Урок 11 Уравнения высших степеней [Зарипова Г.Ф.]

Текст урока

• Конспект

   Название предмета:  Алгебра и начала анализа
  Класс: 11
  УМК: Мордкович  А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. (базовый уровень).
  Уровень обучения: базовый
  Тема урока: Уравнения высших степеней
  Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3 часа.
  Место урока в системе уроков по теме: на тему отведено 3 часа, данный урок первый по теме
  Цель урока: обеспечение условий для усвоения каждым учащимся знаний об уравнениях высших степеней, способах их решений.
  Задачи урока:
  Образовательные задачи: 
  - первичное введение материала, углубить знания обучающихся, закреплять умение узнавать и применять приемы решения уравнений высших степеней.
  Развивающие задачи:
  развивать умение слушать, анализировать, сравнивать, классифицировать уравнения типам;
  развивать логическое мышления, внимание и умение работать в проблемной ситуации;
  развивать познавательную активность.
  Воспитательные задачи:
  Воспитывать интерес и любовь к предмету через содержание учебного материала, умение работать в коллективе, паре, взаимопомощи, культуры общения;
  воспитывать в учащихся навыки самоорганизации, самооценки, самопроверки и взаимопроверки;
  воспитывать настойчивость в достижении цели.
  Планируемые результаты: научиться применять методы решения уравнений высших степеней.
  Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор.
  
  
  
  
  Содержание урока
  1. Организационный момент.
  Взаимное приветствие; проверка готовности учащихся к уроку, организация внимания. Сообщается  тема урока и цели, подчеркивается актуальность данной темы для подготовки к ЕГЭ.
  Вступительное слово учителя. На прошлом занятии была изучена тема «Методы решения уравнений». Сегодня познакомимся с уравнениями высших степеней и постараемся научиться применять эти методы при решении данных уравнений. 
  Эпиграфом к уроку будет высказывание польского математика Георга Цейтена:
  Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах. 
  2. Актуализация опорных знаний и постановка проблемы.
  Уравнение  одно из важнейших понятий математики. Развитие методов решения уравнений, начиная с зарождения математики как науки, долгое время было основным предметом изучения алгебры.
  В школьном курсе изучения математики очень много внимания уделяется решению различного вида уравнений. До девятого класса мы умели решать только линейные и квадратные уравнения. В девятом классе мы познакомились с двумя основными приёмами решения некоторых уравнений третьей и четвёртой степеней: разложение многочлена на множители и использование замены переменной. В одиннадцатом мы расширим свои знания об уравнениях.
  А можно ли решить уравнения более высоких степеней? На этот вопрос мы постараемся сегодня найти ответ.
  Для начала ответим на несколько вопросов:
  - что называется уравнением?
  Ответ: Уравнением называют равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.
  
  - что значит решить уравнение?
  Ответ: Решить уравнение значит найти все его корни или доказать, что их нет.
  
  - что называется корнем уравнения?
  Ответ: Корень уравнения – это такое значение буквы (переменной), при подстановке которого уравнение обращается в верное числовое равенство.
  
  - какие виды уравнений вы знаете?
  Ответ: линейные, квадратные, тригонометрические, показательные, логарифмические, иррациональные.
  
  - Какие методы для решения уравнений вы знаете? 
  Ответ: 
  - метод разложения на множители, 
  - метод введения новой переменной, 
  - функционально-графический метод.
  Какое уравнение назовем уравнением высшей степени?
  Уравнение вида Рn(х)=0, где   – многочлен степени  п с действительными коэффициентами называется уравнением высшей степени. 
  Желательно научиться решать уравнения третьей, четвертой и более высоких степеней. Лучший способ научиться решать уравнения состоит в том, чтобы эти уравнения решать самому. 
  Для уравнений третьей и четвертой степени есть формулы корней (формулы Кордано и Феррари), выведенные итальянскими математиками в 1545 году, но в силу своей громоздкости эти формулы не используют в школьной программе.
  Историческая справка
  Однажды в ноябре 1594 года во дворе Генриха 4 (Франция) Нидерландский посланник рассказал об известной задаче знаменитого математика Адриска Ван Ромена. Это был вызов математикам всего мира. Речь шла о решении уравнения 45 – й степени. В списке тех, кому следовало направить его научный вызов, Ван Ромен не указал ни одного француза и посланник заметил, что по видимому, во Франции нет математиков. “Но почему же? – возразил король. У меня есть математик и весьма выдающийся”. Он послал за Виетом Франсуа (1540 – 1603 г.). Один корень Виет нашел сразу же, а на следующее утро представил 22 решения этого уравнения.
  Вот и мы сегодня постараемся научиться решать уравнения высшей степени. Конечно, уравнение 45 степени мы решать не возьмемся, но уравнения 3 и 4 степени нам по силам.
  3. Работа по теме урока.
  - А какие уравнения 4 степени мы уже знаем и научились решать?
  Ответ: биквадратные.
  Давайте напомним себе как мы их решали.
  - Решим уравнение: .
  1) Введем новую переменную: , причем .
  2) Выполним замену и получим квадратное уравнение вида: .
  3) Решим полученное уравнение: ; ; .
  4) Получили 2 положительных корня. Вернемся к замене. Составим и решим уравнения:  и . Получаем , ,  и .
  - Решим уравнения: 
  Решение уравнений 3 и 4 степени, т.е. решение уравнений вида 
  а0х4+а1х3+а2х2+а3 х+а4=0,  а0 х3+а1х2+а2х+а3 =0
  Решение уравнений
  № 1
  Решим уравнение: х3-9х+х2–9=0.
  Способ решения данного уравнения - разложение на множители способом группировки.
  (х3+х2)-(9х+9)=0
  х2(х+1)-9(х+1)=0
  (х+1)(х2-9)=0
  (х+1)(х-3)(х+3)=0    
  Ответ: -3; -1; 3.
  
  №2
  Решим уравнение из 2 части единого государственного экзамена:  
  Решим уравнение разложением на множители.
  Если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена этого уравнения.
  Чтобы проверить наличие целых корней этого уравнения, выпишем все делители его свободного члена: ±1; ±3; ±9.
  Так как сумма коэффициентов, стоящих на чётных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на нечётных местах, то у данного уравнения есть корень .
  Разложим левую часть на множители:
  
  
  
   
  
  Проверим корни , получим 0, значит,  является корнем уравнения. Разложим на множители:
  
  =0
  
   
  x=3 
  Ответ: .
  
  №3.
  Решить уравнение: 2х3+8х-х2-4=0
  	Данное уравнение решим методом разложения на множители. Для этого сгруппируем 1 и 2 слагаемые, 3 и 4 слагаемые. 
  Получим: 
  (2х3+8х)-(х2+4)=0.
  Вынесем за скобку общий множитель:
  2х(х2+4)-( х2+4)=0.
  Преобразуем: 
  (2х-1)( х2+4)=0.
  	Выражение во вторых скобках ни при каких значениях х равным нулю быть не может, значит решим уравнение 2х-1=0. Получим .
  Ответ: .
  4. Подведение итогов урока
  1) Вопросы обучающимся:
  - Какие уравнения называются уравнениями высшей степени?
  - Какие методы решения уравнений высшей степени вы знаете?
  - С какими уравнениями высшей степени вы уже были знакомы с курса 9 класса?
  2) Рефлексия:
  Продолжить фразу:
  - Мне было интересно…
  - Мы сегодня разобрались…
  - Я сегодня понял(а)…
  - Мне было трудно…
  3) Выставление оценок 
  5. Домашнее задание:
  № 56.10, 56.25 из учебника. 
  Для класса с высоким уровнем подготовки дополнительное задание:
  Решить уравнения:
  1. 2х3-12х2+22х-12=0
  2. 6х4-35х3+62х2-35х+6=0
  3. (х+1)(х+2)(х+4)(х+3)=15
  
   

   Read more ...

  Автор(ы): Зарипова Г. Ф.

  Скачать: Алгебра 11кл - Конспект.docx

Презентация к уроку

• Презентация к уроку

  Автор(ы): Зарипова Г. Ф.

  Скачать: Алгебра 11кл - Презентация к уроку.ppt