Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Название предмета Алгебра и начала математического анализа
Класс 10
УМК (название учебника, автор, год издания) Алгебра и начала математического анализа. 10 – 11 классы. В 2ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/А.Г.Мордкович. – 11-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2010. – 399 с. : ил.
Алгебра и начала математического анализа. 10 – 11 классы. В 2ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/А.Г.Мордкович. – 11-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2010. – 239 с. : ил.
Уровень обучения (базовый, углубленный, профильный) базовый
Тема урока Тангенс суммы и разности аргументов
Общее количество часов, отведенное на изучение темы 2
Место урока в системе уроков по теме 1
Цель урока Изучить формулы тангенса суммы и разности аргументов. Рассмотреть практическое применение данных формул.
Задачи урока Образовательные: обеспечить повторение предидущего учебного материала и изучение нового учебного материала. Создать условия контроля (самоконтроля и взаимоконтроля).
Развивающие: развивать и совершенствовать умения применять теоретические знания к решению упражнений; мыслительные способности учащихся; их речевую культуру; математический кругозор.
Воспитательные: воспитывать уверенность в своих знаниях; умение слушать других; содействовать воспитанию интереса к математике; воспитывать объективность и честность при контроле знаний; культуру поведения.
Планируемые результаты
уметь:
– выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы;
– проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих тригонометрические функции;
– вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;
Техническое обеспечение урока мультимедиа проектор, экран, доска, презентация, карточки с заданиями для работы на уроке, карточки с заданиями для самостоятельной работы.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на интернет-ресурсы)
Содержание урока
I.Организационный момент. (Слайд1-3)
Приветствие, сообщение темы и задач урока
Учитель: немецкий гений Иоганн Вольфганг Гёте однажды заметил: «Недостаточно только получать знания, надо найти им приложение. Недостаточно только желать; надо делать». Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому высказыванию писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим удовольствием, ведь они пригодятся вам в вашей дальнейшей жизни.
II. Актуализация знаний.
Урок мы начнём с повторения теоретического материала, небольшой устной работы, которая нацелена на повторение и проверку усвоения предыдущего материала.
III. Устная работа
1) Повторение формул синуса и косинуса суммы и разности аргументов. (Слайды 4-7)
2) Упростите:
а) cos a cos 3a-sin a sin За;
б) sin 2а cos а + cos 2а sin а;
в) sin а cos За + cos а sin За
г) cos а cos 2а + sin а sin 2а.
(Ответы: a) cos 4а; б) sin За; в) sin 4а; г) cos а.)
3) sin 37° cos 8° + cos 37° sin 8° = 1 ;
sin 30° cos 15° + sin 15° cos 30°
cos 20° cos 65° + sin 20° sin 65° =1
sin 75° cos 30° - sin 30° cos 75°
Учитель: Работа по самооценке. Показать на диаграмме уровень усвоения теории.
IV.Проверка домашнего задания.
V. Изучение нового материала
Вывод формулы тангенс суммы аргументов: (Слайды8-11)
tg(x + у) = sin(x+y) = sinx cos у + cosx sin у
cos(x + y) cosх cos у — sinх sin у , разделим почленно и числитель и знаменатель на cosхcosy;
sinx cosу + cosx sinу sinx + sin у
cosx cosу cosx cosу = cosx cosу = tgх + tgy
cosx cosу - sinx sinу 1 - sinx sinу 1-tgх tgy
cosx cosу cosx cosу 1 cosx cosy
При этом, разумеется, предполагается, что все тангенсы имеют смысл, т.е. что
(для первой формулы),
(для второй формулы).
VI. Закрепление материала. (Слайды 12-14)
Учитель: Рассмотрим ряд примеров, показывающих, как используются эти формулы на практике (стр.118-119 учебника).
а) Воспользуемся тем, что 75° = 45° + 30°. Получим:
Есть смысл избавиться от иррациональности в знаменателе, домножив и числитель, и знаменатель полученной дроби на
Есть смысл избавиться от иррациональности в знаменателе, домножив и числитель, и знаменатель полученной дроби на
в) Заметим, что заданное выражение представляет собой правую часть формулы «тангенс суммы» для аргументов 27° и 18°. Значит,
VII.Отработка навыков. (стр.55-56 задачника)
№20.1 Вычислите:
б) tg 105° = tg(60° + 45°) = tg60° + tg45° = V3+1
1-tg60° tg45° 1-V3
№20.11 а) Найдите tg a, если
2tga = -4; tg a = -2;
б) Найдите ctg a, если
tga = -2\3, ctga =- 3\2 .
Ответ: а)-2 б) -3/2
№ 20.13 Известно, что sin a=-12/13, П< а <3П/2. Найдите: а) tg(a+П/4); б)tg(a-П/4);
a) tg(a+П/4)=tga+ tgП/4 = 12\5 +1 = -17 . 5 =-17
1-tga tgП/4 1-12\5 5 7 7
б) tg(a-П/4)=tga-1 =12\5-1 = 7. 5 = 7
1+tga 1+12\5 5 17 17 ; cos a=-5\13, tg a= 12\5.
№ 20.8 Докажите тождество:
б) tga + tgb + tga-tgb = 2 tga + tgb + | tga-tgb =
tg(a +b ) tg(a-b) ’ tg(a +b ) tg(a-b)
(tga + tgb)(l - tgatgb) | + (tga - tgb)(l + tgatgb) = 1 -tga tgb+1+tgаtg=2.
tga + tgb tga - tgb
Учитель: Работа по самооценке. Покажите на диаграмме уровень вашего усвоения данной формулы и умение применить её к решению тригонометрического уравнения.
VIII. Подведение итогов урока Выставление оценок согласно критериям.
Ключ для выставления оценок:
16 -20 баллов – оценка «5»
13 -15 баллов – оценка «4»
6 -12 баллов – оценка «3»
менее 6 баллов – оценка «2»
IX.Домашнее задание
§23. №20.12, 20.8 (а).
Ответы и решения:
№20.12
а) tg а = 3 и tg (а + b) = 1. Найти: tg b;
tg(a + b) = tga + tgb = 1;
1-tga tgb
3+ tgb = 1 -3tgb ; 4tg b =—2; tgb = -1\2.
б) tga = 1\4 и tg (a - b) = 2. Найти: tg b;
tg(a-b) == tga - tgb = 2;
1+tga tgb
1\4-tgb= 2+2\4tgb, tgb= 7\4(-3\2); -1,5tgb= 1,75; tgb=-7/6
№20.8
1 - tg2a = tg(45°-2a);
1 + tg2a
tg(45°-2a) = tg45°-tg2a = 1 - tg2a
1 + tg45°tg2a 1+tg2a
Автор(ы): Аккелбекова Ж. А.
Скачать: Алгебра 10кл - Урок 1 (Аккелбекова Ж. А.).docx Название предмета Алгебра и начала математического анализа
Класс 10
УМК (название учебника, автор, год издания) Алгебра и начала математического анализа. 10 – 11 классы. В 2ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/А.Г.Мордкович. – 11-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2010. – 399 с. : ил.
Алгебра и начала математического анализа. 10 – 11 классы. В 2ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/А.Г.Мордкович. – 11-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2010. – 239 с. : ил.
Уровень обучения (базовый, углубленный, профильный) базовый
Тема урока Тангенс суммы и разности аргументов
Общее количество часов, отведенное на изучение темы 2
Место урока в системе уроков по теме 2
Цель урока Изучить формулы тангенса суммы и разности аргументов. Рассмотреть практическое применение данных формул.
Задачи урока Образовательные:отработка навыка преобразования тригонометрических выражений и решения уравнений с помощью основных тригонометрических формул.
Развивающие: развивать и совершенствовать умения применять теоретические знания к решению упражнений; мыслительные способности учащихся; их речевую культуру; математический кругозор.
Воспитательные:воспитание самостоятельности, работоспособности, таких качеств характера как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях, способности к сотрудничеству;
развивающие – развитие коммуникативных способностей, повышение интеллектуального уровня, кругозора, повышение мотивации к изучению математики, развитие логического мышления, умения выделять главное, проводить обобщение, делать верные логические выводы.
Планируемые результаты В результате изучения данной темы
у учащихся формируются познавательные компетенции: сравнение, сопоставление, классификация объектов по одному или нескольким предложенным основаниям, критериям. Определение адекватных способов решения учебной задачи на основе заданных алгоритмов.
Учащиеся демонстрируют теоретические и практические знания о преобразовании тригонометрических выражений, применяя различные формулы. Могут излагать информацию, обосновывая свой собственный подход.
Учащиеся могут свободно пользоваться знаниями о преобразовании тригонометрических выражений, применяя различные формулы. Умеют добывать информацию по заданной теме в источниках различного типа. Могут выделить и записать главное, могут привести примеры.
Техническое обеспечение урока доска, карточки с заданиями для работы на уроке. Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на интернет-ресурсы)
1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа10 – 11 классы в 2 частях( учебник, задачник) Для общеобразовательных учреждений. – 12-е изд. – М.: Мнемозина, 2011.
2. Макеева А.В. Карточки по тригонометрии. 10-11 классы: Дидактический материал для учителя - ОАО “Издательство “Лицей”, Саратов, 2002.
3. Обухова Л.А,Занина О.В.,Данкова И.Н. Поурочные разработки по алгебре и началам анализа:10 класс.-М.:ВАКО,2010.-304 с.-(В помощь школьному учителю)
Содержание урока
I.Организационный момент.
Приветствие, сообщение темы и задач урока
Учитель: разучивание тригонометрических формул в школе не для того чтобы вы всю оставшуюся жизнь вычисляли синусы , косинусы и тангенсы, а для того чтобы ваш мозг приобрел способность работать. “Дороги не те знания, которые отлагаются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы”, писал английский философ и социолог Г. Спесер.
II.Проверка домашнего задания
III.Устная работа по задачнику (стр.55-56)
№20.2 Вычислите:
а) tg25°+tg20° = tg45° =1
1-tg25°tg20°
б) l-tg70° tg65° =ctg 135° =-1
tg70° tg65°
в) tg9°+tg51° =tg60° =V3
1-tg9°tg51°
г) 1+tg54° tg9° = ctg45° =1
tg54° tg9°
№20.4 Известно, что tg a=1\2, tg b=1\3. Найдите: а) tg(a+b); б) tg(a-b);
a) tg(a+b)= tga+tgb = 1\2+1\3 =5 .6 = 1
1-tgatgb 1-1\6 6 5
б) tg(a-b)= tga-tgb = 1\2-1\3 =1 .6 = 1
1+tgatgb 1+1\6 6 7 7
№20.6 Упростите выражение:
а) tg2,22+ tg0,92 =tg (2,22+0,92)= tg 3,14
1-tg2,22 tg0,92
б) tg1,47- tg0,69 =tg (1,47-0,69)= tg0,78
1+tg1,47 tg0,69
IV.Cамостоятельная работа.
Вариант I: № 20.9 (a).
Вариант II: № 20.7 (б).
Ответы и решения:
№20.9 Решите уравнение:
а) tgx+tg3x = 1; tg 4x=1; 4x=П\4+Пn, nеZ; x= П\16+ Пn\4? nеZ
1-tgxtg3x
№20.7 Упростите выражение:
б) tg(45° +a)-tga = tg (45° +a-a) =tg 45° =1
1-tg(45° +a)tga
V. Работа у доски.
№20.10 Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку[-П; 2П]:
а) V3-tgx =1; tg(П\3-х)= 1; х- П\3=-П\4+Пn, nеZ; х=П\12+Пn,nеZ;
1+V3tgx
хе[ -П; 2П]; х=-11П\12, П\12; 13П\12.
VI.Работа по карточкам.
Карточка 1
Карточка 2
Вычислить
Найти , если
Найти , если
Карточка 3
Карточка 4
Вычислить
Найти , если
Найти , если
VII.Подведение итогов урока.Оценивание работы учащихся.
VIII.Домашнее задание №20.10(б),20.3
Ответы и решения:
№20.10 Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку[-П; 2П]:
б) tgП\5+tg2x = V3; tg (2x-П\5)=-V3; 2x-П\5 =-П\3+Пn, nеZ; x= -П\15+ Пn\2, nеZ
tgП\5tg2x+1
хе[-П; 2П]: х=-17П\30; -П\15; 13П\30; 14П\15; 43П\30; 29П\15.
№20.3 Вычислите:
а) tg(П\4-а), если tg a=2\3; tg(П\4-а)= tg(П\4)-tgа = 1-2\3 = 1\3 = 1\5
1+tg(П\4)tgа 1+2\3 5\3
б) tg(а+П\3), если tg a=4\5; tg(а+П\3) = tgа+tgП\3 = 4\5+V3 = -41V3+80
1-tg(П\3)tgа 1- V3*4\5 23
Автор(ы): Аккелбекова Ж. А.
Скачать: Алгебра 10кл - урок 2 (Аккелбекова Ж. А.).docx Название предмета: Алгебра и начала математического анализа.
Класс: 10.
УМК: Алгебра и начала математического анализа часть 1, Мордкович А.Г., 2011
Алгебра и начала математического анализа часть 2 задачник, Мордкович А.Г., 2011
Уровень обучения: базовый
Тема урока: «Тангенс суммы и разности аргументов».
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 2
Место урока в системе уроков по теме: Первый урок
Цель урока:познакомить обучающихся с формулами тангенс суммы и разности аргументов, развивать умения применения этих формул.
Задачи урока:
Создать условия для формирования у обучающихся представлений о формулах для тангенса суммы и разности аргументов;
Создать условия для мотивации обучающихся в изучении формул тангенса суммы и разности аргументов;
способствовать формированию умений в применении нового и ранее изученного материала, при выполнении различных преобразований тригонометрических выражений;
способствовать формированию таких качеств личности как ясность и точность мысли, самоконтроль;
продолжить формировать представления о математике как части общечеловеческой культуры и ее связи с другими науками.
Планируемые результаты: Сформировать умение применять формулы тангенса суммы и разности аргументов при выполнении различных преобразований тригонометрических выражений.
Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор, экран, доска, мел.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: http://gruzdoff.ru/wiki/Тригонометрия
Содержание урока:
Организационный момент.
Доброе утро. Сегодня мы с вами продолжаем работу с тригонометрическими выражениями. Предлагаю вам устную работу.
1. Повторение.
1. Устная работа – 5 мин. (Слайды 3-6)
Тема нашего урока «Тангенс суммы и разности аргументов». Запишите в тетради.
2. Проектировочный такт.
Какие цели вы бы поставили себе на урок при изучении этой темы?
Программа действий:
1. Вывести формулы тангенса суммы и разности аргументов.
2. Отработать навыки применения этих формул.
3. Такт-исполнение.
Где мы можем найти эти знания? (учебник, интернет, учитель и т.п.)
Выведите формулы тангенса суммы и разности аргументов самостоятельно в парах, используя определение тангенса.
Слайд №7-10.
Доказательства этих теорем есть в учебнике. Вы можете с ними ознакомиться дома.
Отработка применения формул.
Слайды № 11-13
1.Вычислите ( один ученик у доски, другие в тетрадях):
20.1 – 20.3 (а, б), 20.5 (а) (Слайд №14)
4. Историческая справка.
Слайды № 15-22
Учитель выставляет оценки за работу на уроке. Оценку деятельности учащихся ими самими.
Смогли ли вы на сегодняшнем уроке чему-то научиться? Где пригодятся эти знания?
На сколько вы были активны?
1) Домашнее задание. (Слайд 23)
§20 №№ 20.2 (в, г), 20.4 , 20.6.
5. Постановка новой проблемы.
Как вы считаете вы достаточно хорошо научились применять эти формулы или стоит продолжить отработку навыков применения на следующем уроке?
На следующем уроке мы продолжим отработку применения этих формул.
Урок закончен. Спасибо!
Автор(ы): Шаныгина Е. А.
Скачать: Алгебра 10кл - урок 1 (Шаныгина Е. А.).doc Название предмета: Алгебра и начала математического анализа.
Класс: 10.
УМК: Алгебра и начала математического анализа часть 1, Мордкович А.Г., 2011
Алгебра и начала математического анализа часть 2 задачник, Мордкович А.Г., 2011
Уровень обучения: базовый
Тема урока: «Тангенс суммы и разности аргументов».
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 2
Место урока в системе уроков по теме: Второй урок
Цель урока: систематизация уже имеющихся знаний по формулам тригонометрии, отработка навыков применения формул для тригонометрических выражений.
Задачи урока:
- повторение ранее изученного материала по тригонометрии;
- повторение формул тригонометрии;
- отработка навыка преобразования тригонометрических выражений и решения уравнений с помощью основных тригонометрических формул.
Планируемые результаты: Сформировать умение применять формулы синуса и косинуса суммы аргументов при выполнении различных преобразований тригонометрических выражений.
Техническое обеспечение урока: проектор, экран, доска, презентация, карточки с заданиями для работы на уроке, карточки с заданиями для самостоятельной работы.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: http://www.yaklass.ru
Содержание урока:
1.Организационный момент.
Приветствие, сообщение темы и задач урока.
Учитель: немецкий гений Иоганн Вольфганг Гёте однажды заметил: «Недостаточно только получать знания, надо найти им приложение. Недостаточно только желать; надо делать». Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому высказыванию писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим удовольствием, ведь они пригодятся вам в вашей дальнейшей жизни.
2. Актуализация знаний.
Урок мы начнём с выполнения небольшой устной работы, которая нацелена на повторение основных тригонометрических тождеств, проверку усвоения предыдущего материала.
Упростить выражения и найти их значения :
а) sin· sin (2+3) + cos(2+3) ·cos
б) cos 2·sin (-) - cos(-)·sin 2
в) sin 81°· cos 21° - cos81° ·sin 21°
г) cos·cos -sin·sin
д) sin · cos+cos·sin
е) cos78°·cos18° +sin78°·sin18°
ж)
з)
и)
к)
Ответы к заданию: а) cos (3+); б) –sin(+); в); г)-; д) 1; е) ; ж);
з); и); к) -.
Учитель: Работа по самооценке. Показать на диаграмме уровень усвоения теории.
3. Закрепление материала.
Учитель: рассмотрим решение уравнений на применение формул ( к доске вызывается по желанию ученик, который решает и комментирует вслух все решение):
а)sinх· cos3х - cosх ·sin3х =
Решение: применяя формулу синуса суммы получим sin(х + 3х ) =
sin 4х =
4х = ( -1)n+ n , где n
х=( -1)n+,где n
4.Отработка навыков.
Учитель: разучивание тригонометрических формул в школе не для того чтобы вы всю оставшуюся жизнь вычисляли синусы , косинусы и тангенсы, а для того чтобы ваш мозг приобрел способность работать. “Дороги не те знания, которые отлагаются в мозгу, как жир; дороги те, которые превращаются в умственные мышцы” писал английский философ и социологГ. Спесер. На ваших столах лежат карточки с заданиями. Выберите из предложенных уравнений то уравнение, где будет применяться при решении формула синуса суммы или разности аргументов. Решите самостоятельно.
Предложенные задания:
а)cos 4х·cosх - sin4х· sinх = -;
б) sin 5х· cosх + cos5х ·sinх = -;
в)= -
Решение заданий для самостоятельного выбора:
б)sin 5х· cosх + cos5х ·sinх = -
sin6х = -
6х = ( -1)n + n , где n
х = ( -1)n+ ,где n
Учитель: Работа по самооценке. Покажите на диаграмме уровень вашего усвоения данной формулы и умение применить её к решению тригонометрического уравнения.
Учитель: рассмотрим решение следующего уравнения cos 3х·cos5х - sin3х· sin5х = 0
( к доске вызывается по желанию ученик, который решает и комментирует вслух все решение)
cos 8х = 0
8х = +,где
х = +,где
Учитель:Выберите из предложенных уравнений то уравнение, где будет применяться при решении формула косинус суммы или разности аргументов. Решите самостоятельно.
Решение заданий для самостоятельного выбора:
а) cos 4х·cosх - sin4х· sinх = -
cos5х = -
5х = +2,где
х = +,где
Учитель: Работа по самооценке. Покажите на диаграмме уровень вашего усвоения данной формулы и умение применить её к решению тригонометрического уравнения.
Учитель: рассмотрим решение уравнения = 1
( к доске вызывается по желанию ученик, который решает и комментирует вслух все решение)
Ответ: х = - ,где
Учитель: Выберите из предложенных уравнений то уравнение, где будет применяться при решении формула тангенса суммы или разности аргументов. Решите самостоятельно.
Решение заданий для самостоятельного выбора:
в)= -
tg(+ х) = -
+ х = -+n , где n
х = -+n , где n
Учитель:Работа по самооценке. Покажите на диаграмме уровень вашего усвоения данной формулы и умение применить её к решению тригонометрического уравнения.
Подведение итогов работы. Выставление оценок согласно критериям.
Ключ для выставления оценок:
16 -20 баллов – оценка «5»
13 -15 баллов – оценка «4»
6 -12 баллов – оценка «3»
менее 6 баллов – оценка «2»
5.Дополнительное задание:
Вычислите:
)а)
б))
Работа по слайду( повторить решение простейших тригонометрических уравнений, верны ли все решения?):
Работа с кроссвордом.
Итог урока. Выставление и комментирование оценок ученикам, работающим у доски. Озвучивание оценок, выставленных учениками по диаграмме оценивания.
Учитель: Однажды Сократ, окруженный учениками, поднимался к храму. Навстречу им спускалась известная афинская гетера. " Вот ты гордишься своими учениками, Сократ, - улыбнулась она ему, - но стоит мне только легонько поманить их, как они покинут тебя и пойдут вслед за мной". Мудрец же ответил так: " Да, но ты зовёшь их вниз, в теплую весёлую долину, а я веду их вверх, к неприступным, чистым вершинам".
Вот и мы с вами сегодня поднялись на одну ступеньку вверх, научившись применять формулы тригонометрии.
Домашнее задание: параграф 19-20, № № 20.11 б, 20.13 б, 20.14 б, 20.16 б
Автор(ы): Шаныгина Е. А.
Скачать: Алгебра 10кл - урок 2 (Шаныгина Е. А.).docxАвтор(ы): Аккелбекова Ж. А.
Скачать: Алгебра 10кл - Презентация к уроку (Аккелбекова Ж. А.).pptАвтор(ы): Шаныгина Е. А.
Скачать: Алгебра 10кл - Презентация к уроку 1 (Шаныгина Е. А.).ppt
