Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Название предмета Алгебра Класс 11 УМК (Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. М. Мнемозина 2005 год) Уровень обучения (базовый,) Тема урока: Функция вида y= , свойства и график. Место урока в системе уроков по теме (Урок 2: решения ключевых задач) Цель урока: Обобщить и систематизировать знания, полученные по теме; проверить степень усвоения материала; продолжить формирование умения применять полученные знания по теме в процессе решения упражнений; воспитывать аккуратность и четкость в работе с графиками. Задачи урока 1. Актуализировать необходимые знания и умения. 2. Организовать мыслительную деятельность учащихся для решения проблемы (выстроить необходимую коммуникацию). 3. Через анализ и присвоение нового способа деятельности воспитывать уважение к чужому мнению и чужому труду. 4. Проверить уровень усвоения учащимися вопросов темы Планируемые результаты: усвоить решение основных задач Техническое обеспечение урока: доска, мел Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (http://interneturok.ru/algebra/11-klass/stepeni-i-korni-stepennye-funktsii/funktsi) Содержание урока (в соответствии с требованиями к современному уроку). I. Организационный момент. 1) Приветствие. Проверка отсутствующих в классе. II. Актуализация знаний учащихся. Проверка домашнего задания. 1) Какую тему мы начали изучать на прошлом уроке? 2) Сформулируйте определение корня п- степени из числа 3) Чему мы научились на прошлом уроке? 4) Проверим домашнее задание. III Решение основных задач На данном уроке мы повторим свойства и графики функций у=√(n&х), решим некоторые типовые задачи. 1. Функция y=(√x)n при четных n, свойства в общем и частных случаях Начнем с повторения функций для четного n, т. е. функций и т. д. Рис. 1. Рис. 1. График функции при четных n Важно, что любая из этих кривых проходит через две точки: (0;0) и (1;1).Когда аргумент возрастает от нуля до плюс бесконечности, то и функция возрастает от нуля до плюс бесконечности. Свойства данных функций: 1. Область определения: ; 2. Область значений: ; 3. Функция возрастает на луче ; 4. Функция проходит через точки (0;0), (1;1) при любом n. Изучаемые функции имеют много общих свойств, но каждая из них единственна и неповторима. Для примера рассмотрим взаимное расположение двух кривых: . Пока х изменяется от нуля до единицы, кривая находится над кривой , в точке (1;1) кривые пересекаются и далее меняют свое расположение, когда х меняется от единицы до плюс бесконечности, кривая находится над кривой . Описанное расположение можно описать так: Пример 1: но Пример 2: но Рис. 2. Взаимное расположение графиков функций 2. Функция y=(√x)n при нечетных n, свойства в общем и частных случаях.Перейдем к функциям для нечетного n, т. е. функциям и т. д., причем в данном случае и . Рис. 3. График функции для нечетного n, Если аргумент меняется от минус бесконечности до плюс бесконечности, функция возрастает от минус бесконечности до плюс бесконечности. Основные свойства рассматриваемых функций: 1. Область определения: ; 2. Область значений: ; 3. Графики функций проходят через точки (0;0), (1;1), (-1;-1) 4. Функции нечетные, графики симметричны относительно начала координат; 5. Функции возрастают от минус до плюс бесконечности. Рассмотрим взаимное расположение двух кривых: . Рис. 4. Рис. 4. Взаимное расположение графиков функций На участке кривая находится выше кривой , однако когда кривые располагаются наоборот, расположена выше : Решение типовых задач Пример 3 – решить неравенство: Чтобы найти решение неравенства, нужно узнать знак числа, стоящего в скобках. Поскольку значение синуса любого угла меньше единицы, разность в скобках будет иметь знак минус. Исходя из этого, получаем решение неравенства: . Рассмотрим одну из типовых задач для функции для четного n. Пример 4: найдите область значений функции на интервале . Решение основывается на свойстве данной функции, а именно ее монотонном возрастании. Найдем значения в границах интервала: Таким образом, получаем ответ: . Аналогичная задача существует для функции при нечетном n. Пример 5: найдите область значений функции на интервале Данная функция также имеет свойство монотонно возрастать при возрастании аргумента. Аналогично предыдущему примеру найдем значения функции в граничных точках и получим ответ. Таким образом, получаем ответ: . Подобные задачи допускают различные формулировки, рассмотрим одну из них. Пример 6: найдите наибольшее и наименьшее значение функции на интервале . Ответ очевиден: наименьшего значения функция достигает при наименьшем значении аргумента, т. е. , наибольшее значение соответствует наибольшему значению х, но наш интервал заканчивается круглой скобкой, поэтому наибольшего х, а значит, и наибольшего у, не существует. Пример 7: решить уравнение графически. Разбиваем заданное уравнение на две функции: Свойства данных функций нам известны, первая монотонно возрастает и обязательно проходит через три известные нам точки, вторая монотонно убывает, поэтому если данная система имеет решение, то оно единственное. Построим заданные функции: Рис. 5. Графики функций и Очевидно, что решением системы является точка с координатами (1;1). Выполним проверку: Таким образом, получили корень уравнения: . Пример 8: найдите область определения функции. Мы помним, что под корнем четной степени должно стоять только положительное выражение, в то время как на корень нечетной степени никаких ограничений не накладывается. Получаем неравенство: Умножим неравенство на минус единицу, получим: Получили неравенство в стандартном виде, выпишем и поясним его решения: Рис. 6. Интервалы знакопостоянства квадратного неравенства Таким образом, получили ответ: . Пример 9: найти наибольшее значение функции. Помним, что под корнем четной степени может стоять только неотрицательное число: Рис. 7. Интервалы знакопостоянства квадратного неравенства Определим, в каких пределах изменяется подкоренное выражение . Несложно найти, что оно принадлежит интервалу [0;1]. Рассмотрим функцию . Данная функция монотонно возрастает, поэтому своего максимума достигнет при максимальном значении х, т. е. получаем: . Пример 10: построить график и найти область значений функции. Рис. 8. Графики функций, пример 10 Первая функция при убывает от двух до нуля. Вторая функция при возрастает от нуля до единицы.Итак, если аргумент меняется в заданных пределах , функция принимает значения на интервале от нуля до двух, таким образом, получаем ответ: область значений функции . Свойства функции лежат в основе решения различных задач с параметром, рассмотрим одну из них. Пример 11: найти число корней уравнения с параметром. Причем Напомним, что решение задачи с параметром подразумевает перебрать все возможные значения параметра и для каждого из них указать ответ. Для решения подобных задач можно применять следующий алгоритм: 1. Построить график функций; График уже был построен в предыдущем примере, см. рисунок 8. 2. Рассечь график семейством прямых , найти точки пересечения и выписать ответ; Выполним рассечение: Рис. 9. Рассечение графика прямыми вида Исходя из рисунка 9, выпишем ответ: Уравнение не имеет корней при: Уравнение имеет единственный корень при: . Уравнение имеет два корня при: . Итак, мы повторили свойства функций для всех значений n, построили графики и исследовали их. Кроме того, мы научились решать разнообразные типовые задачи, пользуясь свойствами изучаемых функций. На следующем уроке мы рассмотрим свойства корня n-й степени из неотрицательного числа. Итог урока Домашнее задание 1. Найти минимальное значение функции: а) ; б) ; в) 2. Найти количество решений уравнения с параметром , если
Автор(ы): Шумейко Ю. С.
Скачать: Алгебра 11кл - Конспект.docx
