Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета

Учителю
  • Быстрый поиск
  • Расширенный поиск
Предметы
Класс
Тип материала:
Разделы:
Темы:

Тип материала

Уравнение касательной к графику функции

Текст урока

  • урок 1 (Ионова Е. В.) 

     
Предмет: Алгебра и начала математического анализа.
Класс: 10
УМК: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы А.Г. Мордкович, 2014г.
Уровень обучения: базовый уровень
Тема: Уравнение касательной к графику функции
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 2
Место урока в системе уроков по теме: 1
Цель: вывести формулу уравнения касательной к графику функции в заданной точке 
Задачи:
Обучающие:
отработать и систематизировать навыки и умения по теме «Касательная, уравнение касательной к графику функции».
Развивающие:
способствовать развитию внимания;
способствовать развитию навыков устного счета;
способствовать развитию логического мышления, математической интуиции;
Воспитательные:
развивать у обучающихся коммуникативные  компетенции (культуру общения, умение работать в группах, умение аргументировать свою точку зрения);
создавать условия для осознания необходимости самостоятельных действий при решении проблем.
Планируемые результаты:
знать алгоритм составления уравнение касательной к графику функции;
уметь применять алгоритм составления уравнение касательной к графику функции на практике.
Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор,  презентация, учебник.  
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: слайды презентации.
Содержание урока:
1. Организационный момент.
2. Устная работа.
3. Объяснение нового материала.
4. Формирование умений и навыков.
5. Итоги урока.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Найдите производные функций (Слайд 2).
у= 2х4 – 3х3 +1
у= 15х4 -8х
у= 15х -√х
у= 5х2 – 2cosх
у= 3х2 +1/х
2. На рисунке изображен график функции у =f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной в точке х0. (Слайд 3).

III. Объяснение нового материала.
Итак, мы с вами научились находить производные различных функций. На предыдущих уроках мы говорили, что умение находить производные – помогает в решении разных задач. На сегодняшнем уроке мы разберём, как с помощью производных можно составить уравнение касательной к графику функции.
При выводе уравнения касательной один обучающийся составляет уравнение касательной у доски (Слайд 4) остальные, работая в группах, параллельно составляют уравнение касательной функции  в общем виде. 
Составить уравнение касательной, проведенной к графику функции  в точке а = –2
Составить уравнение касательной, проведенной к графику функции  в точке а
1. Запишем уравнение в общем виде:

1. Запишем уравнение в общем виде:

2. Известно, что 


Значит, уравнение касательной принимает вид: 
2. Известно, что 
Значит, уравнение касательной принимает вид: 
3. Искомая прямая проходит через точку M (–2; 4).
Подставим эти координаты в уравнение прямой:

Найдем отсюда т:

3. Искомая прямая проходит через точку 
Подставим эти координаты в уравнение прямой:

Найдем отсюда т:

4. Подставим полученные значения k и т в уравнение :

4. Подставим полученные значения k и т в уравнение :


Каждая группа озвучивает и записывает на доске свои результаты. После этого на доску выносится запись:
 – уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке х = а. (Слайд 5).
Объяснить обучающимся, что, зная эту формулу, не нужно каждый раз заново проводить рассуждения по отысканию уравнения касательной. Надо просто найти входящие в неё значения  f(а) и  f'(а) и подставить их.
Вместе с обучающимися вырабатывается алгоритм составления уравнения касательной к графику функции. (Слайд 6).

IV. Формирование умений и навыков.
Все задания можно разбить на две группы. В первую группу войдут задания на актуализацию знаний учащихся о геометрическом смысле производной, а во вторую – непосредственно на составление уравнений касательных.
1-я группа.
1. № 29.1, № 29.2.
Задания выполняются устно, ответы поясняются.
2. № 29.3 (а; б), № 29.5 (а; б).
3. № 29.8 (а), № 29.9 (а), № 29.11 (а).
Решение:
№ 29.9 (а).



Известно, что  то есть  откуда  = 45 °.
Ответ: 45 °.
№ 29.11 (а).




Ответ: 150 °.
2-я группа.
1. № 29.12 (а; б).
Первое время требовать от учащихся подробной записи и четкого следования алгоритму.
Решение:
б) 
    1) а = 0.
    2) 
    3) 
        
    4) 
         у = 2 – х.
Ответ: у = 2 – х.
2. № 29.13 (а).
Решение:

1) а = 2.
2) 
3)
    
4) 
   
Ответ: 
V. Итоги урока. (Слайд 7)
Вопросы обучающимся:
– В чем состоит геометрический смысл производной?
– Назовите уравнение касательной, проведенной к графику функции  у = f(x) в точке с абсциссой х0.
– Сформулируйте алгоритм составления уравнения касательной к графику функции  у = f(x) в точке с абсциссой х0.
Домашнее задание: № 29.6 (б), № 29.9 (б), № 29.10 (б), № 29.12 (в; г), № 29.13 (б).   (Слайд 8).

    Автор(ы): Ионова Е. В.

    Скачать: Алгебра 10кл - урок 1 (Ионова Е. В.).docx

  • Урок 2 (Ионова Е. В.) 

     Предмет: Алгебра и начала математического анализа.
Класс: 10
УМК: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы А.Г. Мордкович,  2014г.
Уровень обучения: базовый уровень
Тема: Уравнение касательной к графику функции
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 2
Место урока в системе уроков по теме: 2
Цель: показать применение производной к приближенным вычислениям
Задачи:
Обучающие:
повторить и обобщить изученный материала по теме “Уравнение касательной";
 проверить уровень знаний обучающихся;
 способствовать реализации полученных знаний при выполнении заданий различного уровня сложности.
 Развивающие:
развитие познавательной активности учащихся, логического мышления, навыков применения знаний в нестандартной ситуации.
 Воспитательные: 
формирование обучающихся чувства взаимоответственности и самоутверждения, самооценки, мобильности, умения общаться;
Планируемые результаты:
знать уравнение касательной в данной точке;
уметь составлять уравнений касательных, заданных различными условиями; находить приближенные значения выражений.

Техническое обеспечение урока: мультимедийная презентация, проектор, персональные компьютеры для выполнения тестовой работы.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: слайды презентации, тест.
Содержание урока:
1. Организационный момент.
2. Проверочная работа.
3. Формирование умений и навыков.
4. Объяснение нового материала.
5. Формирование умений и навыков.
6. Самостоятельная работа.
7. Итоги урока.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверочная работа.
1. Решение задач по готовым чертежам. (Слайды 2-3).
2. Записать уравнение касательной функции f(x)=х2-3х+5, проведенной в точке с абсциссой а = -1. (Слайд 4).
Самопроверка.
III. Формирование умений и навыков. 
Все задания можно разбить на 3 группы:
– составление уравнения касательной в данной точке;
– составление уравнений касательных, заданных различными условиями;
– нахождение приближенных значений выражений.
1-я группа.
1. № 29.14 (а).
2. № 29.15 (а).
2-я группа.
1. № 29.18.
2. № 29.19.
3. № 29.21 (а).
Решение:

Если касательная параллельна прямой y = 3 + x, то она имеет одинаковый с ней угловой коэффициент, то есть k = 1. Найдем производную функции  у = f(x) и приравняем её к единице:





Значит, касательная к графику функции  у = f(x) будет параллельна прямой  y = 3 + x в точке х = 3.
Ответ: 3.

      IV. Объяснение нового материала. (Объясняет учитель).
Уравнение касательной имеет ещё одно применение: с его помощью можно выполнять приближенные вычисления. (Слайд 5).
Для функции y=f(x), имеющей производную в фиксированной точке x, справедливо приближенное равенство Δy≈f′(x)⋅Δx
или, подробнее, f(x+Δx)−f(x)≈f′(x)⋅Δx.

Для удобства дальнейших рассуждений изменим обозначения:  вместо x будем писать a, вместо x+Δx будем писать x и, соответственно, вместо Δx будем писать x−a. Тогда написанное выше приближенное равенство примет вид: f(x)−f(a)≈f′(a)(x−a)  илиf(x)≈f(a)+f′(a)(x−a).
Вывод делают обучающиеся: Смысл приближенного равенства в том, что в качестве приближенного значения функции в точке x берут значение ординаты касательной в той же точке. (Слайд 6).
V. Формирование умений и навыков.
3-я группа.
Вычислить√4,08 приближенно.(Слайд 7). 
Выполнить задание № 29.24 (а; г).
Решение:
а) 0,9985
  
  
    0,9985 = 1 + 5 (0,998-1)=1 – 5 · 0,002 = 0,99
Ответ: 0,99.
г) 
    
   
    
Ответ: 1,9975.
VI. Самостоятельная работа по вариантам. Приложение 1.
VI. Итоги урока. (Слайд 8).
Вопросы обучающимся:
– В чем состоит геометрический смысл производной?
– Назовите уравнение касательной, проведенной к графику функции  у = f(x) в точке с абсциссой х0.
– Сформулируйте алгоритм составления уравнения касательной к графику функции  у = f(x) в точке с абсциссой х0.
– Как найти приближенное значение числового выражения?
Домашнее задание: № 29.14 (б), № 29.16 (б), № 29.17, № 29.21 (б), № 29.22 (г).
Дополнительно: 29.24 (б; в).(Слайд 9).

    Автор(ы): Ионова Е. В.

    Скачать: Алгебра 10кл - Урок 2 (Ионова Е. В.).docx

  • урок 1 (Сердюк Н. В.) 

     Тема: Уравнение касательной к графику функции (на данную тему отводится 2 часа)
Урок №1. 
Цели урока: Повторить понятие касательной к графику  функции, выделив связь ее углового коэффициента со значением производной в точке касания; вывести уравнение касательной; сформулировать алгоритм составления уравнения касательной к графику функции ; формировать умение определять угловой коэффициент касательной, умение составлять уравнение касательной.
Развивать речь и мышление учащихся.
Оборудование: учебники (1,2 части.) Презентация « Производная и её применение»; мультимедийный проектор: компьютер.

Ход урока:  
I.  Организационный момент.
Приветствие, сообщение темы и задач урока.
II.  Проверочная работа.
Учащиеся решают задания по вариантам.
Вариант 1
Вариант 2
1. Найдите производную функции:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
2. Решите неравенство , если


III. Объяснение нового материала.	
Объяснение нового материала (стр. 173-176) с применением призентации- слайды №2,3
1. Уравнение касательной к графику функции.
2. Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции.
3. Составить уравнение касательной к графику функции в точке .
IV.  Закрепление нового материала.
Решить задания из № 29.1; 29.2(а, б) -устно. 29.3(а) 29.12(б, г)
V.  Решение заданий по теме.
Учащиеся  (4 человека ) у доски решают задания (а), а на месте (б) из №29.13 – 29.16.
V I.    Подведение итогов.
VII.  Домашнее задание: №29.7 – 29.9(а) 29.12(а,в); теория в учебнике стр. 173-176.

    Автор(ы): Сердюк Н. В.

    Скачать: Алгебра 10кл - урок 1 (Сердюк Н. В.).docx

  • урок 2 (Сердюк Н. В.) 

     Тема: Уравнение касательной к графику функции .
Урок № 2. 
Цели урока: Отработать умение учащихся решать задания на составления уравнения касательной к графику функции ; рассмотреть формулу для нахождения приближенного значения числового выражения; отрабатывать навыки самостоятельной работы. Развивать речь и мышление учащихся.
Оборудование: учебники (1,2 части.) Презентация « Производная и её применение»; мультимедийный проектор: компьютер.

Ход урока:  
I.  Организационный момент.
Приветствие, сообщение темы и задач урока.
II.  Математический диктант.
Вариант 1
Вариант 2
Найдите углы, которые образуют кривые с осью абсцисс в каждой из точек их пересечения
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
III. Объяснение нового материала.	
1. Объяснение нового материала (стр. 176-177): слайд № 4.
2. Разобрать пример №3.
                 IV.  Закрепление нового материала.
Решить задания из № 29.24(а,б)
V.  Решение заданий по теме.
Решить задания 29.20 – 29.23(б).
                  VI.    Подведение итогов.
                  VII.  Домашнее задание: № 29.18; 29.24 (в,г); 29.21(в).

    Автор(ы): Сердюк Н. В.

    Скачать: Алгебра 10кл - урок 2 (Сердюк Н. В.).docx

Презентация к уроку

Задания к уроку