Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Название предмета: геометрия
Класс: 9
УМК: Геометрия 9 класс. Л. С. Атанасян. 2012г.
Уровень обучения: базовый
Тема урока: "Применение скалярного произведения векторов к решению задач"
Общее количество часов, отведенных на изучение темы: 1
Место урока в системе уроков по теме: 10
Тип урока: урок комплексного применения знаний
Цель урока: Выделить совместно с учениками три вида ключевых задач:
На нахождение длины отрезка;
На нахождение величины угла;
На доказательство перпендикулярности прямых и отрезков,
выделить обобщенные методы решения задач.
Задачи
- обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы "Скалярное произведение векторов". Создать условия контроля (самоконтроля) усвоения знаний и умений.
- способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.
- побуждать учащихся к преодолению трудностей, к самоконтролю, взаимоконтролю в процессе умственной деятельности. Воспитывать познавательную активность, самостоятельность, стремление расширять свой кругозор.
Планируемые результаты
Предметные: овладение навыками решение задач: на нахождение длины отрезка; на нахождение величины угла; на доказательство перпендикулярности прямых и отрезков, выделять обобщенные методы решения задач.
Метапредметные: умение применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию; осуществлять контроль по результату и по способу действия; организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.
Личностные: формирование ответственного отношения к учению, готовности и способности обучающихся к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению; формирование коммуникативной компетентности в общении и сотрудничестве со сверстниками; умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры.
Техническое обеспечение урока: экран, компьютер, мультимедийная аппаратура, презентация урока .
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: У учащихся на партах листы учета знаний, карточки.
Содержание урока:
I. Организационный момент
II. Мотивация учебной деятельности учащихся.
III. Актуализация знаний и способов действий
IV. Сообщение темы урока
V. Постановка цели и задач урока
VI. Изучения новых знаний и способов действий
VII. Закрепление
VIII. Информация о д/з, инструктаж по его выполнению
IX. Итог урока
X. Рефлексия
Ход урока
I. Организационный момент.
«Добрый день, друзья! Я хочу рассказать вам притчу. «Один молодой человек пришел к своему духовному учителю и спросил: Я каждый день, как вы советовали, произношу фразу: «Я принимаю радость в свою жизнь, но радости в моей жизни нет». Мудрец положил перед юношей ложку, кружку, свечку и попросил:
- Назови, что ты выбираешь из них.
– Ложку, - ответил юноша.
- Произнеси это 5 раз.
- Я выбираю ложку, - постепенно повторил юноша 5 раз.
- Вот видишь, - сказал мудрец, - повторяй хоть миллион раз в день, она не станет пищей. Надо… Что же надо? (Протянуть руку и взять ложку)
Вот и вам сегодня надо протянуть руку, взять свои знания и применить их на практике. Совершить действие. Желаю удачи.
Откройте тетради, запишите число, классная работа
II. Мотивация учебной деятельности учащихся.
Ребята, кто для вас в жизни является примером, почему?
Кем работают ваши родители?
Кем бы хотели стать вы?
Какие предметы вам для этого нужно более углубленно изучать?
Кому для профессиональной деятельности нужна геометрия?
Эпиграфом нашего урока являются слова:
«Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их»
Д.Пойа (слайд1)
Кто мне скажет, почему эпиграфом нашего урока я выбрала эти слова?
Работа с кроссвордом (слайды2-9)
В каких сферах можно встретить слово «вектор»?
1. Физика (слайд 10)
2. Строительство (слайд 11)
3. Химия (слайд 12)
4. Биология (слайд 13)
6. Медицина (слайд 14)
5. Окружающий мир (слайд 15)
6. Баннеры, вывески, знаки дорожного движения (слайд 16)
Из истории. (слайд 17)
Впервые понятие вектора появилось в работах немецкого математика 19 века Г. Грассмана и ирландского математика У. Гамильтона; затем его использовали в своих открытиях многие ученые. Современная символика для обозначения вектора была введена в 1853 году французским математиком О. Коши. Применение векторов играет важнейшую роль в современной математике, химии, биологии, экономике и в других науках
III. Актуализация знаний и способов действий
Задание 1.
Работа в парах (Приложение 1)
- Найдите угол между векторами a и b.
- Чему равен угол между векторами a и b?
- Чему равен угол между векторами a и c?
- В каком случае угол между векторами равен 900 градусам?
- Что называется скалярным произведением векторов?
- Запишите определение в символьной форме.
1)a · b =| a | ·| b | · cos( a ^ b )
2) a =0 или b=0, то a · b=0
- Если векторы перпендикулярны, то чему равно их скалярное произведение?
- Чему равно скалярное произведение векторов, если угол между ними равен нулю?
- Чему равен скалярный квадрат вектора а ?
- Давайте вспомним свойства скалярного произведения.
(Взаимопроверка) Лист самооценки
Какими задачами мы закончили изучение темы «Векторы» ?
- Какие виды аффинных задач вы знаете?
- С помощью каких действий над векторами, мы решаем аффинные задачи?
- Выделяют ещё одну группу задач, решаемых векторным методом - это метрические задачи. Какое новое действие вы изучили над векторами?
- Давайте заполним таблицу - и посмотрим, какие виды метрических задач мы можем с вами выделить.
(Приложение 2)
Классификация задач, решаемых векторным методом.
Аффинные:
- доказательство параллельности прямых и отрезков;
- доказательство деления отрезка в данном отношении;
- доказательство принадлежности трёх точек одной прямой.
Метрические:
- нахождение длины отрезка;
- вычисление величины угла;
- доказательство перпендикулярности прямых и отрезков.
- По-видимому, существуют три типа метрических задач
IV.Сообщение темы урока
Кто может сформулировать тему нашего урока?
Тема нашего урока : «Применение скалярного произведения векторов к решению задач.» (слайд 18)
V. Постановка цели и задач урока
Какие цели мы себе поставим на наш урок?
Целью нашего урока является выделить три ключевые задачи:
нахождение длины отрезка;
вычисление величины угла;
доказательство перпендикулярности прямых и отрезков,
и выделение обобщенных методов решения задач.
VI. Изучения новых знаний и способов действий
Задача 1
Ученики читают формулировку задачи, которая выписана на доске: Вычислить длину медианы CD треугольника ABC, если AC=1, BC=2, угол C равен 120 градусам.
-Что нужно найти ?
-К какому типу наших задач она относится?
- Выделим условия задачи и сделаем рисунок.
- Давайте введем в рассмотрение основные векторы. Какие векторы нам лучше всего рассмотреть при решении данной задачи?
- Выбираем векторы CA и CB.
- Почему?
- Так как они отложены от одной точки.
- Какими являются векторы CA и CB?
- Сонаправленными и неколлинеарными.
- Почему берём неколлинеарные векторы?
- Так как можно через них выразить другие векторы.
- Длину какого вектора нам надо найти?
- Длину CD.
- Как можно его выразить через другие векторы?
- Основываясь на известный факт, что если точка D является серединой отрезка AB, а точка C – произвольной точкой плоскости, значит вектор CD=1/2(CA+CB).
- Как можно найти длину вектора CD?
- Мы знаем, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. Надо найти скалярный квадрат CD.
СD² =1/4(CA+CB)² =1/4(CA²+2CA·CB+CB²)
- Подставим в это равенство числовые данные и заметим, что CA·CB – это скалярное произведение векторов.
|CD|²=1/4(1²+2·1·2·cos120+2²)=1/4(1+4·cos(90+30)+4)=1/4-sin30+1=1/4-1/2+1=3/4
-Для нахождения длины, вычислим квадратный корень из скалярного квадрата.
|CD|=√|CD|²=√3/4=√3/2
Запись на доске:
1 СA, CB – неколлинеарные векторы, СA≠0, CB≠0
2 CD=1/2(CA+CB)
3 СD² =1/4(CA+CB)² =1/4(CA²+2CA·CB+CB²)
|D|²=1/4(1²+2·1·2·cos120+2²)=1/4(1+4·cos(90+30)+4)=1/4-sin30+1=1/4-1/2+1=3/4
4 |CD|=√|CD|²=√3/4=√3/2
- Давайте выделим этапы решения задачи.
- Давайте выделим схему решения задач на нахождение длины отрезка. (ученики записывают ее в тетради после обсуждения).
1. Выбрать два неколлинеарных вектора, у которых известны длины и величина угла между ними;
2. Разложить по ним вектор, длина которого вычисляется;
3. Найти скалярный квадрат этого вектора, используя формулу а =|а|
4. Вычислить квадратный корень из скалярного квадрата.
- Итак, мы выделили обобщенный прием, который применяется к решению задач на нахождение длины отрезка.
Гимнастика для глаз (слайды19-24)
Задача 2
№ 1055
-Прочитайте задачу.
-К какому типу наших задач она относится?
-Рассмотрим решение задачи в учебнике
- Давайте выделим этапы решения задачи.
Учитель совместно с учениками выделяет этапы решения данной задачи
Выбрать векторы, задающие искомый угол, разложить их по базисным векторам;
Выбрать два неколлинеарных вектора, у которых известны отношение длин и величина угла между ними;
Вычислить угол, используя определение скалярного произведения.
cos( a^b )=a·b/(|a|·|b|)
- Мы выделили обобщенный прием, который применяется при решении задач на нахождение величины угла.
Задача 3
Формулировка задачи выписана на доске: № 1056 (Работа в группах)
Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
У вас на карточках общий метод решения задач на доказательство перпендикулярности прямых и отрезков, пользуясь давайте решим эту задачу.
Общий метод решения задач на доказательство перпендикулярности прямых и отрезков.
Выбрать два неколлинеарных вектора, у которых известны отношение длины;
1. Разложить по ним векторы, длина которых вычисляется;
2. Найти скалярное произведение векторов и убедиться, что оно равно нулю.
(самопроверка, представитель одной группы показывает решение)
Лист самооценки
VII Закрепление
Самостоятельная работа (разноуровневая) Приложение 3
1 уровень ("3")
1. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О, AC=6, AB= 3.
Найдите: а) AC* AB; б)АО*АD; в) АD*DС.
2. Найдите скалярное произведение векторов:
а) а 2; -3 и b -2 ;
б) а) i и с -4 ; 0
2 уровень ("4")
1. В треугольнике MNK MN=MK, NE- биссектриса, F€ NE, NE= 5, MN= 10.
Найдите: а) MN*MK; б) MK*FN + KP ; в) NE* KN.
2. Найдите скалярное произведение векторов:
а)a + b и a - b если a 3; -4 b -2;0
б) i - j и 2 i + 3 j, если i и j -координатные векторы.
3 уровень ("5")
1. В трапеции ABCD угол А= 90˚, AD и BC- основания, BC=6, AD= 10, угол CАD=30˚
Найдите: а) АВ* ВС; б) АС*АD; в) ВС*DА.
2. При каком значении х векторы АВ и АС перпендикулярны, если известно, что А(х;3), В(1;1), С(-2;4)?
(Взаимопроверка, ответы записаны на доске) Лист самооценки
VIII Информация о д/з, инструктаж по его выполнению.
(слайд 25)
IХ. Итог урока.
- Итак, какие задачи мы рассмотрели на сегодняшнем уроке ?
-Какие типы задач в них можно выделить ?
на нахождение длины отрезка;
на нахождение величины угла;
на доказательство перпендикулярности прямых и отрезков.
- Данные задачи являются ключевыми, так как они иллюстрируют особенность решения задач данной группы. Мы выдели обобщенные способы решения данных задач, которые будут использоваться при решении других задач.
Выставление оценок (Лист самооценки, находим среднее арифметическое)
Х.Рефлексия.
Моё настроение:
Ценности для вас данной работы:
Самое важное – 1 Важное – 2 Не очень важное – 3 Совсем не важное – 4
Получение для вас новой информации
Процесс личной деятельности
Полученный результат
Деловое общение во время работы
Возможность проявить себя и услышать слова одобрения
Получение оценки
Наш урок я бы хотела закончить словами: «С малой удачи начинается большой успех»
Автор(ы): Филатова Л. М.
Скачать: Геометрия 9кл - конспект.docxАвтор(ы): Филатова Л. М.
Скачать: Геометрия 9кл - презентация.pptxАвтор(ы): Филатова Л. М.
Скачать: Геометрия 9кл - приложение.docx
