Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Разработка урока.
Алгебра и начала математического анализа
11 класс
УМК: Алгебра и начала математического анализа часть I, II А.Г. Мордкович П.В. Семенов (2015 г.)
Уровень обучения: базовый, углубленный
Тема урока: многочлены от одной переменной
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3
Урок 1: Объяснение нового материала и первичное закрепление
Урок 2: Решение ключевых задач
Урок 3: Повторение и систематизация. Контроль
Урок 1: Объяснение нового материала и первичное закрепление
Тема урока: Многочлены от одной переменной
Цель урока: Понятие многочлена стандартного вида. Операции с многочленами. Знакомство с теоремой Безу и со схемой Горнера
Задачи: Развитие алгоритмической культуры. Знакомство с историей развития математики
Планируемые результаты: Уметь записывать многочлен в стандартном виде. Уметь выполнять деление многочленов с остатком. Пользоваться схемой Горнера для выполнения деления многочлена
Технические обеспечения урока: интернет ресурс http://www.myshared.ru/slide/988845/
Обязательное содержание по стандарту:
1. Многочлены от одной переменной
2. Делимость многочлена
3. Деление многочленов с остатком
4. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами
5. Схема Горнера
6. Теорема Безу
7. Число корней многочлена
Содержание урока 1:
1. Многочлен стандартного вида
2. Деление многочлена на многочлен с остатком
3. Схема Горнера
Ход урока 1:
Объявление темы. Многочлены от одой переменной.
Задача урока: учимся находить нужную информацию из учебного текста, учимся выполнять действия с многочленами, знакомимся с новыми (это необходимо в дальнейшем для решения уравнений высших степеней)
Начнем с проверки домашнего задания
I. П.32. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции . Дополнительный вопрос: Заполнить таблицу сокращенного умножения. . Вызывается Ученик 0.
y=x3+5x2-8x+4 Дополнительный вопрос: заполнить пропуски
y’=3x2+10x-8 1. a3+b3=(a…b)(…-ab….)
3x2+10x-8=0 2. x3-1=(x-…)(x2…+1)
D=49 3. (a+b)3=a3+…a2b+…+…
x=-4 4. (x-1)3=…
x=2/3
-4 2/3
y возрастающая на (-∞; -4] и на [2/3; +∞)
у убывающая на [-4;2/3]
II. Работа с учебником. Стр. 5-7. (с учебником работает весь класс во время опроса ученика по домашнему заданию)
III. Анализ текста. Выписать в тетрадь многочлен P(x) n-ой степени в стандартном виде, назвать коэффициенты, выделить старший коэффициент аn и свободный член а0.
--Какой многочлен называется приведенным?
Ответ: … если аn равно единице
--Может ли аn равняться нулю?
Ответ: да, но тогда степень многочлена n-1.
--Записаны ли на доске какие либо многочлены? Прочитайте их.
Ответ: да, например, из домашнего задания:
x3+5x2-8x+4
и в формулах.
--Охарактеризуйте выбранные примеры.
Ответ: x3+5x2-8x+4 – приведенный, третьей степени с целыми коэффициентами a3=1
a0=4
3x2+10x-8 – многочлен степени 2.
a2=3, a0=-8;
Ранее назывался “Квадратный трехчлен”
х3-x2+x-1 коэффициенты 1, -1,1,-1 – приведенный
-Можно ли неравные нулю числа считать многочленами?
Ответ: да, это многочлены нулевой степени. Например, 7=7x0
Теорема 1Многочлен P(x) равен многочлену S(x) тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую степень и коэффициенты при одноименных степенях переменной в обоих многочленах
Используется эта теорема в методе “неопределенных коэффициентов” при их нахождении
Пример.
ax5-7x4+3x2-11=x5-bx4+3x2-c
a=1 , b=-7 , c=11
Позднее будет рассмотрен более сложный пример
IV.
Действия с многочленами, как с многозначными числами.
(x3-3x-7)-(x2+7x-1)=x3-x2-10x-6
x3+0x2-3x-7
x2+7x-1
x3-x2-10x-6
x3+0x2-3x-7
x2+7x-1
x5+0x4-3x3-7x2
7x4+0x3-21x2-49x
-x3+0x2+3x+ 7
x5+7x4-4x3-28x2-46x+7
Сходства действий очевидны. есть особенности в записи.
Деление многочлена на многочлен с. 8 – 9.
Анализ Теоремы 2
Для любых двух многочленов ненлевой степени p(x) и s(x) существует пара многочленов q(x) и r(x) такая, что степень многочлена r(x) меньше степени многочлена s(x) и выполняется тождество
Делимое:
Делитель:
Частное (неполное):
Остаток:
Например, для чисел:
23-делимое
3 делитель
7-неполное частное
1-остаток
Для чисел 23 и 3 нашлись числа 7 и 1, причем 1 < 3
Пример деления многочленов:
-Как найдены частное и остаток?
Способ 1 Выделение множителя
+3
Способ 2 Деление углом
Смотреть учебник стр. 9 (соответствующий пример)
Способ 3 Схема Горнера.
Она использовалась в средневековом Китае (метод «Тянь-Юань»). Заново открыта в начале 19 века У. Горнером (Лондон 1819 г.) и П. Руффини (Италия 1802 г.).
Она используется при делении многочлена на двучлен типа (x-α)
Запишите схему Горнера в общем виде:
…
…
Где p(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0
s(x)=x-α
q(x)=bn-1xn-1+bn-2xn-2+…+b0
Почему именно так?
Ответ: стр. 10 для самых смелых на следующий урок.
Наша задача сегодня научиться делить “уголком” и по схеме Горнера.
Задание классу:
I вариант по схеме Горнера.
II вариант деление “уголком”
Пример 1
1.28 а) (x5-2x4+3x3-7x2+2x-1) : (x-2)
На доске осваивает схему Ученик 1:
1
-2
3
-7
2
-1
2
1
0
3
-1
0
-1
Ответ: x5-2x4+3x3-7x2+2x-1=(x-2)(x4+0x3+3x2-1x+0) – 1
Делит “уголком” Ученик 2:
x5-2x4+3x3-7x2+2x-1 х-2
x5-2x4 x3+3x2-x
0 + 3x3-7x2
3x3-6x2
-x2 + 2x
-x2 + 2x
-1 (остаток)
Пример 2
(x7-2x4+27x+3) : (x+2)
p(x)= 1x7+0x6+0x5-2x4+0x3+0x2+27x+3
α=-2
Ученик 3 (на доске):
1
0
0
-2
0
0
27
3
-2
1
-2
4
-10
20
-40
107
-211
Ответ: p(x)= x7-2x4+27x+3=(х-2)(x6-2x5+4x4-10x3+20x2-40x+107) – 211 получен быстрее чем Учеником 4 при делении “уголком”
V. Итоги урока
Оценки: Ученик 0 за д/з и повторение.
Ученик 1, Ученик 2 за анализ текста и практическую работу.
Ученик 3, Ученик 4 за освоение новых алгоритмов.
Что мы узнали нового или вспомнили: стандартный вид многочлена, действия с ним, деление многочлена по схеме Горнера.
Д/З: 1)Теорема 1, Теорема 2
2) 1.22 (а, б)
3)стр. 32 читать историческую справку
4)* Метод неопределенных коэффициентов стр. 10.
Автор(ы): Махмутова Р. А.
Скачать: Алгебра 11кл - Конспект.docx
