Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Предмет: алгебра и начала анализа. Профильный уровень. 4 часа в неделю Класс: 11, урок рассчитан на 2 часа УМК: Мордковича А.Г. Алгебра и начала анализа (Базовый и углубленный уровень). 11 класс. Ч.1.Учебник. Ч.2.Задачник, 2015г. Три пути ведут к знанию: путь размышления – это путь самый благородный, путь подражания – это путь самый легкий и путь опыта – это путь самый горький. Конфуций Тема: Решение показательных уравнений. Цель: познакомить учащихся с основными методами решения показательных уравнений; учить применять свойства показательной функции при решении показательных уравнений, познакомить с однородными показательными уравнениями и методом их решения. Работать над развитием понятийного аппарата. Развивать навыки самоконтроля. Воспитывать ответственное отношение к труду. Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов. Оборудование: 1. Схемы решения показательных уравнений(№1,№2,№3,№4,№5) - каждому ученику; 2. устные упражнения – один лист на парту; 3. текст самостоятельной работы – индивидуально каждому ученику; 4. Компьютер, проектор, экран Ход урока 1.Организационный момент (сообщение темы и цели урока). 2.Актуализация знаний 1) Опорные знания: степень, показатель степени, основание степени свойства степеней. 2) Связь с прошлой темой: на уроке используются таблицы n-ая степень числа 2 и 3,а0=1, а-n= . Задание классу: 1.Устный счёт. 1) Вычислить:=0,4;= ;=;=8; =2; = 27; = 3;= . 2) Представьте в виде степени: 16 125. 2.Объяснение нового материала. Некоторые наиболее часто встречающиеся виды трансцендентных функций, прежде всего показательные, открывают доступ ко многим исследованиям. Многие учёные свои открытия связывали с темой нашего урока «Показательные уравнения» 2.1Сообщения учеников 1)Современные обозначения степени с натуральным показателем ввел в XVIIвеке Декарт. 2)Первым систематически стал использовать рациональный показатель Ньютон. Исаак Ньютон «Если бы другие думали так же напряжённо, как я, они получили бы похожие результаты» Исаак Ньютон (1642-1727) — английский математик, механик, астроном и физик, создатель классической механики, член (1672) и президент (с 1703) Лондонского королевского общества. Один из основоположников современной физики, сформулировал основные законы механики и был фактическим создателем единой физической программы описания всех физических явлений на базе механики, открыл закон всемирного тяготения, объяснил движение планет вокруг Солнца и Луны вокруг Земли, а также приливы в океанах, заложил основы механики сплошных сред, акустики и физической оптики. 3)Немецкий математик М. Штиффель (1487 – 1567) дал определение = 1, при ≠0 и ввёл название «показатель» (буквенный перевод с нем. Exponent). 4) Показательная функция и показательные уравнения находят важнейшее применение при изучении природных и общественных явлений. m =−радиоактивный распад (изменение количества вещества в зависимости от t) Уран-238 =4,5 млрд. лет Земля – 5-7 млрд. лет. В наши дни не распалась и половина всех запасов этого вещества. −период полураспада. 2.2. Объяснение учителя. Определение: показательным уравнением называется уравнение, содержащее переменную только в показателе степени. Учащиеся работают на заранее подготовленных бланках, заполняют таблицу, записывают решения уравнений. 2.3.Рассмотрим основные виды показательных уравнений и образцы их решений. (Схема 1) Вид уравнения Схема решения Пример =b (>0, ≠ 1) Если b>0, то представьте b как, запишите уравнение в виде = и решите уравнение = с. = 0,5-решение у доски 2-1 х2-х-1=-1; х2-х-2=0-решаем квадратное самостоятельно Если b≤0, то уравнение корней не имеет. = −1 = (>0, ≠ 1) Решите уравнение = . =-самостоятельное решение с последующей проверкой через проектор = (>0, ≠ 1), (>0, ≠ 1), Разделите обе части уравнения на: = 1 = Решите уравнение = 0. =- комментированное решение Основные методы решения показательных уравнений (Записываются выводы совместно с учениками в таблицу) Идея решения: сведение данного уравнения к одному или нескольким уравнениям основных видов. Методы решения: Представление обеих частей уравнения в виде степеней с одинаковыми основаниями; Представление обеих частей уравнения в виде степеней с одинаковыми показателями; Замена переменной. 2.4. Схема приведения обеих частей уравнения к виду степеней с одинаковыми основаниями (схема 2) Этапы решения Примеры =9-образец решения −=30 1.Представьте обе части уравнения в виде степени с одинаковым основанием, используя свойства степеней или вынесение общего множителя за скобки. =-основания степеней равны, значит равны и показатели этих степеней 2х * 23-2х*2-1=30-работа в парах по образцу 2.Решите уравнение вида: =. +3−1,5=2,5 +3−4=0 =−4 =1 3.Запишите ответ. Ответ: −4; 1. Ответ: 2. 2.5. Схема приведения обеих частей уравнения к виду степеней с одинаковыми показателями (Схема 3) Этапы решения Примеры = =работа в группах по 4 ученика 1. Представьте обе части уравнения в виде степени с одинаковым показателем. = =-разделим обе части уравнения на , получим: 0,22х-3=0,32(х-1,5)-далее решаем по образцу 2.Решите уравнение вида: =. = 1 = 1−0,5=0 3.Запишите ответ. Ответ: 2. Ответ: 1,5. 2.6. Метод замены переменной в показательных уравнениях (Схема4) Этапы решения Примеры −31∙−8=0 −26∙−3=0-самостоятельное решение с последующей проверкой-карточку заполняет каждый ученик 1.Избавьтесь от числовых слагаемых в показателях степеней (если они есть и не совпадают). ∙−31∙∙2−8=0 16∙−62∙−8=0 2.Приведите все степени к одному основанию. 16∙−62∙−8=0 3.Сделайте замену переменной. Замена: = 16∙−62∙−8=0 4.Решите полученное уравнение. 8−31=0 =4; =− 5.Сделайте обратную замену и решите уравнение =b 1)=4; =2 2)=−; корней нет. 6.Запишите ответ. Ответ: 2. Ответ: 0. Типовое задание. −− −=1- решают по вариантам, 2 ученика решают у доски с обратной стороны, готовя решение для обсуждения всем классом Ответ: 2. Ответ: 1. Проверка с помощью документ камеры Однородное показательное уравнение.(вспоминаем с учениками определение) Однородными показательными уравнениями называются уравнения, которые можно привести к виду: A+B+C=0 или А+B+C+Dи т.д. В эти уравнения степени входят с двумя различными основаниями, но с одинаковыми показателями степеней всех входящих в них одночленов. 2.7. Метод решения: деление уравнения на одну из наивысших степеней и замена переменной.(Схема 5) Этапы решения Примеры −13∙+=0 −19∙−=0-решение у доски 1.Приведите все степени к двум основаниям и проверьте, является ли данное уравнение однородным. 4∙−13∙∙+9∙=0 4∙−13∙∙+9∙=0 2.Разделите уравнение на одну из наивысших степеней. Разделим уравнение на >0: 4∙− 13∙+9=0 3.Сделайте замену переменной. Замена: 4.Решите полученное уравнение. 4−13+9=0 =1; = 5.Сделайте обратную замену и решите простейшее показательное уравнение. 1)=1; =0 2) =; =−2 6.Запишите ответ. Ответ: −2; 0. Ответ: −3. Типовое задание. Решите уравнение: 3∙+37∙−269∙=0.-комментированное решение 3.Итак, вы имеете на руках карточки с образцами решения показательных уравнений: (перечислите их) приведения обеих частей уравнения к виду степеней с одинаковыми основаниями приведения обеих частей уравнения к виду степеней с одинаковыми показателями замены переменной в показательных уравнениях деление уравнения на одну из наивысших степеней и замена переменной Используя эти образцы, решите самостоятельно следующие уравнения: Самостоятельная работа. (Диагностика уровня формирования практических навыков) Обязательная часть. Решить уравнения: Вариант 1 Вариант 2 1.=64 1.=343 2.= 2.= 3.= 3.= 4.=4 4.∙= 5.2∙−=15 5.−=−78 6.−4∙−12=0 6.−8∙+7=0 7.3∙+2∙=5∙ 7.2∙−5∙+2∙=0 Дополнительная часть: +16=10∙+=3−=0. Самостоятельную проверить через прибор (проецировать тетради учеников на экран). Итоги урока. Домашнее задание 1) Учебник Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень)11 класс, А.Г.Мордкович, П.В.Семёнов, §12,разобрать решения примеров 4,5,6. 2) Задачник Алгебра и начала математического анализа(профильный уровень)11 класс под редакцией А.Г.Мордковича, решить примеры №12.4(в,г), 12.6(в,г), 12.7(в,г), 12.11(в,г),12.14(в,г). РЕФЛЕКСИЯ На уроке я работал активно / пассивно. Своей работой на уроке я доволен / не доволен Урок для меня показался коротким / длинным За урок я не устал / устал Моё настроение стало лучше / стало хуже Материал урока мне был понятен / не понятен Материал урока мне был полезен / бесполезен Материал урока мне был интересен / скучен
Автор(ы):
Скачать: Алгебра 11кл - Конспект (Едоменкова Людмила Петровна).docxНазвание предмета: Алгебра Класс: 11 УМК: Алгебра и начала анализа, А.Г. Мордкович, 2007 Тема урока: Показательные уравнения Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 6 Тип урока: изучение нового материала и первичное закрепление Цель урока: изучение нового материала, систематизация и проверка знаний, умений и навыков в процессе решения показательных уравнений. Познакомить учащихся с определением показательного уравнения и основными методами и приемами решения показательных уравнений. Задачи урока: 1. Учебные: Ввести понятия: показательные уравнения; решения показательных уравнений ; Выяснить область применение решения показательных уравнений; Закрепить умение решения показательных уравнений в процессе выполнения заданий; Контроль уровня знаний, умений и навыков обучающихся по теме «Показательные уравнения». 2. Развивающие: Развивать умение выделять главное, обобщать имеющиеся знания; Развивать математическую речь; Развивать навыки коллективной работы, взаимопомощи, самоконтроля; Способствовать развитию интереса к предмету, организованности, ответственности. 3. Воспитательные: Воспитывать мыслительную активность, самостоятельность, математическую зоркость; Достигать сознательного усвоения материала обучающимися. Планируемые результаты: Предметные: 1. Закрепить знания у учащихся о решения показательных уравнений; Метапредметные: 1. Способность принимать и сохранять цели и задачи учебной деятельности, находить способы её осуществления; 2. Умение планировать, контролировать и оценивать учебные действия в соответствии с поставленной задачей и условиями её выполнения; 3. Умение включаться в диалог с учителем и сверстниками, в коллективное обсуждение проблем; 4. Умение оценивать себя и результаты своей работы. Личностные: 1. Формирование ответственного отношения к учению, готовности и способности обучающихся к саморазвитию и самообразованию; 2. Формирование коммуникативной компетентности в общении и сотрудничестве со сверстниками. Технологии, методы и приемы: проблемное обучение, частично-поисковый метод, прием создания проблемной ситуации. Оборудование: учебник, доска, чертёжные инструменты. ХОД УРОКА I. Водная часть урока 1. Организационный момент. Приветствие, сообщение учащимся темы и цели урока. 2. Актуализация опорных знаний. Устно: 1. Какая функция называется показательной? 2. Область значений показательной функции. 3. Что называется корнем уравнения? 4. Пересечет ли прямая у = -3 график функции у = 4х? 5. Сравнить числа 2,73 и 1. 6. Что является графиком линейной функции? 7. Среди заданных функций указать те, которые являются показательными: а) 1) у = 4, 2) у = х, 3) у = 5x, 4) у = x3. 3. Математический диктант. При ответе на любой вопрос будете ставить “да” или “нет”. Два варианта: а) и б). 1.а) является ли убывающей функция y =2x. б) является ли возрастающей функция y = (0,3)x. 2.а) является ли показательным уравнение ? б) является ли показательным уравнение ? 3. а) верно ли, что областью определения показательной функции является R? б) верно ли, что график показательной функции проходит через точку с координатой(0;1)? 4.а) верно ли, что если b>0, то уравнение ax = b имеет один корень, б) верно ли, что если b=0, то уравнение ax = b не имеет корней. 5.а) является ли число 3 корнем уравнения 2x = 8, б)является ли число 2 корнем уравнения 0,3x = 0,09. II. Основная часть урока 1. Изложение нового материала. Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное х входит только в показатели степени при некоторых постоянных основаниях. Так как показательная функция ах монотонна и ее область значений (0,), то простейшее показательное уравнение ах=в имеет корень при в >0. Именно к виду ах=в надо сводить более сложные уравнения. “Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть и в последствии подтвердить это, что следуя этому методу мы достигнем цели”. Лейбниц. 1.Простейшие уравнения: (устно) а)2х-5 = 16 Приведение обеих частей к общему основанию: 2х-5 = 24 Данное уравнение равносильно уравнению: х-5 = 4, х = 9. Ответ: 9. б)3х = -9 Так как показательная функция принимает только положительные значения, то данное уравнение не имеет решений. Ответ: нет решений. 2. Уравнения, решаемые с помощью вынесения общего множителя за скобки. 7х + 7х+2 = 350 7х + 7х72 = 350 7х(1+ 49) = 350 7х =350:50 7х = 7 х = 1 Ответ: х=1. 3.Уравнения, решаемые с помощью введения новой переменной. 16х – 174х + 16 = 0 Пусть 4х = t, где t , тогда уравнение примет вид: t2 - 17t + 16 = 0 Данное квадратное уравнение является приведенным, по теореме Виета получим: t1=1, t2=16 Если t1 = 1, то 4х = 1, 4х = 40, х1 = 0. Если t1 = 16, то 4х = 16, 4х = 42, х2 = 2 Ответ: х1 = 0, х2 = 2. Уравнения решались совместно с обучающимися. 2. Закрепление изученного материала М. В. Ломоносов говорил “Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики сверх того, и умения” (портрет ученого вывешивается на доску). И вот теперь вы должны проявить свои умения при решении различных показательных уравнений. На доске написаны 5 уравнений: 2.3х-1 -3х + 3х+1 = 63 3.64х – 8х –56 = 0 4.3х +4х = 5х ( устно) К доске выходят решать эти уравнения учащиеся. Так как 31, то = 0 По теореме Виета получаем: х1=4, х2=5. Ответ: х1 = 4, х2 = 5. 2. 3х-1 - 3х + 3х+1 = 63 Применяя соответствующие формулы свойства степеней, получим: 3х 3-1 – 3х + 3х 3 = 63 Выносим общий множитель за скобки: 3х( 3х 3х = 3х = 27 3х = 33 х = 3 Ответ: х = 3. 3. 64х – 8х – 56 = 0 (82)х – 8х – 56 = 0 или (8х)2 – 8х – 56 = 0 Введем новую переменную t = 8х, тогда уравнение примет вид: t2 – t – 56 = 0 По теореме Виета: t1+ t2 = 1 t1 t2 = – 56 t1 = 8, t2 = -7 (не удовлетворяет, так как показательная функция принимает только положительные значения) Если t1 = 8, то 8х = 8, 8х = 81, х = 1. Ответ: х = 1. 5.3х + 4х = 5х (устно) Ответ: х = 2. III. Итоговая часть урока. 1.Подведение итога урока. Что мы сегодня рассмотрели на уроке? Итак, сегодня мы повторили тему “Показательная функция и ее свойства и познакомились с методами решения показательных уравнений. Домашнее задание: в учебнике страница 206, номера 1357, 1358, 1359, 1360 2. Рефлексия учебной деятельности Анкетирование: На уроке я работал (активно/ пассивно) Своей работой я (доволен/ не доволен) За урок я (не устал/ устал) Поставленной цели (достиг/ не достиг) Моё настроение (стало лучше/ хуже) 3. Оценка содержательного аспекта деятельности учащихся на уроке. Поощрение учеников, выставление отметок за урок, их комментирование, замечания учащимся.
Автор(ы): Струц В. А.
Скачать: Алгебра 11кл - Конспект ( Струц Виктория Алексеевна).docx
