Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Название предмета Алгебра Класс 9 УМК (название учебника, автор, год издания) «Алгебра 9» Ю.Н Макарычев,2008 Уровень обучения: базовый У р о к 6 (79). Нахождение суммы первых п членов арифметической прогрессии Цели: вывести формулу суммы первых п членов арифметической прогрессии; формировать умение применять эту формулу при решении задач. Ход урока I. Организационный момент. II. Актуализация знаний. У с т н о: 1. Сформулируйте определение арифметической прогрессии. 2. Приведите пример арифметической прогрессии. 3. Сформулируйте определение разности арифметической прогрессии. 4. Назовите формулу п-го члена арифметической прогрессии. П и с ь м е н н о: В а р и а н т 1. № 578 (а). В а р и а н т 2. № 578 (б). III. Объяснение нового материала. 1. Создание проблемной ситуации. З а д а ч а. Ученик мастера изготовил в первую неделю работы 15 гончарных изделий, а в каждую следующую неделю изготовлял на 5 изделий больше, чем в предыдущую. Сколько изделий ученик изготовил за восьмую неделю? Сколько изделий ученик изготовил всего в течение десяти недель? Ответ на первый вопрос ученики знают, как получить, такие задачи решались ими на прошлых занятиях. Количество изготовленных изделий в первую, вторую и т. д. недели можно обозначить а1, а2,… ап, …, причем (ап) – арифметическая прогрессия с разностью d = 5 и первым членом а1 = 15. За восьмую неделю ученик изготовил гончарных изделий: а8 = 15 + 5 (8 – 1) = 50. Для ответа на второй вопрос ученики могут предложить только такой способ решения: подсчитать количество изделий, выполненных за 2-ю, 3-ю, …, 10-ю неделю, и сложить. Это очень долго. А если в задаче нужно будет найти сумму ста членов арифметической прогрессии, тысячи? Возникает проблема – нужна общая формула. 2. Пример из истории математики. С формулой суммы п первых членов арифметической прогрессии связан эпизод из жизни немецкого математика Карла Гаусса (1777–1855). Маленькому Карлу было 9 лет, когда учитель, занятый проверкой работ учеников, предложил классу сложить все натуральные числа от 1 до 100, рассчитывая надолго занять детей. Каково же было удивление преподавателя, когда через несколько минут Гаусс подошел к нему с верным ответом! Он подошел к решению творчески, заметив, что можно складывать числа не подряд, а парами: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 … и т. д. Легко увидеть, что сумма чисел в каждой паре равна 101, а таких пар 50, значит общая сумма равна 101 · 50 = 5050. А можно ли с помощью рассуждений, аналогичных тем, что проводил маленький Гаусс, найти сумму первых п членов любой арифметической прогрессии? 3. Вывод формулы. Пусть (ап) – арифметическая прогрессия. Обозначим Sn сумму п первых членов арифметической прогрессии. Sn = а1 + а2 + а3 + а4 + … + ап – 1 + ап (1) Sn = ап + ап – 1 + ап – 2 + ап – 3 + … + а2 + а1 (2) Докажем, что сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом, равна а1 + ап. a2 + an – 1 = (a1 + d) + (an – d) = a1 + an; a3 + an – 2 = (a2 + d) + (an – 1 – d) = a2 + an – 1 = a1 + an; a4 + an – 3 = (a3 + d) + (an – 2 – d) = a3 + an – 2 = a1 + an и т. д. Число таких пар равно п. Складываем почленно (1) и (2) и получаем 2Sn = (a1 + an) · n. – формула суммы п первых членов арифметической прогрессии. Обычно арифметическая прогрессия задается первым членом и разностью, поэтому удобно иметь еще формулу суммы п первых членов, выраженную через а1 и d арифметической прогрессии. Sn = · n, ап = а1 + d (п – 1); Sn = · n; – формула суммы п первых членов арифметической прогрессии. 4. Пример. Вернемся к задаче про ученика мастера. В течение 10 недель ученик мастера изготовил S10 = · 10 = 375 изделий. IV. Формирование умений и навыков. Так как формул суммы п первых членов арифметической прогрессии две, то необходимо сперва выяснить, в заданиях какого вида лучше использовать каждую из них, а затем при решении упражнений анализировать условие и выбирать формулу. Упражнения: 1) Найти сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии 4; 5,5; … Р е ш е н и е а1 = 4, d = 1,5, значит, по формуле II: а30 = · 30 = 772,5. 2) Найти сумму первых сорока членов последовательности (ап), заданной формулой ап = 5 · п – 4. Последовательность (ап) задана формулой вида ап = kn + b, где k = 5 и b = –4, значит, (ап) – арифметическая прогрессия. Если применять формулу II, то для этого сперва надо найти а1, а2 , затем d как разность а1 – а2. Это неудобно, проще сразу найти а1, а40 и подставить в формулу I. а1 = 5 · 1 – 4 = 1; а4 = 5 · 40 – 4 = 196; S40 = = 3940. 3) № 603, № 604. На «прямое» применение формул I и II. Самостоятельное решение с последующей проверкой. № 606. № 608 (а). У доски с объяснением. Здесь необходимо «увидеть», что последовательность слагаемых – арифметическая прогрессия, где а1 = 2, d = 2 и количество слагаемых равно п, можно применить формулу II. А можно задать эту прогрессию формулой ап = 2п и применить формулу I. V. Итоги урока. – Назовите формулу суммы первых п членов арифметической прогрессии (2 вида). – В каких случаях удобнее применять формулу I, II? Домашнее задание: № 605, № 607, № 608 (б), № 621 (а).
Автор(ы): Лескина М. Л.
Скачать: Алгебра 9кл - Конспект 79.docxНазвание предмета Алгебра Класс 9 УМК (название учебника, автор, год издания) «Алгебра 9» Ю.Н Макарычев,2008 Уровень обучения: базовый У р о к 7-8 (80) Применение формулы суммы первых п членов арифметической прогрессии Цели: закреплять умения и навыки применения формулы суммы первых п членов арифметической прогрессии при решении задач; провести подготовку к контрольной работе. Ход урока I. Организационный момент. II. Устная работа. 1. Является ли арифметической прогрессией последовательность, заданная формулой: а) хп = 2п + 1; б) уп = п2 – п; в) zn = –64? 2. Найдите разность арифметической прогрессии: г) 17; 13; 9; … д) (хп), если х10 = 4, х12 = 14; е) (уп), если уп = 3п – 0,5. 3. (ап) – арифметическая прогрессия, вычислите: ж) а7, если а1 = 1, d = –2; з) а10, если ап = 17 · п – 100; и) а12, если а1 = 0, а2 = 3. III. Проверочная работа. Работа проводится по вариантом, задания на «прямое» применение формулы суммы п первых членов арифметической прогрессии. В а р и а н т 1 1) Найдите сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии, если а1 = 16,5; d = –1,5. 2) Найдите сумму первых сорока членов последовательности, заданной формулой ап = 3п + 2. 3) Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии (ап), если а1 = 8, а7 = 26. В а р и а н т 2 1) Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, если а1 = 18,5; d = –2,5. 2) Найдите сумму первых двадцати членов последовательности, заданной формулой хп = 4п + 5. 3) Найдите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии (ап), если а1 = 6, а11 = 46. О т в е т ы: Задание I вариант II вариант 1 99 72,5 2 2540 940 3 215 336 IV. Формирование умений и навыков. Все упражнения, решаемые на этом уроке, можно условно разделить на следующие виды: 1) На вычисление суммы первых п членов арифметической прогрессии по двум формулам (требует выбора формулы в зависимости от условия задачи). 2) На вычисление отдельных членов, числа членов, разности арифметической прогрессии по формулам суммы первых п членов. 3) На нахождение вышеперечисленных величин при наличии дополнительных условий и ограничений, сводящиеся к решению систем уравнений, неравенств. Задания первого вида были выполнены в ходе проверочной работы. Упражнения: № 609 (в), № 610, № 612, № 614, № 616. Решение у доски с комментариями. Р е ш е н и е № 609 (в). (ап) – арифметическая прогрессия; ап = 4п, ап ≤ 300; 4п ≤ 300; п ≤ 75, значит, п = 75 – количество таких чисел. а1 = 4; а75 = 4 · 75 = 300; S75 = · 75 = 11400. О т в е т: 11400. № 610. В этом упражнении задана арифметическая прогрессия (ап), где а1 = 10; d = 3. Наши формулы позволяют находить сумму с первого по п-й член включительно, а требуется найти с 15-го по 30-й включительно. Заметим, что мы можем найти суммы членов арифметической прогрессии с 1-го по 30-й и с 1-го по 14-й включительно, их разность и даст искомый результат. S30 = · 30; S30 = · 30 = 1605. S14 = · 14; S14 = · 14 = 413. S30 – S14 = 1192. О т в е т: 1192. № 612. (сп) – арифметическая прогрессия; с7 = 18,5; с17 = –26,5. S20 = · 20; S20 = · 20 = 55. О т в е т: 55. № 616. Количество шаров в каждом ряду можно представить в виде арифметической прогрессии (ап), где а1 = 1; d = 1. 1. Sn = 120. Найти п. Sn = · п; 120 = · п; 240 = (п + 1) · п; п2 + п – 240 = 0; п = 15 или п = –16, так как п N, то выбираем п = 15. 2. п = 30. Найти S30. S30 = · 30; S30 = · 30 = 465. О т в е т: 15 рядов, 465 шаров. V. Итоги урока. Ответить на контрольные вопросы (учебник, с. 153). Домашнее задание: № 609 (б; г), № 611, № 613
Автор(ы): Лескина М. Л.
Скачать: Алгебра 9кл - Конспект 80.docx
