Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Название предмета
Алгебра и начала анализа
Класс
11
УМК
1.Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А.Г.Мордкович.-14-е изд., стер. – M.:Мнемозина, 2013.
2.Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А.Г.Мордкович.-
Уровень обучения
Базовый
Тема урока
Сочетания.
Общее количество часов, отведенное на изучение темы
3 урока по теме «Сочетания. Размещения».
Место урока в системе уроков по теме
1-ый урок из 3-х по теме «Сочетания. Размещения».
Цель урока
Рассмотреть основные понятия теории комбинаторики – перестановки и сочетания; готовить выпускников к сдаче ЕГЭ по математике
Задачи урока
Образовательные: дать специальное название одному из видов комбинаций – сочетания, вывести комбинаторную формулу вычисления сочетаний; формировать умения вычислять число сочетаний при решении задач, закрепить понятия факториала, числа перестановок.
Развивающие: способствовать формированию логического мышления учащихся при решении задач и развитию монологической речи обучающихся с использованием новых терминов.
Воспитательные: воспитывать доброжелательное отношение друг к другу, взаимовыручку при работе в парах и группах.
Планируемые результаты
Иметь представление о факториале, перестановках Рn, о числе сочетаний без повторений ; уметь вычислять сочетания и перестановки без повторения; овладеть умением применения свойств сочетаний.
Техническое обеспечение урока
компьютер, проектор, презентация
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока
http://festival.1september.ru/articles/595703/;
http://festival.1september.ru/articles/585278/;
Содержание урока
I. Организационный момент.
II. Актуализация опорных знаний
1. Ответы на вопросы домашнего задания
2. Устная работа.
- Ребята, дайте классическое определение вероятности. (Вероятностью события А при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие А, к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания. ( Р(А) = N(А)/N ) )
- Как найти число всех равновозможных исходов независимого проведения двух испытаний А и Б? (Следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания Б).
- Вспомним понятие факториала. (Определение1. Факториал – это произведение подряд идущих первых n натуральных чисел: 1*2*3*…*(n-1)*n=n!) (Определение записываем в тетрадь) (Слайд 3)
- Вспомним теорему о перестановках (Т1. n различных элементов можно расставить по одному на n различных мест ровно n! способами. Pn=n!) (Теорему записываем в тетрадь) (Слайд 4)
3 .Решение задач у доски
- Сколькими способами можно разместить 5 туристов в 5-ти различных гостиничных номерах? Р5=5!=1*2*3*4*5=120
- Сколькими способами в них можно разместить 4 туристов, если один из них приехал раньше всех и уже занял один из номеров? Р4=4!=1*2*3*4=24
4.Работа в парах с последующей проверкой. (Слайд 5)
К Иван Васильевичу пришли гости: Александр, Алексей, Петр, Николай и Сергей. За круглым столом 6 стульев.
а) Сколькими способами можно рассадить гостей и хозяина за столом?
б) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом, если место Ивана Васильевича известно?
в) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом, если Петр и Николай всегда сидят рядом?
г) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом, если Алексей и Александр не могут сидеть рядом?
Решение.
а) Способы которыми можно рассадить гостей и хозяина - это не что иное, как количество перестановок наших гостей и хозяина возле разных стульев. Воспользуемся теоремой: всего человек - 6, тогда имеем 6! способов расстановки.
Ответ:720способов.
б) Место Иван Васильевича уже известно, тогда гости могут выбрать 5 оставшихся стула, а это 5!=120 способа выбора.
Ответ:120.
в) Петр и Николай сидят рядом, тогда первый из них может выбрать себе место шестью способами, а вот второму останется выбор только из двух мест - рядом с первым. Остается 4 места для 4 человек: 4!=24 способа. Тогда всего способов: 6*2*24=288.
Ответ:288.
г) Алексей может выбрать место шестью способами, но вот Александру остается для выбора всего три места, так как рядом с Алексеем он сидеть не может. Остается 4 места для 4 человек: 4!=24 способа Тогда способов: 6*3*24=432.
Ответ: 432.
- Чем пользовались при решении данной задачи?
III. Изучение нового материала.
Теперь рассмотрим такую задачу:
Из 19 спортсмена нужно выбрать двоих для участия в соревнованиях. Сколькими способами это можно сделать?
Решение: первого можно выбрать 19 способами, второго- 18 способами. Получаем, что всего по правилу умножения . Но это еще не ответ! Дело в том, что при таком подсчете мы считали каждый искомый вариант по несколько раз: скажем, вариант, в котором на соревнования поедут Иванов, Кузнецов встречался в виде 2 комбинаций: (И-К; К-И)
Т.е. в виде двух различных комбинаций (перестановок). Легко понять, что любой другой такой вариант считался тоже два раза (именно столько перестановок можно составить из 2 выбранных человек). Чтобы получить правильный ответ, воспользуемся правилом деления: разделим найденное количество вариантов на 2:
342:2=171 - столько способов выбрать двух человек из 19.
Т2. (о выборе двух элементов) Если множество состоит из n элементов и требуется выбрать два элемента без учёта их порядка, то такой выбор можно произвести способами. (Теорему записывают в тетрадь)
Для удобства математики ввели новый термин и специальное обозначение.
Определение2. Число всех выборов двух элементов без учёта их порядка из n данных элементов называют числом сочетаний из n элементов по 2 и обозначают , . (Записывают в тетрадь) (Слайд 6)
Таким образом, для сочетания имеет значение только состав выбранных элементов, а не их порядок.
Пример 1.(решаем самостоятельно, затем проверяем, записывая решение на доске)
В команде из 11 человек нужно выбрать пару защитников. Сколькими способами это можно сделать? (Слайд 7)
Решение
Здесь порядок не важен – в паре защитников не имеет значения, кто первый, а кто второй, поэтому здесь ответом будет число сочетаний: .
Пример2. (решаем самостоятельно, затем проверяем, записывая решение на доске)
Сколькими способами учитель может выбрать две задачи из 20 для контрольной работы? (Слайд 7)
Решение
Здесь порядок не важен, не важно какая задача будет первой, а какая второй, поэтому ответ – число сочетаний: .
Если верхний индекс заменить на произвольное число k, такое что 1≤k≤n, т.е. при переходе к выборам, состоящим из произвольного числа элементов, найденное число сочетаний имеет специальное обозначение .
Определение 4. Число всех выборов k элементов из n данных без учёта порядка называют числом сочетаний из n элементов по k и обозначают . (Определение записывают в тетрадь) (Слайд 8)
Формула запишется так:
(записывают в тетрадь) (Слайд 8)
Этой формулой мы будем пользоваться при вычислении сочетаний.
Сравним: =
Например,
IV.Решение задач на нахождение числа сочетаний
- Работа в группах с последующей проверкой. (Слайд 9)
1. Сколькими способами можно выбрать 2-х дежурных из класса, в котором 23 ученика? Как называется такая комбинация в комбинаторике?
2. В магазине продается 10 различных наборов красок. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?
3. Сколькими способами в карточке лотереи «Спортлото» можно зачеркнуть 5 номеров из 36? Как называется такая комбинация в комбинаторике?
- Решение задачи у доски с объяснением
Сколькими способами из 15 фломастеров и 11 карандашей можно выбрать по 5 карандашей и фломастеров?
1.Выбор фломастеров.
2.Выбор карандашей.
3. Выбор по 5 фломастеров и карандашей.
3003*462=1387386
Ответ: 1387386 способов
V.Итог урока (Слайд 10)
Вопросы учащимся:
– Назовите формулу подсчета числа перестановок из п элементов.
– Что называется сочетанием из п элементов по k? Назовите формулу вычисления сочетания.
VI. Домашнее задание (Слайд 11)
п.52 №52.2; 52.3 (а,б); 52.6
Автор(ы): Рейсбих О. В.
Скачать: Алгебра 11кл - урок 1.docx Название предмета
Алгебра и начала анализа
Класс
11
УМК
1.Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А.Г.Мордкович.-14-е изд., стер. – M.:Мнемозина, 2013.
2.Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А.Г.Мордкович.-
Уровень обучения
Базовый
Тема урока
Сочетания и размещения.
Общее количество часов, отведенное на изучение темы
3 урока по теме «Сочетания. Размещения».
Место урока в системе уроков по теме
2-ой урок из 3-х по теме «Сочетания. Размещения».
Цель урока
Рассмотреть основное понятие теории комбинаторики – размещения; готовить к сдаче ЕГЭ по математике.
Задачи урока
Образовательные: дать специальное название одному из видов комбинаций – размещения, вывести комбинаторную формулу вычисления размещений; формировать умения вычислять число размещений при решении задач, закрепить понятия сочетания и числа перестановок.
Развивающие: развитие умения анализировать, обобщать изучаемые факты, выделять и сравнивать существенные признаки, выбирать наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от конкретных условий
Воспитательные: воспитание умения слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем.
Планируемые результаты
Иметь представление о числе размещений , уметь вычислять размещения, овладеть умением применения свойства размещений.
Техническое обеспечение урока
компьютер, проектор, презентация
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока
http://festival.1september.ru/articles/595703/;
http://festival.1september.ru/articles/585278/;
Содержание урока
1. Организационный момент
Приветствие учеников.
II. Актуализация опорных знаний.
1. Ответы на вопросы домашнего задания .
2. Самостоятельная работа с целью подготовки к ЕГЭ: (Слайд 4)
а) В детском лагере на каждого ученика полагается 70г. сахара в день. В лагере 172 человека. Сколько килограммовых пачек сахара понадобится на весь лагерь на 7 дней? В ответе запишите минимальное число пачек, необходимое чтобы обеспечить каждого ученика сахаром по норме на указанный срок.
Решение. 70*172*7=84280 гр .значит 85 пачек.
б) Одного рулона обоев хватает для оклейки полосы от пола до потолка шириной 1,6м. Сколько рулонов обоев нужно купить для оклейки прямоугольной комнаты длиной 4,1м. и шириной 2,3м? (Считать, что в комнате нет ни окон ни дверей).
Решение. (4,1+2,3)*2=12,8; 12,8/1,6=8рулонов.
в) Из 8 учеников жеребьевкой выбирают группу болельщиков, состоящую из 3 человек (разыгрывают 3 билета на хоккей). Сколько всего существует различных вариантов состава такой группы болельщиков?
Вспомнить, как называется этот вид комбинации и дать определение.
III. Изучение нового материала.
Рассмотрим несколько типичных для комбинаторики задач (решаем у доски)
Пример 1. Группу учащихся техникума должна экзаменовать по математике комиссия из двух преподавателей. Сколькими способами может быть составлена такая комиссия, если в техникуме пять преподавателей.
Решение. В этой задаче не важен порядок выбора преподавателей, т.е. находим сочетание
Пример 2. Группу учащихся техникума должна экзаменовать по математике комиссия из двух преподавателей, один из которых председатель комиссии, а другой - его заместитель. Сколькими способами может быть составлена такая комиссия, если в техникуме пять преподавателей
Решение. Пусть сначала избирается председатель комиссии. Поскольку каждый преподаватель может быть выбран председателем, то, очевидно, есть 5 способов его выбора. Тогда заместителем старосты может стать каждый из оставшихся 4-х преподавателей. Любой из 5 способов выбора председателя может осуществиться вместе с любыми из 4 способов выбора заместителя председателя. Поэтому всего существует 5 ∙ 14 = 20 способов выбора председателя и его заместителя.
- Выявим сходства и различия между этими задачами:
1) Сходства. В этих примерах речь идет о некотором конечном множестве элементов и о количестве его подмножеств, удовлетворяющих некоторым заданным требованиям.
2) Различия. В примерах 1, 2 различия состоят в порядке следования элементов подмножества. Если в примере 1 преподаватели Иванов и Петров это тоже самое, что Петров и Иванов, то в задаче 2 если Иванов – председатель, а Петров – его заместитель, то наоборот это уже будут разные множества.
Т3. Если множество состоит из nэлементов и требуется выбрать из них два элемента, порядок, то такой выбор можно произвести n (n-1) способами (Теорему записываем в тетрадь)
Определение 3. Число всех выборов двух элементов с учётом их порядка из n данных называют числом размещений из n по 2 и обозначают . (Определение записываем в тетрадь) (Слайд 5)
Во 2 задаче получим
Если верхний индекс заменить на произвольное число k, такое что 1≤k≤n, т.е. при переходе к выборам, состоящим из произвольного числа элементов,
найденное число размещений имеет специальное обозначение .
Определение 4. Число всех выборов k элементов из n данных с учётом их порядка называют числом размещений из nэлементов по k и обозначают . (Определение записывают в тетрадь) (Слайд 6)
Формула запишется так (записывают в тетрадь) (Слайд 6)
Этой формулой мы будем пользоваться при вычислении размещений.
Пример 3. (Решают самостоятельно с последующей записью решения на доске)
Группа учащихся изучает 7 учебных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день недели должно быть 5 различных урока? (Слайд 7)
Решение. Число способов равно числу размещений из 7 элементов по 4, т.е. равно По формуле получаем
IV. Проверка умений решать комбинаторные задачи.
1. Устная работа. № 52.7.
2. Работа в группах с последующей проверкой (Слайд 8)
Задача1
В чемпионате России по футболу участвуют 16 команд. Сколькими способами можно предсказать тройку призеров?
Задача2
У девочки Ксюши есть 5 поклонников. Она хочет сходить вечером на два фильма, причем не с одним и тем же поклонником. Сколькими способами можно сделать выбор?
3.Самостоятельная работа (Решения сдаются на проверку учителю) (Слайд 9)
1.Сколькими способами можно составить расписание на день из шести различных уроков, если изучается 11 предметов?
Решение.
2.Нужно выбрать старосту и физорга класса из 12 обучающихся. Сколькими способами это можно сделать?
Решение
Ответ: 132 способа
4. Решение уравнения (решение с объяснением у доски)
Решить уравнение
/ : х!
/ *(х-3)!
х-3=28 х=31
5. Решение заданий из задачника. № 52.10 (а; б), № 52.11 (а; б)
V. Итоги урока. (Слайд 10)
Вопросы учащимся:
– Назовите формулу подсчета числа перестановок из п элементов.
– Что называется сочетанием из п элементов по k? Назовите формулу вычисления .
– Что называется размещением из п элементов по k? Назовите формулу вычисления .
Домашнее задание: п.52, № 52.3 (в; г), № 52.8 (в; г),
№ 52.10 (в; г), № 52.11 (в; г) (Слайд 11)
Дополнительно подготовить сообщения:
1. Что же такое «ноль факториал»?
2. Треугольник Паскаля.
3. Области применения комбинаторики.
Автор(ы): Рейсбих О. В.
Скачать: Алгебра 11кл - урок 2.docx Название предмета
Алгебра и начала анализа
Класс
11
УМК
1.Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А.Г.Мордкович.-14-е изд., стер. – M.:Мнемозина, 2013.
2.Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А.Г.Мордкович.-
Уровень обучения
Базовый
Тема урока
Обобщающий урок по теме « Сочетания. Размещения»
Общее количество часов, отведенное на изучение темы
3 урока по теме «Сочетания. Размещения».
Место урока в системе уроков по теме
3-ий урок из 3-х по теме «Сочетания. Размещения».
Цель урока
Закрепить основные понятия теории комбинаторики –сочетания и размещения; закрепить в памяти учащихся те знания и умения, которые необходимы им для самостоятельной работы; добиться в ходе закрепления повышения уровня осмысления материала, глубины его понимания; готовить выпускников к сдаче ЕГЭ по математике.
Задачи урока
Образовательные: научить воспроизводить общие правила комбинаторики и типы соединений, уметь применять теоретические знания при решении задач; совершенствовать умения вычислять число сочетаний и размещений при решении задач.
Развивающие: Развитие логического мышления посредством решения комбинаторных задач, сообразительности, математической речи, внимания.
Воспитательные: Воспитание интереса к предмету, веры в свои силы, нравственных качеств.
Планируемые результаты
Иметь представление о факториале, перестановках Рn, о числе размещений , о числе сочетаний без повторений ; уметь вычислять размещения, сочетания и перестановки без повторения; овладеть умением применения свойств размещений и сочетаний.
Техническое обеспечение урока
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока
http://festival.1september.ru/articles/595703/;
http://festival.1september.ru/articles/585278/;
Содержание урока
I. Организационный момент
Приветствие учеников.
II. Актуализация опорных знаний
1.Ответы на вопросы домашнего задания.
2. Выступают обучающие, подготовившие сообщения:
- Что же такое «ноль факториал»?
- Треугольник Паскаля.
- Области применения комбинаторики.
(Выступающие отвечают на вопросы, если они возникнут)
3.Работа в парах с последующей проверкой.
Установить соответствие между основными понятиями, определениями, формулой для расчета числа комбинаций и привести свой пример.
(Каждой паре даётся лист с данным заданием, где с помощью стрелок устанавливается соответствие и приводится свой пример на каждый случай)
Перестановки
(привести пример)
Комбинации, составленные из данных n элементов по k элементов и отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком расположения элементов.
Сочетания
(привести пример)
Комбинации из n элементов по n
Pn=n!
Размещения
(привести пример)
Любое подмножество, которое содержит k различных элементов данного множества
4.Разбор типичных задач, в которых обычно путаются учащиеся (на стол каждому обучающемуся)
Сочетания
Размещения
1. Сколько рукопожатий получится, если здороваются 5 человек?
{Вася, Петя} = {Петя, Вася} – одно и тоже.
Значит, порядок неважен, значит это подмножество по два элемента из 5, значит это сочетание из пяти по два.
1. Сколькими способами пять человек могут обменяться фотографиями?
{Вася, Петя} ≠ {Петя, Вася} – разные обмены.
Значит, порядок важен, значит это последовательность по два элемента из 5, значит это размещение из пяти по два.
Перестановки
1. Сколькими способами n человек могут сесть на одной скамейке?
Pn = n!
Замечание
При решении задач по комбинаторике следует обращать внимание, учитывается ли порядок. Если порядок учитывается, то есть составляются упорядоченные множества, то это – размещения. Если порядок не учитывается, то это – сочетания.
III. Работа в группах.
Ваша задача: решить как можно больше задач, оформить их в тетрадях и рассказать о проделанной совместной работе при защите в конце урока. (Задачи можно решать в любом порядке). Листочки с заданиями на столах. Помогайте друг другу при решении. (Учитель, в процессе работы учащихся, оказывает помощь каждой группе).
Задачи для решения:
Задача №1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 5,7,8, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?
Решение:
Число всех перестановок из трех элементов равно Р3=3!, где 3!=1 · 2 · 3=6. Значит, существует шесть трехзначных чисел, составленных из цифр 5,7,8. Ответ: 6 чисел.
Задача № 2. Сколькими способами могут быть расставлены 7 участниц финального забега на 7-ми беговых дорожках?
Решение: Р7 = 7!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5 ∙6 ∙7 = 5040 способов. Ответ: 5040 способов.
Задача № 3. Сколькими способами пятеро юношей могут пригласить пять из восьми девушек на танец?
Решение:
Два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И
варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами,
считаются разными, поэтому:
Ответ: 6720.
Задача №4. Сколькими способами из 9 человек можно выбрать команду, состоящую из 6 человек?
Решение:
Искомое число способов равно
Ответ: 84 способа.
Задача № 5. В соревновании участвуют 7 команд. Сколько существует вариантов распределения призовых (1, 2, 3) мест?
Решение:
вариантов . Ответ: 210 вариантов.
Задача № 6. На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?
Решение: Выбор из 10 по 4 с учётом порядка: способов.
Ответ: 5040 способов.
Задача № 7. Сколькими способами можно выложить в ряд белый, фиолетовый, жёлтый, красный и голубой квадраты?
Решение: На первое место можно поставить любой из пяти квадратов (5 способов), на
второе – любой из четырёх оставшихся (4 способа), на третье место – любой из
оставшихся трёх (3 способа), на четвертое место – любой из оставшихся двух (2 способа) и на пятое место - оставшийся последний шар.
Всего 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 способов. Р5 = 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5= 120.
Ответ: 120 способов
Задача № 8. Как выбрать 15 задач для решения из 20 предложенных. Сколькими способами можно это сделать?
Решение: Выбор 15 из 20 без учёта порядка: способа.
Ответ: 15504 способа.
Задача № 9. В 9 классе учатся 7 учащихся, в 10 - 9 учащихся, а в 11 - 8 учащихся. Для работы на пришкольном участке надо выделить двух учащихся из 9 класса, трех – из 10, и одного – из 11 . Сколько существует способов выбора учащихся для работы на пришкольном участке?
Решение: Выбор из трёх совокупностей без учёта порядка, каждый вариант выбора из
первой совокупности (С72) может сочетаться с каждым вариантом выбора из
второй (С93) и с каждым вариантом выбора третьей (С81) по правилу умножения получаем:
Ответ: 14 112 способов.
Задача № 10. Девятиклассники Женя, Сережа, Коля, Наташа и Оля побежали на перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими способами подбежавшие к столу пятеро девятиклассников могут занять очередь для игры в настольный теннис?
Решение: Первым в очередь мог встать любой девятиклассник, вторым – любой из оставшихся троих, третьим – любой из оставшихся двоих и четвёртым – девятиклассник, подбежавший предпоследним, а пятым – последний. По правилу умножения у пяти учащихся существует 5·4321=120 способов занять очередь. Ответ: 120 способов.
IV. Отчет групп о проделанной работе.
V. Итог урока и оценивание работы групп
VI. Домашнее задание (решение самостоятельной работы)
1. Сколькими способами можно из 8 человек составить группу, состоящую из трёх человек?
2. В олимпиаде по математике участвуют 12 человек. Сколькими способами могут распределиться между ними места?
3. Сколькими способами можно расставить на полке в серванте 6 различных чашек?
4. Сколько различных словарей необходимо переводчику, чтобы он мог переводить с любого из 5 языков – русского, английского, немецкого, французского, испанского – на любой другой из этих языков?
5. На листе отмечены 8 точек. Каждые две точки соединили отрезком. Сколько получилось отрезков?
6. Сколькими способами можно переложить 8 карандашей различных цветов?
7. Четыре человека пожали друг другу руки. Сколько было рукопожатий?
8. Сколько флагов можно составить из трех разных цветов, если имеются полосы синего, белого, красного цветов?
Ответы и решения:
Автор(ы): Рейсбих О. В.
Скачать: Алгебра 11кл - урок 3.docxАвтор(ы): Рейсбих О. В.
Скачать: Алгебра 11кл - Презентация к уроку 1.pptxАвтор(ы): Рейсбих О. В.
Скачать: Алгебра 11кл - Презентация к уроку 2.pptx
