Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
11 класс
УМК (Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс, Мордкович А.Г., 2013, 2007г)
Гуманитарный класс, базовый уровень.
Тема урока: «Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль»
Урок систематизации и обобщения изученного материала.
Общее количество часов, отведенное на изучение темы 3часа
Место урока в системе уроков по теме « Уравнения» - 3 урок
Цели урока:
Дидактическая: научить применять полученные знания при решении заданий повышенного уровня сложности, стимулировать учащихся к овладению рациональными приёмами и методами решения.
Развивающая: развивать память, познавательный интерес, вырабатывать умение анализировать и сравнивать.
Воспитательная: развивать аккуратность и трудолюбие, продолжить формирование навыков контроля и самоконтроля.
Оборудование: Карточки с заданиями двух уровней, записи на доске, проектор, компьютер.
План урока
1. Организация класса.
2. Проверка Д.З. 1794,1795 Обсудить номера, при решении которых возникли затруднения.
3. Устная работа.
4. Обсудить основные методы решения уравнений и неравенств. Общие элементы и существенные различия.
5. Самостоятельная работа.
6. Итог урока.
7. Домашнее задание.
Ход урока.
1. Орг. момент.
2. Устная работа.(на экране вопросы)
Вопрос
Ответ
1) Сформулируйте аналитическое определение модуля
Модулем числа а называется само чиcло а,
если а >0, число (-а), если а<0, и нуль, если а=0, т.е.
2) Геометрическая интерпретация модуля
а) Модулем числа а называется расстояние от начала отсчёта до точки с координатой а.
б) Модуль разности чисел а и b есть расстояние между точками а и b числовой оси, т. е.
3) Перечислите свойства модуля
1) , 2) , 3),
4) , если b, 5) ,
6) , n а
4) Перечислите приёмы решений уравнений и неравенств с модулем.
Разбор случаев с применением аналитического определения модуля, применение геометрической интерпретации модуля, метод интервалов для непрерывных функций, функционально-графический метод, метод замены множителей, использование частных схем.
5) Выберите наиболее рациональную схему для решения уравнения ;
1.
2.
Вторая схема проще т. к. предполагает решение линейного неравенства, в отличие от первой, где пришлось бы решить два квадратных неравенства.
6)Раскрытие модуля: х-8.
7) Решить уравнение: а)х-2=5; б) х-10=0; в) х+3=-4
а) (отв.:7; -3); б) (отв.:10); в) (отв.: );
8) Решить неравенство: а) х ≤ 3; б) х> 6.
9)Решить уравнение .
Ответ: 5; -5
3. Решение упражнений на доске по карточкам с последующим кратким анализом и обсуждением решения.
1)х+3=2х
Решение. ОДЗ: х ≥ 0.
х+3=2х х=3ОДЗ
х+3=-2х х=-1 ОДЗ Ответ: 3
2)5х-3<7
Решение. -7<5х-3<7; -4<5х<10; . -4/5<х<2; -0,8<х<2. Ответ: (-0,8;2)
3)х2-1>1
Решение. х2-1 > 1 х2> 2 х> х (-;-) (; +)
х2-1< -1 х2< 0 х< -
Ответ: (-;-) (; +)
4)Решить систему неравенств: х+1< 6
х-1 ≥ 2
Решение.
х+1< 6 -6<х+1<6 -7<х<5
х-1 ≥ 2 х-1 ≥ 2 х ≥ 3
х-1 ≤ -2 х ≤ -1 -7 -1 3 5 х
х (-7;-1] [3;5)
Ответ:(-7;-1] [3;5)
4. Решение упражнений (на доске и в тетрадях).
1)Решить уравнение х2+6х-7=0
Решение. Обозначим х=t, где t ≥ 0. Тогда х2=х2=t2. Уравнение принимает вид:
t2+6t-7=0. Корни находим по теореме Виета: t=1, t=-7, из которых t=-7<0 – не подходит.
Возвращаемся к замене: х=1, отсюда х=1, х=-1.
Ответ: 1; -1
Обратим внимание учащихся на то, что решать такие уравнения с модулем способом подстановки выгоднее и продуктивнее, чем рассматривать два случая раскрытия модуля.
2)Найдите наибольшее значение выражения При каких значениях х и у оно достигается?
Решение. Дана дробь вида . Её числитель не изменяется, а знаменатель изменяется. Следовательно, чем меньше знаменатель, тем больше дробь.
Слагаемые: (х-у-3)2х ≥ 0; х+у-5 ≥ 0; 3 > 0.
Дробь примет наибольшее значение при равенстве нулю двух первых слагаемых. Получим дробь , где 4 - наибольшее значение выражения.
Рассмотрим, при каких значениях х и у оно достигается. Решим систему уравнений (можно устно, например, способом сложения)
х-у-3=0 х=4, у=1
х+у-5=0
Ответ: наибольшее значение выражения равно 4 при х=4, у=1.
3)Решите уравнение:
а)х-5+6+х=13; б)х-5+6+х=11.
Решение. I II III
а) Раскроем модули
-6 5 х
(-;-6)
[-6; 5]
(5; +)
х-5
–
–
+
6+х
–
+
+
I интервал (-;-6); уравнение принимает вид: 5-х-6-х=13
Получаем: -2х=12, х=-7 интервалу.
II интервал [-6; 5]; уравнение принимает вид: 5-х+6+х=13
Получаем равенство 11=13, которое является неверным, следовательно, корней нет.
III интервал (5; +); уравнение принимает вид: х-5+6+х=13
Получаем: 2х=12, х=6 интервалу.
Ответ: -7; 6.
б)Уравнение представляет интерес с точки зрения того, как изменится его решение с изменением значения в правой части уравнения.
На I интервале (-;-6) уравнение имеет решение х=-6, которое не принадлежит интервалу.
На II интервале [-6; 5] получаем равенство 11=11, которое является верным при любом х из этого интервала. Итак, решением являются х[-6; 5].
На III интервале (5; +)уравнение имеет решение х=5, которое также не принадлежит интервалу.
Ответ: [-6; 5]. (Здесь мы видим нечастый на данном этапе обучения случай, когда решением уравнения является не частное числовое значение, а числовой отрезок)
5)Самостоятельная работа.
Решить уравнение:
1)
Ответ: 1;3.
Решить уравнение:
2)
Ответ: -3;-2;0.
Решить уравнение:
3)
Ответ: -2;3.
Решить уравнение:
4)
а) метод «интервалов» для уравнений с модулем
найдём нули модулей: х=2; х=1
ни одна из систем совокупности не имеет решений.
Ответ: нет корней.
б) решение значительно упрощается если заметить, что левая часть уравнения принимает только неотрицательные значения, значит х-80х8
На множестве х8 уравнение примет вид х-2+х-1=х-8, откуда следует х=-5, что противоречит условию х8.
Ответ: нет корней.
5) Решить неравенство .
а) (применение геометрической интерпретации модуля)
Поскольку - расстояние между точками М(х) и М(-2) на числовой прямой, то нужно найти все такие точки М(х), которые удалены от точки М(-2) на расстояние, меньшее чем
Очевидно что это точки с координатами удовлетворяющими неравенству
-5<x<1.
Ответ: (-5;1).
б) (метод интервалов для непрерывных функций)
Пусть f(x) = ,тогда D = R
Решим уравнение f(x)=0. Получим:
Осталось установить знак f(x) на промежутках: (-∞;-5), (-5;1), (1;+∞).
Ответ: (-5;1).
6. Итог урока. Как решаются неравенства вида х<а; б) х> а? Раскрыть модуль х+1. Перечислить способы решения уравнений с модулем?
7. Домашнее задание. Выполнить по задачнику № 18.36, 18.44.
Автор(ы): Савлюбаева А. Б.
Скачать: Алгебра 11кл - Конспект.doc
