Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета

Учителю
  • Быстрый поиск
  • Расширенный поиск
Тип материала:
Разделы:
Темы:

Тип материала

Урок 80-81 Равносильность уравнений. Решение ключевых задач [Курлаева М.А.]

Текст урока

  • Конспект

     Алгебра и начала математического анализа
    11 класс
    УМК - Алгебра и начала математического анализа, Мордкович А.Г., Семенов П.В.,
     2014 г.
    Уровень обучения - базовый
    
    Тема урока: «Равносильность уравнений».
    Общее количество часов, отведенное на изучение темы - 2 урока
    Цели урока:
    обобщить и систематизировать знания обучающихся по наиболее важным вопросам, связанным с преобразованиями и решением уравнений с одной переменной.
    развитие мышления обучающихся; развитие познавательного интереса и умений учебно-познавательной деятельности.
    воспитание организованности, самоконтроля и взаимоконтроля. 
    Задачи урока: 
    выработать у обучающихся умение пользоваться  теоремами равносильности уравнений;
    осуществить  формирование первоначальных знаний в виде отдельных навыков после определенной тренировки решения  уравнений; 
    познакомить обучающихся с частными случаями и отработать навыки по решению таких уравнений.
    
    
    Ход урока
    I	. Организационный этап
    II. Актуализация опорных знаний
    
    1. Один учение работает у доски. Задание – решить уравнение. Дать определение равносильных уравнения, уравнения следствия.
                              
    Ответ: x=1
    Определение 1. Два уравнения с одной переменной f(х) = g(х) и р(х) = h(х) называют равносильными, если множества их корней совпадают. 
    Определение 2. Если каждый корень уравнения  f(x) = g(х) (1) является в то же время корнем уравнения  р(х) = h(х),(2) то уравнение (2) называют следствием уравнения (1).
    
    2. Все остальные  в это время решают уравнение                                
      
     Решение.                                               ;                               
                                                                
    
    
              100(2х+5)2 = 1296 – 216х + 9х2;
    9х2 – 416х + 796 = 0;
    х1 = 2, х2 = 
                                                                      
    Проверка. Подставим поочередно каждое из найденных значений переменной в исходное уравнение.
                                               х₂ =  - посторонний корень.
                                                                                                                             Ответ:  х = 2 
    Вопросы к классу.
    Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием?
    Какие преобразования могут перевести данное уравнение в уравнение-следствие?
    Если мы в конечном итоге решили уравнение-следствие, то как сделать проверку в случае, когда она сопряжена со значительными вычислительными трудностями?
    В каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить?
      
    III. Объяснение нового материала.
    
    Теоремы равносильности уравнений.
    
    «Спокойные теоремы» гарантируют равносильность преобразований без каких-либо дополнительных условий, их использование не причиняет решающему никаких неприятностей.
      
    «Беспокойные теоремы»  работают лишь при определенных условиях, а значит, могут доставить некоторые неприятности при решении уравнений.   
    
    «Спокойные теоремы»:
    
    Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.
    Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же  нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.
    Теорема 3.  Показательное уравнение аf(x) = аg(x) (где а > 0, a≠1) равносильно уравнению f(x) = g(х). 
    
    
    Определение 3. Областью определения уравнения f(х) = g(х) или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называ­ют множество тех значений переменной х, при которых одновре­менно имеют смысл выражения  f(х) и g(х). 
    
    «Беспокойные теоремы»:
    
    Теорема 4. Если обе части уравнения f(x) = g(х) умножить на одно и то же выражение h(х), которое: 
    а) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f(x) = g(х)  
    б) нигде в этой области не обращается в 0, то получится уравнение f(x)h(x) = g(x)h(x), равносильное данному в его ОДЗ.
    
    Следствием теоремы 4 является еще одно «спокойное» утверждение: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
    
    Теорема 5. Если обе части уравнения f(x) = g(х)   неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнении f(x))n=(g(x))n равносильное данному в его ОДЗ.
    
    Теорема 6. Пусть а>0 и a≠1, X — решение системы неравенств  f(х) > 0, g(х) > 0 , тогда  уравнение   log a f(x) = log a g(x) равносильно на множестве X   уравнению f(x) = g(х)    
     
    Краткая запись теорем 4 – 6.
    
    4.  f(x) = g(x) ⇔ h(x)f(x) = h(x)g(x),   где  h(x) ≠0 и h(x)  имеет смысл в ОДЗ данного уравнения.
    
     5. f(x) = g(x)  ⇔ (f(x))n=(g(x))n ,   где f(x)≥0,     g(x)≥0  и  n=2k (чётное число).
    
     6.   loga f(x) = loga g(x) ⇔ f(x) = g(х),   где   f(х) > О, g(х) > 0  и   а>0  и  a≠1 
    
    IV. Первичное усвоение материала.
    
    Пример 1.
    
     Решить уравнение      ln (х + 4) + ln (2х + 3) = ln (1 - 2х). 
    
    Решение.
     Первый этап. Воспользуемся правилом «сумма ло­гарифмов равна логарифму        произведения». Оно позволяет заменить выражение ln (х + 4) + ln (2х + 3) выражением 
    ln (х + 4)(2х + 3). Тогда заданное уравнение можно переписать в виде:                                                          ln  (х + 4)(2х + 3) = ln (1 - 2х). 
    Потенцируя, получаем:
    (х + 4)(2х + 3) = (1 - 2х)
    2х2 + 8х + Зх + 12 = 1 - 2х;
    2х2 + 13х + 11 = 0
    х₁ = -1
    х2 = -5,5
    Второй этап. В процессе решения произошло расширение ОДЗ уравнения, значит, обязательна проверка.
    Третий этап. Поскольку, кроме расширения ОДЗ уравнения, никаких других неравносильных преобразований в процессе ре­шения уравнения не было, проверку можно выполнить по ОДЗ исходного уравнения. Она задается системой неравенств
    
    Значение х = -1 удовлетворяет этой системе неравенств, а зна­чение х = -5,5 не удовлетворяет уже первому неравенству, это посторонний корень.                                                                                                                                                                                                                                                   
    Ответ: -1. 
    Пример 2. 
     Решить уравнение: 
    Решение.
    Уравнение равносильно системе:
    
    Ответ: 
    Пример 3.
     Решить уравнение: .
    Решение.
    Перепишем уравнение в виде 1+= х. Рассмотрим функцию (х)=1+. Тогда полученное уравнение имеет вид . Для решения уравнений такого вида применим теорему
    Если (х) – монотонно возрастающая функция, то уравнения  и (х)=х равносильны. Введенная функция монотонно возрастает, поэтому перейдем к равносильному уравнению  (х)=х или 1+=х, решение которого  найти уже просто 
    Ответ: .
    
    2-й урок
    
    V. Иррациональные  уравнения и неравенства с параметрами.
    Пример 1.
     Решить уравнение , (а – параметр).
    Решение.
    Перепишем уравнение в виде:  и рассмотрим его как квадратное относительно . Находим D = 4а-3.  Уравнение имеет решение, если а3/4. Имеем: 
    Видим, что  первое уравнение совокупности имеет решение тогда и только тогда, когда   1-, т.е. при а1. Решим  оба уравнения совокупности, получим 3/4а1:
    , 
    Таким образом приходим к ответу: 
    при 3/4а1 уравнение имеет  два корня ,; 
    при а>1 уравнение имеет один корень: ; 
    при а< решений нет.
    
    VI. Иррациональные неравенства.
    Решение иррациональных неравенств осложняется тем обстоятельством, что здесь как правило, исключена возможность проверки и преобразования должны быть равносильными.
    Основным методом решения иррациональных неравенств является  метод сведения исходного неравенства  к равносильной системе или совокупности систем иррациональных неравенств..
    Иррациональные неравенства часто сводятся к неравенствам вида  или . Неравенства первого вида удобно решать, переходя к равносильной системе  трех неравенств: Запомним правило: нельзя неравенство возводить в четную степень, если хотя бы одна из его частей отрицательна, поскольку при этом знак неравенства может измениться.
    Неравенства второго типа решают, переходя к совокупности двух систем неравенств
     
    Пример 5. Решим неравенство: 
     Так как квадратные корни можно извлекать лишь из неотрицательных чисел, то должно выполняться условие:  х2-55х+2500. Решением  этого неравенства является множество     х ϵ (-;5][50; ). Кроме этого поскольку 0, имеем х-140, т.е. хϵ[14; ). Совмещаем полученные множества, получим  множество [50; ). Возведем обе части данного неравенства в квадрат (так они существуют и неотрицательны на [50 ; )):          х2-55х+250<(х-14)2. Решим систему неравенств:
       Откуда .
     Ответ: .
    
    
    VII. § 55,  7 (б); 8 (а).
    
     VIII. Самостоятельная работа
    1 вариант:
                (решите уравнения)
    1. 
    
        (решите неравенства)
    2. 
    
    2 вариант:
                (решите уравнения)
    1. 
    
          (решите неравенства)
    2. 
    
    IX. Контрольные вопросы
    1. Понятие равносильных уравнений.
    2. Определение уравнения-следствия.
    3. Три этапа решения уравнения.
    4. Теоремы о равносильности уравнений (фронтальный опрос).
    5. Преобразование данного уравнения в уравнение-следствие.
    6. Расширение области определения уравнения.
    7. Причины потери корней при решении уравнений.
    
    X. Задание на дом
    § 55, № 8 (б); 9 (а, г); 10 (в, г); 11 (б); 12 (а, в).
    
    XI. Подведение итогов уроков
    
    
    
    
    
     

    Автор(ы): Курлаева М. А.

    Скачать: Алгебра 11кл - Конспект.docx