскости (то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости). Ч.т.д. №3 Дано: АВСD – прямоугольник, M ∉ (ABC), MB ⊥ BC Доказать: AD ⊥ AM Доказательство: 1) ∠ABC = 90°, т.к. АВСD – прямоугольник ⇒ BC ⊥ AB, BS ⊥ MB по условию, MB ⋂ AB = B, т.е. МВ и АВ лежат в плоскости (АМВ) ⇒ BC ⊥ (AMB) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. 2) BC ∥ AD (по свойству сторон прямоугольника) ⇒ AD ⊥ (AMB) по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости (то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости). 3) Т.к. AD ⊥ (AMB) ⇒ AD ⊥ AM по определению прямой, перпендикулярной плоскости. Ч.т.д. №4 Дано: АВСD – параллелограмм, M ∉ (ABC), МВ = МD, МА = МС Доказать: MO ⊥ (ABC) Доказательство: 1) Т.к. О – точка пересечения диагоналей параллелограмма, то АО = СО и ВО = DO. ∆ BMD - равнобедренный, т. к. ВМ = МD по условию, значит МО - медиана и высота, т.е. MO ⊥ BD. 2) Аналогично доказывается в ∆ AMC: MO ⊥ AC. 3) Итак, MO ⊥ BD и MO ⊥ AC. а ВD и АС – пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости (АВС) ⇒ MO ⊥ (ABC) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Ч.т.д. (Устные ответы к каждой задаче требуется обосновывать, проговаривая всякий раз формулировки применяемых теорем) 2. Решение письменных задач Класс делится на три группы (например, по рядам), и каждой группе даётся задача с последующей проверкой решения у доски. №1.2 (№125 учебника) Через точки P и Q прямой РQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α и пересекающие её соответственно в точках P1 и Q1. Найдите P1Q1, если PQ = 15 cм; PP1 = 21,5 cм; QQ1 = 33,5 cм. Решение: 1) PP1 ⊥ α и QQ1 ⊥ α по условию ⇒ PP1 ∥ QQ1 (обосновать); 2) PP1 и QQ1 определяют некоторую плоскость β, α ⋂ β = P1Q1; 3) PP1Q1Q - трапеция с основаниями PP1 и QQ1, проведём PK ∥ P1Q1; 4) QK = 33,5 - 21,5 = 12 (см) P1Q1 = PK = = 9 см. Ответ: P1Q1 = 9 см. №2.2 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ = 9 см; ВС = 8 см; ВD = 17 см. Найдите площадь BDD1B1. Решение: 1) ∆ ABD: ∠BAD = 90°; АD = BC = 8 см; ВD = см; 2) ∆ DD1B: ∠D1DB = 90°; DD1 = = 12 см; 3) SBB1D1D = BD ∙ DD1 = см2. Ответ: см2. №3.2 Отрезок МН пересекает плоскость α в точке К. Из концов отрезка проведены прямые МЕ и НР, перпендикулярные к плоскости α. НР = 4 см; МЕ = 12 см; НК = 5 см. Найдите отрезок РЕ. Решение: 1) Т.к. прямые МЕ и НР перпендикулярны к плоскости α, то МЕ ∥ НР (обосновать) и через них проходит некоторая плоскость β. α ⋂ β = EP; 2)МЕ⊥ EP; НР ⊥ EP(обосновать), т.е. ∠MEK = ∠HPK = 90°; 3) ∆ HPK: KP = = 3 см; 4) ∠EMK = ∠PHK (накрест лежащие для параллельных прямых МЕ и НР и секущей МН), тогда ∆ MEK ∆ HPK по двум углам и ; т.е. ⇒ EK = = 9 см, РЕ = РК + КЕ, РЕ = 3 + 9 = 12 см. Ответ: РЕ = 12 см. 3. Самостоятельная работа (направлена на проверку усвоения материала по данной теме) Вариант I Вариант II Через вершины А и В прямоугольника АВСD проведены параллельные прямые AA1 и BB1, не лежащие в плоскости прямоугольника. Известно, что AA1 ⊥ AB, AA1⊥ AD. Найдите B1B, если B1D = 25 см, AB = 12 см, AD = 16 см. Через вершины А и В ромба АВСD проведены параллельные прямые AA1 и BB1, не лежащие в плоскости ромба. Известно, что BB1 ⊥ BC, BB1 ⊥AB. Найдите A1A, если A1C = 13 см, BD = 16 см, AB= 10 см. Решение: 1) AA1 ⊥ AB, AA1 ⊥ AD, а AB ⋂ AD = A ⇒ AA1 ⋂ (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), а т.к. AA1 ∥ BB1, то BB1 ⊥ (ABC) ⇒ BB1 ⊥ BD; 2) ∆ ABD: ∠BAD = 90°. По теореме Пифагора: BD = = 20 см; 3) ∆ B1BD – прямоугольный. По теореме Пифагора: B1B = = 15 см. Ответ: 15 см. Решение: 1) BB1 ⊥ AB, BB1 ⊥ BC, а AB ⋂ BC = B ⇒ BB1 ⋂ (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), а т.к. BB1 ∥ AA1, то AA1 ⊥ (ABC) ⇒ AA1⊥ AC; 2) Используя свойство диагоналей ромба, имеем в ∆AOB: ∠AOB = 90°, BO = ½ BD = 8 см. По теореме Пифагора: AO = = 6 см, AO = ½ AC ⇒ AC = 12 см; 3) ∆ A1AC – прямоугольный. По теореме Пифагора: AA1 = = 5 см. Ответ: 5 см. Индивидуальное задание для более сильных учеников. (Вариант III) Дано: ∆ ABC; AB = AC = BC; CD ⊥ (ABC); AM = MB; DM = 15 дм; CD = 12 дм. Найти: S∆ ADB Решение: 1) Т.к. CD ⊥ (FDC) ⇒ CD ⊥ AC и CD ⊥ BC, т.е. ∆ ADC, ∆ BDC – прямоугольные; 2) ∆ ADC = ∆ BDC (по двум катетам) ⇒ AD = BD, т.е. ∆ ADB – равнобедренный и DM – медиана, а значит и высота; 3) DC ⊥ MC ⇒ MCD – прямоугольный, тогда MC = = 9; 4) ∆ ABC – равносторонний, поэтому СМ – медиана и высота, т.е. ∆ MCB – прямоугольный, ∠B = 60°, sin∠B = , тогда , а АВ = ВС (по условию). 5) S∆ ADB = ½ DM ∙ AB; S∆ ADB = ½ ∙ 15 ∙ . Ответ: III. Подводятся итоги урока. Задание на дом: повторить теоретический материал по изученной теме, глава II, №130, №131. Для подготовки к уроку использовались материалы учебника «Геометрия – 10-11» авторов Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова и др., методические рекомендации к учебнику «Изучение геометрии в 10-11 классах» авторов С.М. Саакяна, В.Ф. Бутузова, «Поурочные разработки по геометрии» автора В.А. Яровенко.
Автор(ы): Данилова Н. М.
Скачать: Геометрия 10кл - Конспект Признак перпендикулярности прямой и плоскости.doc Урок 33
ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ
ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Цель: доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Задачи: формировать навык применения признака к решению задач.
Планируемые результаты: Знать: признак перпендикулярности прямой и плоскости. Уметь: применять признак при решении задач на доказательство перпендикулярности прямой и плоскости параллелограмма, ромба, квадрата.
Ход урока
I. Актуализация знаний.
№ 119 (а).
Дано: ОА α, ОА = OD.
Доказать, что AB = DB.
ВО – медиана и высота в Δ ABD
ABD – равнобедренный AB = DB.
II. Объяснение нового материала.
Как проверить перпендикулярность данной прямой к данной плоскости? Исходя из определения, необходимо проверить перпендикулярность данной прямой по отношению к любой прямой, лежащей в плоскости. Но таких прямых – бесконечно много. Сколько достаточно взять, чтобы ответить на данный вопрос?
Начнем с наименьшего количества прямых. Возьмем одну прямую, лежащую в плоскости. (Учитель демонстрирует.) Видно, что одной прямой недостаточно.
Возьмем две прямые. Две прямые на плоскости могут быть параллельными или пересекающимися.
Что вы замечаете? Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Признак формулируется. Записываются условия и требования. Что надо доказать, чтобы утверждать, что прямая а перпендикулярна плоскостиα? (Что прямая а перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.)
Далее работа с учащимися строится по плану:
1) прочитать доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости (п. 17);
2) сделать чертеж;
3) оформить доказательство.
III. Решение задач.
№ 127.
Дано: Δ АВС, А +В = 90°,
BD (АВС).
Доказать, что CD АС.
Доказательство
1. А +В = 90° С = 90°.
2.
3.
№ 128.
Дано: ABCD – параллелограмм,
АМ = МС, ВМ = МD.
Доказать, что МО (АВС).
Доказательство
1.
2.
3.
№ 130.
Дано: МВА = МВС = 90°,
МВ = m, АВ = n.
Найдите: АМ, СМ, DM; расстояние от М до АС и BD.
Решение
1.
2. AM = CM =.
3. ρ (M, BD) = MB = m.
4. ρ (M, AC) – ?
а)
б)
ρ (M, AC) = MO, MO =.
Домашнее задание: теория (п. 17), №№ 129, 131.
Автор(ы): Солдатова Е. В.
Скачать: Геометрия 10кл - Конспект.docx
