Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Информационная карта автора методической
разработки
Туребекова Елена Васильевна
Населённый пункт
Место работы (полное наименование образовательной организации в соответствии с её уставом)
МБОУ «Уральская средняя общеобразовательная школа Кувандыкского городского округа Оренбургской области»
Адрес школьного сайта в Интернете
WWW.ursh.56.ru
Занимаемая должность (наименование в соответствии с записью в трудовой книжке)
Учитель математики и физики
Адрес личного Интернет – ресурса
нет
Рабочий адрес с индексом
462233,Оренбургская область, Кувандыкский район, п.Урал, пер.Школьный,дом 2
Домашний адрес с индексом
462233,Оренбургская область, Кувандыкский район, п.Урал, ул.Речная д.8кв 2
Рабочий телефон с междугородним кодом
8(35361)65-2-80
Домашний телефон с междугородним кодом
нет
Мобильный телефон с междугородним кодом
89096034652
Факс с междугородним кодом
нет
Рабочая электронная почта
uralshool.pochta.ru
Личная электронная почта
нет
Педагогическое кредо
Учитель должен любить учеников, любить свой предмет и лишь, потом учить.
Даю согласие на обработку персональных данных и использование представленных
материалов в целях развития образования с возможностью редакторской обработки.
Правильность сведений, предоставленных в информационнойкарте,подтверждаю:
___________________ (Туребекова Е.В.)
«19 » сентября 2016 г Ф.И. участника
Геометрия 9 класс
УМК: Геометрия 7-9: учеб. дляобщеобразоват. учреждений/ Атанасян и др.- М.: просвещение, 2013г
Уровень обучения базовый
Урок№22
ТЕМА: Формулы приведения. Формулы вычисления координат точки
Общее количество часов, отведённое на изучение темы-3
Место урока в системе уроков по теме-2
ТИП УРОКА: — комбинированный урок
ЦЕЛИ УРОКА:
1.Научить применять формулы приведения для нахождения синусов, косинусов и тангенсов углов больше 90 градусов;
2.Развивать внимание, мышление, память;
3.Воспитывать чувство ответственности, внимательного отношения к окружающим;
4.Формировать навыки умственного труда.
РЕШАЕМЫЕ ЗАДАЧИ: как вычислить тригонометрические функции тупых углов, зная тригонометрические функции острых углов; как определять координаты точки на координатной плоскости
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:
1. предметные
Научиться выводить формулы для вычисления координат точки и формулы приведения, вычислять координаты точки по формулам, вычислять значения тригонометрических функций тупых углов.
2. коммуникативные:
Выявлять проблемы владеть устной и письменной речью
3. регулятивные:
Осознавать свою способность к преодолению препятствий и самокоррекции.
4. личностные:
Формировать положительное отношение к учебе, желание приобретать новые знания, и умения.
Оборудование:
Плакат на доске:
Формулы приведения:
sin(90° - )=cos
cos(90° - )= sin
sin(180° - )= sin
cos(180° - )= - cos
СОДЕРЖАНИЕ УРОКА:
1.Организационный момент;
2. Актуализация знаний учащихся;
3.Изучение нового материала;
4.Физминутка;
5. Закрепление нового материала;
6.Итог урока;
7.Домашнее задание.
Ход урока
1.Организационный момент.
а)Проверкад.з.
2. Актуализация знаний учащихся.
Теоретический опрос
а )Начертите оси координат и постройте единичную полуокружность;
б)Объяснитечто такое синус и косинус угла α на промежутке от 0 до 180 градусов;
в)Что называется тангенсом угла α? Для какого значения α тангенс не определён и почему?
Математический диктант (10–12 мин). С дальнейшей самопроверкой.
1. Найдите синус острого угла, еслиего косинус равен
2. Найти косинус острого угла, если его синус равен.
3. Найти тангенс острого угла, если его синус равен .
4. Синус острого угла прямоугольного треугольника равен .чему равен косинус второго острого угла этого треугольника?
3. Изучение нового материала.
1. Обсудить с учащимися задачу № 1011.
2. Решить задачу:
Используя единичную полуокружность, постройте угол: а) косинус которого равен ;; 0; –1; б) синус которого равен ; ; 1.
Для решения этой задачи полезно заготовить на доске несколько полуокружностей.
3. Записать формулы приведения:
На этом уроке расскажу вам о формулах приведения. Относятся к разделу «тригонометрия». Суть их заключается в приведении тригонометрических функций углов к более «простому» виду. О важности их знания рассказать можно много. Этих формул 32 штуки!!! Сегодня мы рассмотрим только 4.
sin (90° – α) = cosα; cos (90° – α) = sinα при 0° ≤ α ≤ 90°.
sin (180° – α) = sinα; cos (180° – α) = – cosα при 0° ≤ α ≤ 180°;
В курсе алгебры есть множество задач, при решении которых, без знания формул приведения просто не обойтись.
Так что же к чему приводится и как оговоренные формулы упрощают для нас решение задач?Например, вам нужно определить синус, косинус 150 градусов:
sin 210° = sin (180° +30°) = – sin30° = -1/2;
sin 150° = sin (180° – 30°) = sin 30° = 1/2;
cos 150° = cos (180° – 30°) = –cos 30° =-/2
4. Объяснить учащимся содержание пункта 95 «Формулы для вычисления координат точки».
Попробуем выразить координаты точки А через длину отрезка ОА и угол α между лучом ОА и положительным направлением оси Ох. На рисунке добавим единичную полуокружность, и отметим на ней точку пересечения с лучом ОА. Так как мы рассматриваем только положительные значения ординаты, то угол а будет всегда принадлежать промежутку от 0 градусов до 180 градусов.
Нам уже известно, что для любого угла а принадлежащего промежутку от 0 до 180 градусов синусом угла α называется ордината у точки М, а косинусом угла α называется абсцисса х точки М.
Тогда имеем:
Sinα = у,
cosα = х.
По определению вектора, координаты вектора ОМ будут равны координатам точки М, то есть вектор ОМ = {cos α; y = sin α}. По определению вектора, вектор ОА будет иметь такие же координаты, как и сама точка А, то есть вектор ОА = {х;у}. С другой стороны, вектор ОА будет равен произведению длинны отрезка ОА на вектор ОМ.
Вектор ОА = ОА*(вектор ОМ). Следовательно, координаты точки можно выразить с помощью следующих формул:
х = ОА*cos α,
y = OA*sin α.
4. Физминутка
Все ребята дружно встали (Выпрямиться.)
И на месте зашагали. (Ходьба на месте.)
На носочках потянулись, (Руки поднять вверх.)
А теперь назад прогнулись. (Прогнуться назад, руки положить за голову.)
Наконец- то мы проснулись.
Как пружинки, мы присели (Присесть.)
И тихонько разом сели. (Выпрямиться и сесть.)
Ребята, посмотрите на меня, друг на друга, улыбнитесь, пожелайте друг другу успеха на уроке.
5. Закрепление изученного материала (решение задач).
1. Составить таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов 0°, 30°,45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, используя формулы приведения.
1 группа 0°, 60°, 135
2 группа 30°, 90°, 150°
3 группа 45°, 120°, 180°
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
sin
cos
tg
ctg
2.Угол между лучом ОА, пересекающим единичную полуокружность, и положительным направлением оси Ох равен α. Найдите координаты точки А, если а) ОА = 3, α = 45˚ б) ОА = 1.5, α = 90˚ в)ОА = 2, α = 30˚
Решение:
Воспользуемся формулами для вычисления координат точки, которые мы получили выше:
х = ОА*cos α,
y = OA*sin α.
Где х и у будут искомыми координатами точки А.
Теперь будем производить вычисления:
а) ОА = 3, α = 45˚, sinα = √2/2, cosα = √2/2;
x = 3*√2/2 = (3*√2)/2, y = 3*√2/2 = (3*√2)/2.
A((3*√2)/2; (3*√2)/2).
Ответ: A((3*√2)/2; (3*√2)/2).
б) ОА = 1.5, α = 90˚, sin 90˚= 1, cos 90˚= 0;
x = 1.5*0 = 0, y = 1.5*1 = 1.5;
A(0;1.5).
Ответ: A(0;1.5).
в) ОА = 2, α = 30˚, sin 30˚=1/2, cos 30˚= √3/2;
x = 2*√3/2 = √3, y = 2*1/2=1;
A(√3;1).
Ответб A(√3;1).
3. Решить задачу № 1016 на доске и в тетрадях.
Решение
sin 120° = sin (180° – 60°) = sin 60° = ;
cos 120° = cos (180° – 60°) = –cos 60° = ;
tg 120° = ;
sin 135° = sin (180° – 45°) = sin 45° = ;
cos 135° = cos (180° – 45°) = –cos 45° = ;
tg 135° = = –1.
4. Решить задачу № 1018 (в).
Решение
ОА = 5, α = 150°; точка А (х; у) имеет координаты
x = OAcosα = 5 ∙ cos 150° = 5 ∙ cos (180° – 30°) = –5 ∙ cos 30° =;
y = OA sin α = 5 ∙ sin 150° = 5 ∙ sin (180° – 30°) = 5 ∙ sin 30° = = 2,5.
A.
Ответ: x= ;y = 2,5.
3. Решить задачу № 1019 (в).
Решение
A (; 1); x= ,y = 1.
Решим сначала задачу в общем виде. Если известны координаты х и у точки А и х 0, то из равенств у = ОА ∙ sinα, х = ОА ∙ cosα, разделив первое из них почленно на второе, получаем , то есть = tgα, а из этого равенства можно с помощью таблиц или микрокалькулятора найти значение α.
x = ОАcosα, y = OA sinα
= ОАcosα, 1 = ОАcosα,
тогда tgα= ; tg 30° = , а так как –< 0, то угол αрасположен во II четверти, значит, α– тупойугол.
Находим его: α = 180° – 30° = 150°.
Ответ: 150°.
6.Итог урока.
1. Физминутка.
Скоро кончится урок
Прозвенит сейчас звонок.
Все ребята дружно встали
Всем успеха пожелали
Распрямились, потянулись.
И друг другу улыбнулись.
7.Задание на дом: изучить материал пунктов 93–95; повторить материал пунктов 52, 66 и 67; решить задачи №№ 1017 (в), 1018 (б), 1019 (г).
Геометрия 9 класс
УМК: Геометрия 7-9: учеб. дляобщеобразоват. учреждений/ Атанасян и др.- М.: просвещение, 2013г
Уровень обучения базовый
Урок №23
Тема: Решение задач.
Общее количество часов, отведённое на изучение темы-3
Место урока в системе уроков по теме-3
Тип урока: — урок обобщения и систематизации знаний
Цели урока:
Образовательная цель:
1. научить применять формулы приведения для нахождения синусов, косинусов и тангенсов углов больших 900;
2. повторить нахождение синусов, косинусов и тангенсов острых углов по таблице Брадиса, а также их значения для углов 00, 300, 450, 600, 900.
Развивающая цель:
1. развитие внимания, мышления, памяти и воображения;
2. работа над математической речью.
Воспитательная цель:
1. развитие позитивного восприятия материала каждым учеником;
2. воспитание чувства ответственности, сопереживания, внимательного и терпеливого отношения к окружающим;
3. умение сдерживать отрицательные эмоции и высказывать их тактично;
4. формирование навыков умственного труда – поиск рационального пути выполнения задания.
Оборудование: таблицы Бредиса, надписи с заданиями и ответами, таблица с единичными окружностями ( у каждого ученика)
План урока:
1. Организационный момент;
2. Фронтальный опрос;
3. Актуализация знаний, умений, навыков:
a. Работа в парах;
b. Лошадиное правило;
c. Работа в группах;
d. чертеж – шпаргалка;
4. Закрепление формул приведения на примерах
5. Обучающая работа с взаимопроверкой
а) Самостоятельная работа;
б) Работа у доски
6.Итог урока
7.Домашнее задание
Ход урока
1. I Организационный момент;
2. Фронтальный опрос:
а) Объясните, что такое синус и косинус угла α из промежутка от 0 до 180 градусов;
б) Что называется тангенсом углаα? Для какого значения α тангенс не определён и почему ?;
в) Напишите формулы приведения;
г) Выведите формулы, выражающие координаты точки А с неотрицательной ординатой через длину отрезка ОА и угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох.
д) Самостоятельная работа с проверкой ответов (задание на доске)
Используя таблицу Брадиса (стр. 52), найти:
sin 20°,Ответ (0,3420)
cos 70°,Ответ (0,3420)
sin 30°,Ответ (0,5000)
cos 60°.Ответ (0,5000)
б) как можно найти по-другому:
sin 30°,Ответ (1/2)
cos 60°.Ответ (1/2)
Делают выводы и записывают в тетрадях.
Для нахождения синусов, косинусов, тангенсов углов 00, 300, 450, 600, 900 можно воспользоваться таблицей, неплохо было бы ее запомнить.
в) найти: sin 120°, cos 210°.
Вывод: Вот для этого случая и нужны формулы приведения. Вспомним их.
На прошлом уроке мы познакомились с формулами приведения. Сегодня наша цель – научиться их применять. Откроем тетради, запишем число и тему урока.
3. Актуализация знаний, умений, навыков:
Вспомним звучание формул ( работа в парах)
Чтобы найти синус, косинус, тангенс углов больших 900, надо
1) заменить этот угол суммой
90° + α; 180° + α; 270° + α; 360° + α…
(или разностью 180° - α; 270° - α; 360° - α…).
2) определить какой знак «+» или «-» имеет искомое значение в зависимости от нахождения в четверти.
3) изменить sinα на cosα, если есть 90° или 270° ,cosα на sinα, tgα на сtgα не менять функцию, если есть 180° или 360°( вспоминаем правило «лошади»).
«Лошадиное» правило:
Задаем себе вопрос: «Меняется ли название функции на кофункцию?» (то есть синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс и котангенс на тангенс).
Чтобы ответить на этот вопрос нужно подвигать головой вдоль оси, на которой располагается ключевая точка. Ключевые точки всегда располагаются здесь (см. рис.):
Например, в формулеcos (10π + α) – ключевая точка10π
Так вот если вы мотаете головой вдоль горизонтальной прямой, потому что ключевая точка располагается на ней, то вы, как бы, отвечаете «нет» на вопрос «Меняется ли название функции на кофункцию?»
Если вы киваете головой вдоль вертикальной прямой, потому что ключевая точка располагается на ней, то вы отвечаете «да» на вопрос «Меняется ли название функции на кофункцию?».
2. Ставим справа, на выходе, тот знак, какой несет в себе левая, исходная, часть.
Данное правило еще называется «лошадиным».
1.Работа в группах: Найти :sin 120°,cos 210° ( лучше сориентироваться поможет рисунок-шпаргалка)
Вопросы к классу:
1. Почему окружность называется единичной?
2. Назвать координаты точек пересечения окружности с осями координат.
3. Какие знаки имеют абсциссы и ординаты всех точек, лежащих в первой четверти, второй, третьей, четвертой?
4. Какое местоположение точки считается начальным?
5. Какой угол считаем положительным, а какой отрицательным?
6. С какой координатой точки совпадает sinα, с какой – cosα?
Вернемся к заданию:
I вариант решения: sin 120° = sin (90° + 30°) = +cos 30° = /2
II вариант решения: sin 120° = sin (180°- 60°) = +sin 60° = /2
I вариант решения: cos 210° = cos (180° + 30°) = - cos 30° = - /2
II вариант решения: cos 210° = cos (270° - 60°) = - sin 60° = - /2
2.Работа с классом: №1017(а); №1019(а,б)
4. Закрепление формул приведения на примерах
а) sin 110° = sin (90°+ 20°) = cos 20° ≈ 0,9397
или sin 110° = sin (180° - 70°) = sin 70°≈ 0,9397
б) cos 200° = cos (180° + 20°) = - cos 20°≈ - 0,9397
или cos 200° = cos (270° - 70°) = - sin 70° ≈ - 0,9397
5.Обучающая работа с взаимопроверкой
а)Самостоятельная работа:
cos 120° = cos (90° + 30°) = - sin 30° = - ½
sin 120° = sin (90° + 30°) = cos 30° = /2
tg 120° = tg (90° + 30°) = - ctg 30° = -
cos 120° = cos (180° - 60°) = - cos 60° = - 1/2
sin 120° = sin (180° - 60°) = sin 60° = /2
tg 120° = tg (180° - 60°) = - tg 60° = -
cos 135° = cos (90° + 45°) = - sin 45° = - /2
sin 135° = sin (90° + 45°) = cos 45° = /2
tg 135° = tg (90° + 45°) = - ctg 45° = - 1
cos 135° = cos (180° - 45°) = - cos 45° = - /2
sin 135° = sin (180° - 45°) = sin 45° = /2
tg 135° = tg (180° - 45°) = - tg 45° = - 1
б) Работа у доски:
cos 150° = cos (90° + 60°) = - sin 60° = - /2
sin 150° = sin (90° + 60°) = cos 60° = 1/2
tg 150° = tg (90° + 60°) = - ctg 60° = - /3
sin 240° = sin (180° + 60°) = - sin 60° = - /2
cos (-240°) = cos (-270° + 30°) = - sin 30° = - 1/2
sin 330° = sin (270° + 60°) = - cos 60° = - 1/2
cos (-330°) = cos (-360° + 30°) = cos 30° = /2
6. Итог урока
Время урока подходит к концу. Ребята, давайте вспомним, какова была цель нашего занятия. Как вы думаете, мы достигли этой цели? На следующих уроках нам потребуется умение находить синусы, косинусы, тангенсы углов больших 900, не только в геометрии, но и на уроках алгебры и физики.
7.Домашняя работа: изучить материал пунктов 93–95; повторить материал пунктов 52, 66 и 67; решить задачи №№ 1017 (б), 1018 (в), 1019 (в).
Автор(ы):
Скачать: Геометрия 9кл - конспект.doc
