Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета

Учителю
  • Быстрый поиск
  • Расширенный поиск
Тип материала:
Разделы:
Темы:

Тип материала

Урок 38 Показательные уравнения [Струц В.А., Едоменкова Л.П.]

Текст урока

  • Конспект (Едоменкова Людмила Петровна)

     Предмет: алгебра и начала анализа. Профильный уровень. 4 часа в неделю
    Класс: 11, урок рассчитан на 2 часа
    УМК: Мордковича А.Г. Алгебра и начала анализа (Базовый и углубленный уровень). 11 класс. Ч.1.Учебник. Ч.2.Задачник, 2015г.
    Три пути ведут к знанию:
    путь размышления – это путь
    самый благородный, 
    путь подражания – это путь
    самый легкий и 
    путь опыта – это путь
    самый горький.
    Конфуций
    
    Тема: Решение показательных уравнений.
    Цель: познакомить учащихся с основными методами решения показательных уравнений; учить применять свойства показательной функции при решении показательных уравнений, познакомить с однородными показательными уравнениями и методом их решения.
    Работать над развитием понятийного аппарата.    Развивать навыки самоконтроля. 
    Воспитывать ответственное отношение к труду.    Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.
    Оборудование: 
    1. Схемы решения показательных уравнений(№1,№2,№3,№4,№5) - каждому ученику;
    2. устные упражнения – один лист на парту;
    3. текст самостоятельной работы – индивидуально каждому ученику;
    4. Компьютер, проектор, экран
    
    
    Ход урока
    1.Организационный момент (сообщение темы и цели урока). 
    
    2.Актуализация знаний 
    1) Опорные знания: степень, показатель степени, основание степени свойства степеней. 
    2) Связь с прошлой темой: на уроке используются таблицы n-ая  степень числа 2 и 3,а0=1, а-n= .
    Задание классу:
    
    1.Устный счёт.
    1) Вычислить:=0,4;=   ;=;=8;
     =2;                  = 27;          = 3;= .
    2) Представьте в виде степени:
    16        125.
    2.Объяснение нового материала.
    Некоторые наиболее часто встречающиеся виды трансцендентных функций, прежде всего показательные, открывают доступ ко многим исследованиям. Многие учёные свои открытия связывали с темой нашего урока «Показательные уравнения»
    
    
    2.1Сообщения учеников
    1)Современные обозначения степени с натуральным показателем ввел в XVIIвеке Декарт. 
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    2)Первым систематически стал использовать рациональный показатель Ньютон. 
    Исаак Ньютон 
    
    «Если бы другие думали так же напряжённо, как я, они получили бы похожие результаты»
    Исаак Ньютон (1642-1727) — английский математик, механик, астроном и физик, создатель классической механики, член (1672) и президент (с 1703) Лондонского королевского общества. Один из основоположников современной физики, сформулировал основные законы механики и был фактическим создателем единой физической программы описания всех физических явлений на базе механики, открыл закон всемирного тяготения, объяснил движение планет вокруг Солнца и Луны вокруг Земли, а также приливы в океанах, заложил основы механики сплошных сред, акустики и физической оптики.
    
    3)Немецкий математик М. Штиффель  (1487 – 1567) дал определение = 1,  при ≠0 и ввёл название «показатель» (буквенный перевод с нем. Exponent).
    
    
    
    
    
    
    
    4) Показательная функция и показательные уравнения находят важнейшее применение при изучении природных и общественных явлений.
    m =−радиоактивный распад (изменение количества вещества в зависимости от t)
    Уран-238      =4,5 млрд. лет
    Земля – 5-7 млрд. лет. В наши дни не распалась и половина всех запасов этого вещества.
    −период полураспада.
    
    2.2. Объяснение учителя.
    Определение: показательным уравнением называется уравнение, содержащее переменную только в показателе степени.
    
    Учащиеся работают на заранее подготовленных бланках, заполняют таблицу, записывают решения уравнений.
    2.3.Рассмотрим основные виды показательных уравнений и образцы их решений. (Схема 1)
    Вид уравнения
    Схема решения
    Пример
    
    
    =b
    (>0, ≠ 1)
    Если b>0, то представьте  b как, запишите уравнение в виде  = и решите уравнение = с.
    = 0,5-решение у доски 2-1
    х2-х-1=-1; х2-х-2=0-решаем квадратное самостоятельно
    
    
    Если b≤0, то уравнение корней не имеет.
    
    = −1
    
    =
    (>0, ≠ 1)
    
    Решите уравнение
    = .
    =-самостоятельное решение  с последующей проверкой через проектор
    
    =
    (>0, ≠ 1),
    (>0, ≠ 1),
    
    
    
    
    Разделите обе части уравнения на:
     = 1
    =
    Решите уравнение
     = 0.
    
    =- комментированное решение
    Основные методы решения показательных уравнений (Записываются  выводы совместно с учениками в таблицу)
    Идея решения: сведение данного уравнения к одному или нескольким уравнениям основных видов.
    Методы решения:
    Представление обеих частей уравнения в виде степеней с одинаковыми основаниями;
    Представление обеих частей уравнения в виде степеней с одинаковыми показателями;
    Замена переменной.
    
    2.4. Схема приведения обеих частей уравнения к виду степеней с одинаковыми основаниями (схема 2)
    Этапы решения
    Примеры
    
    =9-образец решения
    −=30
    1.Представьте обе части уравнения в виде степени с одинаковым основанием, используя свойства степеней или вынесение общего множителя за скобки.
    =-основания степеней равны, значит равны и показатели этих степеней
    2х * 23-2х*2-1=30-работа в парах по образцу
    2.Решите уравнение вида:
    =.
    
    +3−1,5=2,5
    +3−4=0
    =−4
    =1
    
    3.Запишите ответ.
    Ответ: −4; 1.
    Ответ: 2.
    
    
    
    
    
    
    2.5. Схема приведения обеих частей уравнения к виду степеней с одинаковыми показателями (Схема 3)
    Этапы решения
    Примеры
    
    =
    =работа в группах по 4 ученика
    1. Представьте обе части уравнения в виде степени с одинаковым показателем.
    
    =
    =-разделим обе части уравнения на  , получим:
    
    0,22х-3=0,32(х-1,5)-далее решаем по образцу
    
    
    2.Решите уравнение вида:
    =.
    
    = 1
    =
    1−0,5=0
    
    
    3.Запишите ответ.
    Ответ: 2.
    Ответ: 1,5.
    
    
    2.6. Метод замены переменной в показательных уравнениях (Схема4)
    Этапы решения
    Примеры
    
    −31∙−8=0
    −26∙−3=0-самостоятельное решение с последующей проверкой-карточку заполняет каждый ученик
    1.Избавьтесь от числовых слагаемых в показателях степеней (если они есть и не совпадают).
    ∙−31∙∙2−8=0
    16∙−62∙−8=0
    
    2.Приведите все степени к одному основанию.
    16∙−62∙−8=0
    
    3.Сделайте замену переменной.
    Замена:  =
    16∙−62∙−8=0
    
    4.Решите полученное уравнение.
    8−31=0
    =4;  =−
    
    5.Сделайте обратную замену и решите уравнение =b
    
    1)=4; =2
    2)=−; корней нет.
    
    6.Запишите ответ.
    Ответ: 2.
    Ответ: 0.
    Типовое задание.
    −−
    −=1- решают по вариантам, 2 ученика решают у доски с обратной стороны, готовя решение для обсуждения всем классом
    
    Ответ: 2.
    Ответ: 1.
    
    Проверка с помощью документ камеры
    
    Однородное показательное уравнение.(вспоминаем с учениками определение)
    Однородными показательными уравнениями называются уравнения, которые можно привести к виду:
    A+B+C=0    или
    А+B+C+Dи т.д.
    В эти уравнения степени входят с двумя различными основаниями, но с одинаковыми показателями степеней всех входящих в них одночленов.
    2.7. Метод решения: деление уравнения на одну из наивысших степеней и замена переменной.(Схема 5)
    Этапы решения
    Примеры
    
    −13∙+=0
    −19∙−=0-решение у доски
    1.Приведите все степени к двум основаниям и проверьте, является ли данное уравнение однородным.
    4∙−13∙∙+9∙=0
    4∙−13∙∙+9∙=0
    
    2.Разделите уравнение на одну из наивысших степеней.
    Разделим уравнение на >0:
    4∙− 13∙+9=0
    
    3.Сделайте замену переменной.
    Замена:  
    
    4.Решите полученное уравнение.
    4−13+9=0
    =1; =
    
    5.Сделайте обратную замену и решите простейшее показательное уравнение.
    1)=1; =0
    2) =; =−2
    
    6.Запишите ответ.
    Ответ: −2; 0.
    Ответ: −3.
    Типовое задание.
    Решите уравнение: 
    3∙+37∙−269∙=0.-комментированное решение
    
    3.Итак, вы имеете на руках карточки с образцами решения показательных уравнений: (перечислите их)
    
    приведения обеих частей уравнения к виду степеней с одинаковыми основаниями
    приведения обеих частей уравнения к виду степеней с одинаковыми показателями
    замены переменной в показательных уравнениях
    деление уравнения на одну из наивысших степеней и замена переменной
    Используя эти образцы,  решите самостоятельно следующие уравнения:
    Самостоятельная работа. (Диагностика уровня формирования практических навыков)
    Обязательная часть. Решить уравнения:
    Вариант 1
    Вариант 2
    1.=64   
    1.=343
    2.=
    2.=
    3.=
    3.=
    4.=4
    4.∙= 
    5.2∙−=15
    5.−=−78
    6.−4∙−12=0
    6.−8∙+7=0
    7.3∙+2∙=5∙
    7.2∙−5∙+2∙=0
    Дополнительная часть:
    +16=10∙+=3−=0.
    Самостоятельную проверить через  прибор  (проецировать тетради учеников на экран).
    Итоги урока. Домашнее задание 
    1) Учебник Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень)11 класс, А.Г.Мордкович, П.В.Семёнов, §12,разобрать решения примеров 4,5,6. 
    2) Задачник Алгебра и начала математического анализа(профильный уровень)11 класс под редакцией А.Г.Мордковича, 
    решить примеры №12.4(в,г), 12.6(в,г), 12.7(в,г), 12.11(в,г),12.14(в,г).
    РЕФЛЕКСИЯ
    На уроке я работал активно / пассивно.
    Своей работой на уроке я доволен / не доволен
    Урок для меня показался коротким / длинным
    За урок я не устал / устал
    Моё настроение стало лучше / стало хуже
    Материал урока мне был понятен / не понятен
    Материал урока мне был полезен / бесполезен
    Материал урока мне был интересен / скучен
     

    Автор(ы):

    Скачать: Алгебра 11кл - Конспект (Едоменкова Людмила Петровна).docx
  • Конспект ( Струц Виктория Алексеевна)

     Название предмета: Алгебра
    Класс: 11
    УМК: Алгебра и начала анализа,  А.Г. Мордкович, 2007
    Тема урока: Показательные уравнения
    Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 6
    Тип урока: изучение нового материала и первичное закрепление
    Цель урока: изучение нового материала, систематизация и проверка знаний, умений и навыков в процессе решения показательных уравнений. Познакомить учащихся с определением показательного уравнения и основными методами и приемами решения показательных уравнений.
    Задачи урока:
    1. Учебные:
    Ввести понятия: показательные уравнения; решения показательных уравнений ;
    Выяснить область применение решения показательных уравнений;
    Закрепить умение решения показательных уравнений в процессе выполнения заданий;
    Контроль уровня знаний, умений и навыков обучающихся по теме «Показательные уравнения».
    2. Развивающие:
    Развивать умение выделять главное, обобщать имеющиеся знания;
    Развивать математическую речь;
    Развивать навыки коллективной работы, взаимопомощи, самоконтроля;
    Способствовать развитию интереса к предмету, организованности, ответственности.
    3. Воспитательные:
    Воспитывать мыслительную активность, самостоятельность, математическую зоркость;
    Достигать сознательного усвоения материала обучающимися.
    Планируемые  результаты:
    Предметные:
    1. Закрепить знания у учащихся о решения показательных уравнений;
    Метапредметные:
    1. Способность принимать и сохранять цели и задачи учебной деятельности,  находить способы её осуществления;
    2. Умение планировать, контролировать и оценивать учебные действия в соответствии с поставленной задачей и условиями её выполнения;
    3. Умение включаться в диалог с учителем и  сверстниками, в коллективное обсуждение проблем;
    4. Умение оценивать себя и результаты своей работы.
    Личностные:
    1. Формирование ответственного отношения к учению, готовности и способности обучающихся к саморазвитию и самообразованию;
    2. Формирование коммуникативной компетентности в общении и  сотрудничестве со сверстниками.
    Технологии, методы и приемы: проблемное обучение, частично-поисковый метод, прием создания проблемной ситуации.
    Оборудование: учебник, доска, чертёжные инструменты.
    ХОД УРОКА
    I. Водная часть урока
    1. Организационный момент.
    Приветствие, сообщение учащимся темы и цели урока.
    2. Актуализация опорных знаний.
    Устно:
    1. Какая функция называется показательной?
    2. Область значений показательной функции.
    3. Что называется корнем уравнения?
    4. Пересечет ли прямая у = -3 график функции у = 4х?
    5. Сравнить числа 2,73 и 1.
    6. Что является графиком линейной функции?
    7. Среди заданных функций указать те, которые являются показательными:
    а) 1) у = 4, 2) у = х, 3) у = 5x, 4) у = x3.
    3. Математический диктант.
    При ответе на любой вопрос будете ставить “да” или “нет”. Два варианта: а) и б).
    1.а) является ли убывающей функция y =2x. 
    б) является ли возрастающей функция y = (0,3)x.
    2.а) является ли показательным уравнение ?
    б) является ли показательным уравнение ?
    3. а) верно ли, что областью определения показательной функции является R?
    б) верно ли, что график показательной функции проходит через точку с координатой(0;1)?
    4.а) верно ли, что если b>0, то уравнение ax = b имеет один корень,
    б) верно ли, что если b=0, то уравнение ax = b не имеет корней.
    5.а) является ли число 3 корнем уравнения 2x = 8,
    б)является ли число 2 корнем уравнения 0,3x = 0,09.
    II. Основная часть урока
    1. Изложение нового материала.
    Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное х входит только в показатели степени при некоторых постоянных основаниях.
    Так как показательная функция ах  монотонна и ее область значений (0,), то простейшее показательное уравнение ах=в имеет корень при в >0. Именно к виду ах=в надо сводить более сложные уравнения.
    “Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть и в последствии подтвердить это, что следуя этому методу мы достигнем цели”. Лейбниц.
    1.Простейшие уравнения: (устно)
    а)2х-5 = 16
    Приведение обеих частей к общему основанию:
    2х-5 = 24
    Данное уравнение равносильно уравнению:
    х-5 = 4,
    х = 9.
    Ответ: 9.
    б)3х = -9
    Так как показательная функция принимает только положительные значения, то данное уравнение не имеет решений.
    Ответ: нет решений.
    2. Уравнения, решаемые с помощью вынесения общего множителя за скобки.
    7х + 7х+2 = 350
    7х + 7х72 = 350
    7х(1+ 49) = 350
    7х =350:50
    7х = 7
    х = 1
    Ответ: х=1.
    3.Уравнения, решаемые с помощью введения новой переменной.
    16х – 174х + 16 = 0
    Пусть 4х = t, где t , тогда уравнение примет вид:
    t2 - 17t + 16 = 0
    Данное квадратное уравнение является приведенным, по теореме Виета получим:
    
    t1=1, t2=16
    Если t1 = 1, то 4х = 1, 4х = 40, х1 = 0.
    Если t1 = 16, то 4х = 16, 4х = 42, х2 = 2
    Ответ: х1 = 0, х2 = 2.
    Уравнения решались совместно с обучающимися.
    2. Закрепление изученного материала
    М. В. Ломоносов говорил “Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики сверх того, и умения” (портрет ученого вывешивается на доску).
    И вот теперь вы должны проявить свои умения при решении различных показательных уравнений.
    На доске написаны 5 уравнений:
    
    2.3х-1 -3х + 3х+1 = 63
    3.64х – 8х –56 = 0
    4.3х +4х = 5х ( устно)
    К доске выходят решать эти уравнения учащиеся.
    
    
    Так как 31, то
     = 0
    По теореме Виета получаем:
    
    х1=4, х2=5.
    Ответ: х1 = 4, х2 = 5.
    2. 3х-1 - 3х + 3х+1 = 63
    Применяя соответствующие формулы свойства степеней, получим:
    3х 3-1 – 3х + 3х 3 = 63
    Выносим общий множитель за скобки:
    3х(
    3х 
    3х = 
    3х = 27
    3х = 33
    х = 3
    Ответ: х = 3.
    3. 64х – 8х – 56 = 0
    (82)х – 8х – 56 = 0 или
    (8х)2 – 8х – 56 = 0
    Введем новую переменную t = 8х, тогда уравнение примет вид:
    t2 – t – 56 = 0
    По теореме Виета:
    t1+ t2 = 1
    t1 t2 = – 56
    t1 = 8, t2 = -7 (не удовлетворяет, так как показательная функция принимает только положительные значения)
    Если t1 = 8, то 8х = 8, 8х = 81, х = 1.
    Ответ: х = 1.
    5.3х + 4х = 5х (устно)
    Ответ: х = 2.
    III. Итоговая часть урока.
    1.Подведение итога урока.
    Что мы сегодня рассмотрели на уроке?
    Итак, сегодня мы повторили тему “Показательная функция и ее свойства и познакомились с методами решения показательных уравнений.
    Домашнее задание: в учебнике страница 206, номера 1357, 1358, 1359, 1360
    2. Рефлексия учебной деятельности
    Анкетирование:
    На уроке я работал         (активно/ пассивно)
    Своей работой я              (доволен/ не доволен)
    За урок я                           (не устал/ устал)
    Поставленной цели         (достиг/ не достиг)
    Моё настроение               (стало лучше/ хуже)
    3. Оценка содержательного аспекта деятельности учащихся на уроке.
    Поощрение учеников, выставление отметок за урок, их комментирование, замечания учащимся.
    
    
     

    Автор(ы): Струц В. А.

    Скачать: Алгебра 11кл - Конспект ( Струц Виктория Алексеевна).docx