Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета

Учителю
  • Быстрый поиск
  • Расширенный поиск
Тип материала:
Разделы:
Темы:

Урок 59 Дифференцирование показательной и логарифмической функций [Отрыванкина Т.М.]

Текст урока

  • Конспект

     Название предмета:   алгебра
    Класс : 10
    УМК (название учебника, автор, год издания): 
    А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. 11 класс. Алгебра и начала математического анализа. В 2 ч. Ч.1. Учебник (базовый и углубленный уровни). – М.: Мнемозина, 2015. 
    Уровень обучения (базовый, углубленный, профильный) – профильный.
    Тема урока: Дифференцирование показательной и логарифмической функций
    Общее количество часов, отведенное на изучение темы  – 4 часа
    Место урока в системе уроков по теме: Урок 1 – объяснения нового материала
    Цель урока: Дать представление о числе Непера, установить формулы дифференцирования показательной и логарифмической функций, показать примеры применения.
    Задачи урока
    1. Развитие у учащихся логического мышления, умения анализировать графики, устанавливать свойства изучаемых объектов.
    2. Формирование умения обобщать и делать выводы.
    3. Развитие наблюдательности, познавательного интереса.
    Планируемые результаты: 
    – Знание учащимися свойств показательной и логарифмической функций;
    – знание формул вычисления производных указанных функций;
    – начальные навыки применения  формул вычисления производных показательной и логарифмической функций.
    Техническое обеспечение урока Мультимедиа, Интернет
    Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на интернет-ресурсы) 
    Пакет динамической математики GeoGebra  https://www.geogebra.org 
    
    
    Ход урока
    I. Организационный момент. 
    - Сообщение темы и цели урока. 
    - Объявляется план урока.
    - Проверка готовности к уроку ( учебные принадлежности).
    
    II  Актуализация опорных знаний. 
    
    Повторение материала, непосредственно связанного с новой темой
     (опрос и самостоятельная работа на построение графиков).
    
    1. Какая функция называется по­ка­за­тель­ной? 
    2. Постройте следующие графики: а) ; б) ; в) ; г) .
    Построение осуществляется на листочках, которые раздает учитель (Приложение 1 к уроку), или на заранее подготовленных координатных плоскостях формата А4. 
    
    После построения листы собираются на проверку, на экран выводятся графики (Приложение 2 к уроку).
    
    3. Какими свойствами обладает показательная функция? 
    После перечисления учениками свойств информация выводится на экран.
    
    
    
    
    1. 
    2. Не является ни четной, ни нечетной 
    3. Мо­но­тон­но воз­рас­та­ет на всей области определения 
    4. Не огра­ни­че­на свер­ху, огра­ни­че­на снизу 5. Не имеет наи­боль­ше­го и наи­мень­ше­го зна­че­ний.
    6. Непрерывна.
    7. 
    8. Вы­пук­ла вниз
    
    1. 
    2. Не является ни четной, ни нечетной 
    3. Мо­но­тон­но убывает на всей области определения 
    4. Не огра­ни­че­на свер­ху, огра­ни­че­на снизу 5. Не имеет наи­боль­ше­го и наи­мень­ше­го зна­че­ний.
    6. Непрерывна.
    7. 
    8. Вы­пук­ла вниз
    
     
    III Введение нового материала (функция ).
    
    Нам предстоит познакомиться с одной из важнейших числовых констант. Это не просто интересно само по себе, но и является необходимым для вычисления производных показательных (и логарифмических) функций.
    
    Вопрос к ученикам: Какие константы из области математики, физики, химии вы знаете? (Некоторые приведены в Приложении 3.)
    
    Рассмотрим ранее построенные графики функций и . 
    Листы с построенными графиками (масштаб увеличен) раздаются ученикам. Та же информация выводится на слайд (Приложение 4).
    
    Задание:
    Проведите касательные к графикам в точке (0;1). 
    Измерьте соответствующие углы наклона прямых к оси Ox.
    Проведите через указанную точку прямую под углом 45. 
    Вопрос: существует ли a, при котором эта прямая является касательной к графику ?
    Будет ли a целым числом?
    
    Обозначим e то значение основания показательной функции, при котором наклонная образует с Ox угол 45. 
    История числа e интересна, но пока остается за пределами нашего урока. Отметим, что его приближенное значение 2,718281828.
    
    Дополнительные сведения о числе Непера в приложении.
    
    Так как e>1, то свой­ства функции ана­ло­гич­ны свой­ствам всех показательных функ­ций с ос­но­ва­ниями, большими 1. Перечислим их еще раз.
    
    1. 
    2. Не является ни четной, ни нечетной. 
    3. Мо­но­тон­но воз­рас­та­ет на всей области определения 
    4. Не огра­ни­че­на свер­ху, огра­ни­че­на снизу.
     5. Не имеет наи­боль­ше­го и наи­мень­ше­го зна­че­ний.
    6 Непрерывна.
    7. 
    8. Вы­пук­ла вниз.
    
    Является ли эта функция дифференцируемой?
    В каждой ли точке можно провести касательную к графику? 
    Какой сделаем вывод? 
    
    Поняли, что производная у функции  (она еще называется экспонентой) существует. Но чему она равна?
    Воспользуемся геометрическим смыслом. 
    Мы установили, что .
    Рассмотрим функцию . Что можно сказать о расположении ее графика относительно графика ? Как проходит касательная в точке x-a? (Приложение 7)
    Чему равно значение ? Почему?
    Итак, .
    Запишем цепочку: . Значит,  и .
    Чему равно значение ?
    Мы установили, что , где a – произвольная точка. Значит,
    .
    Это очередная формула дифференцирования, которой нужно пополнить список ранее известных формул.
    III  Закрепление изученного (практикум).
    Рас­смот­рим неко­то­рые ти­по­вые за­да­чи с ее использованием формулы производной.
    При­мер 1. , (комментирование)
    При­мер 2. ,(комментирование)
    При­мер 3. , , составьте уравнение касательной к графику функции в указанной точке.(Решение у доски.)
    Ре­ше­ние.
    Каков общий вид уравнения касательной?
    
    Что известно? Что нужно найти?
    
    Итак, точка с ко­ор­ди­на­та­ми  – это точка ка­са­ния.
    
    Найдем зна­че­ние про­из­вод­ной в точке : .
    Составляем уравнение ка­са­тель­ной:    или .
    IV   Понятие натурального логарифма.
    Переходим к следующему важному понятию.
    Опре­де­ле­ние. На­ту­раль­ным логарифмом  на­зы­вается ло­га­рифм с ос­но­ва­ни­ем e. 
    Пример 4. .
    Какие логарифмы имеют свое специальное обозначение? Десятичные.
    Для натуральных тоже вводится специальная запись ln. 
    Пример 5. .
    Задание: Воспользуемся известными фактами и запишем, чему равны   (переход к основанию e).
    
    Рассмотрим функцию .
    Каково взаимное расположение графиков функций и ? Почему?
    Вывод на экран графиков (Приложение 8).
    Что можно сказать о касательной к графику в точке (1;0)? Запомним.
    Давайте перечислим свойства .
    1. 
    2. Не является ни четной, ни нечетной 
    3. Мо­но­тон­но воз­рас­та­ет на всей области определения 
    4. Не огра­ни­че­на ни свер­ху, ни снизу 
    5. Не имеет наи­боль­ше­го и наи­мень­ше­го зна­че­ний.
    6. Непрерывна.
    7. 
    8. Вы­пук­ла вверх
    
    Дифференцируема ли эта функция? Почему вы так думаете?
    
    Чтобы найти производную , воспользуемся связью производных для взаимно обратных функций . Получим .
    Итак, еще она важная формула
    .
    Пример 6.
     =
    Пример 7.
    
    
    
    Осталось найти, как вычислять производные для показательной и логарифмической функций с произвольным основанием a, .
    Это техническая работа:
    .
    Значит, 
    .
    А производную для  снова ищем с помощью . Получим
    .
    V Итог урока.
    
    Подведем итоги урока.
    Какие вопросы и факты повторили?
    - Свойства и графики показательной функции.
    - Геометрический смысл производной.
    - Понятие предела функции.
    - Понятие взаимно-обратных функций, их графики.
    - Производная обратной функции.
    Что узнали нового?
    - Познакомились с числом Непера, функцией  и ей обратной .
    - Ввели понятие натурального логарифма.
    - Рассмотрели формулы дифференцирования показательной и логарифмической функций.
    - Решили простейшие примеры на нахождение производной этих функций.
    
    VI Домашнее задание
    
    Читать, разбирать материал учебника с.144-151. 
    Ответить на вопросы для самопроверки на с. 152.
    Прочитать исторические сведения на с. 152-154.
    
    
     

    Автор(ы): Отрыванкина Т. М.

    Скачать: Алгебра 11кл - Конспект.doc
  • Приложение 9

     Число Непера
    Число e по определению — предел функции y = (1 + 1 / x)x при x → ∞:
    x
    y
    
    1
    (1 + 1 / 1)1
    = 2
    2
    (1 + 1 / 2)2
    = 2,25
    3
    (1 + 1 / 3)3
    = 2,3703703702...
    10
    (1 + 1 / 10)10
    = 2,5937424601...
    100
    (1 + 1 / 100)100
    = 2,7048138294...
    1000
    (1 + 1 / 1000)1000
    = 2,7169239322...
    ∞
    lim× → ∞
    = 2,7182818284590...
    Это определение, к сожалению, не наглядно. Непонятно, чем замечателен этот предел (несмотря на то, что он называется «вторым замечательным»). Подумаешь, взяли какую-то неуклюжую функцию, посчитали предел. У другой функции другой будет.
    Но число e почему-то всплывает в целой куче самых разных ситуаций в математике. Главный смысл числа e раскрывается в поведении другой, куда более интересной функции, y = kx. Эта функция обладает уникальным свойством при k = e, которое можно показать графически так:
    В точке 0 функция принимает значение e0 =1. Если провести касательную в точке x = 0, то она пройдёт к оси абсцисс под углом с тангенсом 1 (в жёлтом треугольнике отношение противолежащего катета 1 к прилежащему 1 равно 1). В точке 1 функция принимает значение e1 = e. Если провести касательную в точке x = 1, то она пройдёт под углом с тангенсом e (в зелёном треугольнике отношение противолежащего катета e к прилежащему 1 равно e). В точке 2 значение e2 функции снова совпадает с тангенсом угла наклона касательной к ней. Из-за этого, заодно, сами касательные пересекают ось абсцисс ровно в точках −1, 0, 1, 2 и т. д.
    Среди всех функций y = kx (например, 2x, 10x, πx и т. д.), функция ex — единственная обладает такой красотой, что тангенс угла её наклона в каждой её точке совпадает со значением самой функции. Значит, по определению значение этой функции в каждой точке совпадает со значением её производной в этой точке: (ex)´ = ex. Почему-то именно число e = 2,7182818284590... нужно возводить в разные степени, чтобы получилась такая картинка.
    Кто и когда открыл:  Джон Непер, шотландский математик, в 1618 году. Самого числа он не упоминал, зато выстроил на его основе свои таблицы логарифмов. Одновременно кандидатами в авторы константы считаются Якоб Бернулли, Лейбниц, Гюйгенс и Эйлер. Достоверно известно только то, что символ e взялся из фамилии последнего
    Число e играет огромную роль в математике, физике, астрономии и других науках. Вот некоторые вопросы, при математическом рассмотрении которых приходится пользоваться этим числом (список можно было бы увеличивать неограниченно):
    Барометрическая формула (уменьшение давления с высотой),
    Формула Эйлера,
    Закон охлаждения тел,
    Колебания маятника в воздухе,
    Формула Циолковского для скорости ракеты,
    Числа π и e входят в интересную формулу — формулу Эйлера, которая связывает 5 самых главных констант — ноль, единицу, мнимую единицу i и, собственно, числа π и е:
    eiπ + 1 = 0
    Почему число 2,7182818284590... в комплексной степени 3,1415926535...i вдруг равно минус единице? Ответ на этот вопрос выходит за рамки нашего занятия и мог бы составить содержание небольшой книги, которая потребует некоторого начального понимания тригонометрии, пределов и рядов.
    А пока можно насладиться красотой этой необыкновенной формулы. 
    Число е очень популярно в среде IT-компаний, так в 2004 году компания Google разместила билборд следующего содержания
    
    что значило «Первое 10-значное простое число в последовательности е». Правильно решившие задачу попадали на сайт с новым заданием, после решения, которого получали предложение отправить резюме в GoogleLabs.
    Так же в 2004 году Google заявила о намерении увеличить прибыль на 2718281828 долларов. Версии языка METAFONT Дональда Кнута, так же обозначаются как е. Актуальная – 2.718281
    
     

    Автор(ы): Отрыванкина Т. М.

    Скачать: Алгебра 11кл - Приложение 9.doc

Другие материалы