Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Название предмета Геометрия
Класс 9
УМК (название учебника, автор, год издания) Л.С. Атанасян В.Ф. Бутузов Геометрия 7-9 кл
М. Просвещение.2014
Уровень обучения – базовый
Тема уроков: Окружность, описанная около правильного многоугольника. Окружность, вписанная в правильный многоугольник. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности. Решение задач на вычисление площади, сторон правильного многоугольника и радиусов вписанной и описанной окружности. Построение правильных многоугольников
Общее количество часов, отведенное на изучение темы 3ч
Место урока в системе уроков по теме второй - четвертый уроки в теме «Правильные многоугольники»
Цель урока: повторить теорему об окружности, вписанной в треугольник; повторить свойства касательной к окружности, сформулировать и доказать теоремы об окружностях вписанной и описанной в правильный многоугольник; выработать навыки решения задач. Выработать у обучающихся умение выводить формулы, которые связывают между собой сторону правильного многоугольника и радиусы вписанной и описанной окружности. Выработать навыки применять полученные знания при решении задач. Рассмотреть задачи на построение правильных многоугольников.
Задачи
Систематизация полученных ранее знаний учащихся по решению задач по теме Правильные многоугольники, вписанные и описанные окружности в правильные многоугольники.
Развитие умений планировать ход решения задачи;
Воспитывать умение доводить решение задачи до логического завершения.
Планируемые результаты в рамках данного урока должны научиться решать задачи: окружности, вписанные и описанные в треугольники, четырехугольники, многоугольники.
Техническое обеспечение урока
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на интернет-ресурсы) http://school-collection.iv-edu.ru/catalog/rubr/d5835017-65f1-4d38-9525-5e94f089e875/109935/?
http://school-collection.iv-edu.ru/catalog/rubr/d5835017-65f1-4d38-9525-5e94f089e875/109936/
http://cor.edu.27.ru/catalog/rubr/8f5d7210-86a6-11da-a72b-0800200c9a66/19069/
G79_9_12-01-109-1091]_[QS_OR].html
G79_9_12-01-109-1092]_[QS_OR].html
G79_9_12-01-109-1094]_[QS_OR].html
G79_9_12-01-109-1093]_[QS_OR].html
Содержание урока №1
Ход урока
1. Оргмомент
2. Повторение материала геометрии 8 класса:
А) теорема о окружности, вписанной в треугольник, свойство касательной к окружности.
Б) Какая окружность называется описанной, вписанной в многоугольник;
В) Можно ли в любой треугольник, четырехугольник вписать или описать окружность?
Г) устно решить задачу: Все углы выпуклого пятиугольника равны между собой. Найдите величину каждого угла.
3. Мотивация учебной деятельности:
Во многих задачах курса геометрии, в том числе и в составе ОГЭ и ЕГЭ имеется много заданий связанных с понятием окружности вписанной в правильный многоугольник и описанной около него. Мы часто рассматриваем правильный треугольник, квадрат или шестиугольник, именно с ними чаще всего связаны условия заданий на экзамене. В ходе решения таких задач возникает необходимость выразить , например сторону правильного треугольника через радиус вписанной или описанной окружности; или сторону правильного шестиугольника через радиус вписанной или описанной окружности и т.д. Таких задач очень много и на многих сайтах, рассматриваются задачи, в которых нет подробного решения, даются просто готовые формулы и соответственно возникает вопросы: как? почему? И вообще, откуда это взялось?
Поэтому, мы поставим перед собой задачу вывести: как получаются эти формулы и в будущем при решении задач вы могли бы ими пользоваться. Но прежде чем приступить к выводу формул нам понадобятся дополнительно некоторые знания.
4.Объяснение нового материала.
Сформулировать определение окружности, вписанной в многоугольник, описанной в многоугольник.
На доске доказать теоремы о окружности о окружности вписанной в правильный многоугольник и окружности, описанной около многоугольника.( Хотя можно первую теорему рассмотреть в классе, а доказательство второй, формулировку следствий можно задать для изучения дома)
Если позволяет время записать в тетрадь правила для нахождения для данного правильного многоугольника центров вписанной и описанной окружностей, а также их радиусов.
Обязательно обратить внимание учащихся на то, что центр правильного многоугольника совпадает с центром вписанной и описанной около него окружности.
5. Закрепление изученного материала.
Решение задач у доски:
1. Найти радиусы вписанной и описанной окружности, если сторона треугольника равна 14.
2. Задача № 1081(б,г), 1083(а,б), 1084(г.е)
6. Итоги урока.
Какие вопросы мы сегодня повторили из курса геометрии?
Какой многоугольник называется правильным?
7. Рефлексия.
8. Домашнее задание.§106-107 №1085
Содержание урока №2
Ход урока
1. Оргмомент
2. Изучение нового материала.
Тема нашего урока посвящена выводу формул для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности. И для того, чтобы убедиться в том, что этот материал нам необходим, рассмотрим задачу: Найдите площадь круга вписанного в равносторонний треугольник, если длина стороны этого треугольника равна 8√3.
В
8√3
А С
И попытаемся установить связь между длиной стороны правильного треугольника и радиусом вписанной окружности.
На доске приготовлен рисунок. Если класс слабый, полезно вместе с обучающимися, вывести все формулы. Если класс подготовленный, можно эту работу предложить в виде самостоятельной. Таким образом, на доске и в тетрадях учеников появляются формулы:
S=1/2Рr(1), где S - площадь правильного n-угольник, аn – сторона, Р - его периметр R и r – радиусы соответственно описанной и вписанной окружности.
Так же пользуясь рисунком ,вывести формулы аn =2R sin180/n(2), r= R cos180/n(3).
И уже используя готовые формулы, полагая в формуле (2) n=3,4,6 получим выражения для сторон правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника:
а3 =2Rsin 180/3=2Rsin600= 2R*√3/2=R√3;(4)
a4=2Rsin 180/4=2R sin450 =2R√2/2=R√2;(5)
a6=2Rsin180/6=2Rsin300=2R*1/2=R(6).
Можно предложить обучающимся составить таблицу с выведенными формулами, примерного образца
N
a
R
r
S
S
3
R√3
2r√3
2r
R/2
3R2√3/4
3r2√3
4
R√2
2r
r√2
R√2/2
2R2
4r2
6
R
2r√3/3
2r√3/3
R√3/2
3R2√3/2
2r2√3
n
an= 2Rsin180/n=2rtg180/n
R=Rcos180/n
S=1/2Pr
Теперь можно вернуться к задаче, с которой начали урок. Зная, что a3= R√3, можно найти радиус описанной окружности: R= a3/3, R=8√3/3=8. Используя формулу (3), найдем радиус вписанной окружности(круга): ), r= 8 cos180/6=8* cos300=1/2*8=4. Теперь можем найти площадь круга S, S=42, S=16π.
Такого рода задачи встречаются на ОГЭ, в блоке геометрия под номером 11.
Рассмотрим еще одну задачу из ОГЭ, блока геометрия №11.
Найти площадь круга вписанного в квадрат , сторона которого 16.
В С
16
А D
Зная, что a4= R√2(формула5), найдем радиус описанной окружности: R=a4/√2, R=16/√2/
Зная связь, между радиусом вписанной и описанной окружности ( формула 3), найдем радиус вписанной окружности r=Rcos180/4=16/√2*cos450=16/√2*√2/2=8. Зная, что площадь круга S=πr2, найдем площадь круга вписанного в квадрат S=π*82=64π.
Хотя , можно провести первичное фронтальное закрепление задач типа: Правильный многоугольник вписан в окружность радиуса 1м. Вычислите сторону, периметр, площадь многоугольника и радиуса вписанной окружности, если число сторон равно3,4,5.Для решения такой задачи можно приготовить таблицу, которую обучающиеся заполнят в ходе решения:
n
an
P
S
r
3
4
5
На этом же уроке, можно предложить обучающимся познакомиться с п. 109 и построить в тетради правильный 6-угольник, опираясь на формулу(6), сторона шестиугольника равна радиусу описанной окружности, показать, как из него построить правильный треугольник, двенадцати угольник.
Итоги урока.
Домашнее задание: пп.108,109. Таблицу значений построить и заполнить, на отдельной картоне. Задача №1088
Содержание урока №3
1. Оргмомент
2. Проверка домашнего задания, разбор вопросов , которые вызвали затруднения. К доске вызвать 4 ученика, каждому своя строка из номера 1087(задания, аналогичное домашнему).
Разобрать на доске и в тетради №1089
Дано:
P =18см
Найти: а4, вписанного в ту же окружность.
Решение: Вспомним, какой треугольник называется правильным. Зная периметр треугольника можно найти его строну Р3=4а, а3=Р/3, а3=18/3=6. Используя формулу(4), найдем радиус описанной окружности R=a3/√3.R=6/√3=2√3. Теперь используя формулу (5), найдем а4=R√2 получаем а4=2√3*√2=2√6. Ответ: 2√6
3. Целеполагание.
Понадобиться ли нам в жизни умение строить правильные многоугольники? Где и зачем могут понадобиться знания.( ответы учащихся- допустим хочется выполнить из плитки оригинальный потолок, паркет, лоскутное одеяло и т.д) Наша сегодняшняя задача- научиться строить правильные многоугольники.
4. Построение правильных многоугольников.
На прошлом уроке мы строили правильный шестиугольник, из него можно получить правильный треугольник, а так же двенадцатиугольник и т.д.
Сегодня мы поучимся строить квадрат, восьмиугольник. Для этого построим окружность с центром в точке О. Проведем через него два взаимно перпендикулярных диаметра.( напоминаем, что для построения перпендикулярных прямых совсем не обязателен транспортир, мы умеем строить взаимно перпендикулярные прямые с помощью циркуля и линейки). Осталось соединить последовательно точки пересечения перпендикулярных прямых и окружности, получиться правильный четырехугольник( квадрат). Можно предложить обучающимся подумать и предложить самим способ построения правильного восьмиугольника, напомнив о том, как на предыдущем уроке строили из шестиугольника- двенадцатиугольник.
5. Самостоятельная работа.
ВариантI
В правильный треугольник АВС с высотой ВD, равной 1,5 вписана окружность. Найдите радиус этой окружности
В
А С
Вариант II
В правильный треугольник с высотой с высотой ВD, равной 7,5 вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.
В
А С
6. Итоги урока. Сегодня мы рассмотрели построение правильных многоугольников, но не каждый многоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки.
7. Рефлексия.
8. Домашнее задание: I вариант на чертежных отдельных листах выполняет построение правильный треугольник, правильный шестиугольник, правильный двенадцатиугольник.
II вариант выполняет построение правильного четырехугольника, восьмиугольника, шестнадцатиугольника. Задача №1092.
Автор(ы):
Скачать: Геометрия 9кл - урок 33-35(Милевская Е.П.).docx Предмет: Геометрия
Класс: 9
УМК: Л.С. Атанасян и др. Геометрия: 7 – 9кл. –М. :Просвещение, 2012.
Уровень обучения: базовый
Тема урока: Правильный многоугольник
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 4
Место урока в системе уроков по теме: 1
Оборудование: учебник, доска, интерактивная доска, учебные материалы, дополнительные сведения, презентация.
Цели урока:
образовательная: повторить формулы суммы углов выпуклого многоугольника, свойств биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку, теорем об окружности, вписанной и описанной около треугольника, познакомить учащихся с понятием и видами правильных многоугольников, с некоторыми их свойствами; научить пользоваться формулой для вычисления угла правильного многоугольника
- развивающая: развитие познавательной активности, пространственного воображения, умение выбирать правильное решение, лаконично излагать свои мысли, анализировать и делать выводы.
- воспитательная: воспитание интереса к предмету, умение работать в коллективе, культуре общения.
Ход урок:
1. Организационный момент
Девиз урока:
Три пути ведут к знанию:
Путь размышления – это путь самый благородный;
Путь подражания – это путь самый легкий;
Путь опыта – это путь самый горький.
Китайский философ и мудрец Конфуций.
2. Мотивация урока.
Дорогие ребята!
Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. Очень хочу, чтобы те, кто еще равнодушен к царице всех наук, с нашего урока ушел с глубоким убеждением, что геометрия – интересный и нужный предмет.
На какие вопросы мы должны ответить на этом уроке:
Узнать, какой многоугольник называется правильным?
Каковы элементы правильного многоугольника, можно ли их вычислить?
Какими свойствами обладает правильный многоугольник?
Научиться применять полученные знания к решению задач
3. Актуализация опорных знаний.
Решение задач:
1.ВЕ – биссектриса угла АВС, точка Е удалена от стороны ВС на расстояние, равное 5 см. Найдите расстояние от точки Е до стороны АВ. Ответ: 5см.
Повторили: Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.
2.Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника АВС пересекает сторону АС в точке D. Найдите АD и СD, если BD = 5 см, АС – 8,5 см.
Ответ: СD = 5 см, АD = 3,5 см
Повторили: Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
3.Точка касания окружности вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника. Ответ: 20 см.
Повторили: Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и
составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр
окружности.
Фронтальный опрос:
Какие геометрические фигуры нами уже изучены?
Каковы их элементы?
Какая фигура называется многоугольником?
Виды многоугольником
Что такое периметр многоугольника?
Чему равна сумма внутренних углов многоугольника?
4. Изучение нового материала.
Среди множества различных геометрических фигур на плоскости выделяется большое семейство МНОГОУГОЛЬНИКОВ.
Названия геометрических фигур имеют вполне определенный смысл. Присмотритесь внимательно к слову “многоугольник”, и скажите из каких частей оно состоит. Слово “многоугольник” указывает на то, что у всех фигур этого семейства “много углов”.
Подставьте в слово “многоугольник” вместо части “много” конкретное число, например 5. Вы получите ПЯТИУГОЛЬНИК. Или 6. Тогда – ШЕСТИУГОЛЬНИК. Заметьте, сколько углов, столько и сторон, поэтому эти фигуры вполне можно было бы назвать и многосторонниками.
На рисунке геометрические фигуры. Используя рисунок, назовите эти фигуры.
Определение. Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.
С некоторыми правильными многоугольниками вы уже знакомы - равносторонний треугольник (правильный треугольник), квадрат (правильный четырехугольник).
Познакомимся с некоторыми свойствами, которыми обладают все правильные многоугольники.
Сумма углов многоугольника
n – число сторон
(n-2) - количество треугольников
Сумма углов одного треугольника - 180º, умножим на количество треугольников
(n -2), получим S= (n-2)*180.
S=(n-2)*180
Формула для вычисления угла х правильного многоугольника.
Выведем формулу для вычисления угла х правильного n- угольника.
В правильном многоугольнике все углы равны, сумму углов делим на количество углов, получим формулу:
х =(n-2)*180/n
5. Из истории.
Правильные многоугольники были известны еще в глубокой древности. В египетских и вавилонских старинных памятниках встречаются правильные четырехугольники, шестиугольники и восьмиугольники в виде изображений на стенах и украшений, высеченных их камня.
Древнегреческие ученые стали проявлять большой интерес к правильным многоугольникам еще со времен Пифагора.
Учение о правильных многоугольниках было систематизировано и изложено в 4 книге «Начал» Евклида.
Паркеты из правильных многоугольников.
В математике паркетом называют «замощение» плоскости повторяющимися фигурами без пропусков и перекрытий. Простейшие паркеты были открыты пифагорейцами около 2500 лет тому назад. Они установили, что вокруг одной точки могут лежать либо шесть правильных многоугольников (3600: 600 = 6), либо четыре квадрата (3600: 900 = 4), либо три правильных шестиугольника (3600: 1200 = 3), так как сумма углов с вершиной в этой точке равна 3600.
Правильные многоугольники в природе.
Пчелы – удивительные творения природы. Свои геометрические способности они проявляют при построении своих сот.
Почему пчелы «выбрали» себе для ячеек на сотах форму правильного шестиугольника?
Строя шестиугольные ячейки пчелы наиболее экономно используют площадь внутри небольшого улья и воск для изготовления ячеек.
Причем пчелиные соты представляют собой не плоский, а пространственный паркет, поскольку заполняют пространство так, что не остается просветов.
И как не согласиться с мнением пчелы из сказки «Тысяча и одна ночь»: «Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот».
Многие простейшие морские организмы (радиолярии ) имеют форму правильных многоугольников.
Снежинки имеют форму правильных многоугольников
6. Закрепление нового материала.
1) Решить задачу №1081
2) Тест:
Выберите правильное утверждение.
1. Многоугольник является правильным, если он выпуклый и все его стороны равны.
2. Любой равносторонний треугольник является правильным.
3. Любой четырехугольник с равными сторонами является правильным.
Как вы думаете, какие геометрические фигуры, показанные на рисунке, являются правильными многоугольниками.(Рисунки на экране)
Известны углы правильных многоугольников. Сколько сторон имеет каждый из этих многоугольников.
ап=900, ап=1500, ап=1350, ап=600
7.Итоги урока. Рефлексия. Д/з.
Что больше всего тебе запомнилось на уроке?
Что удивило?
Что понравились больше всего?
Каким ты хочешь увидеть следующий урок?
Домашнее задание:
п.105, №№ 1082; 1129.
Реферат или презентация по теме:
-Правильные многоугольники в орнаментах и паркетах
- Правильные многоугольники в природе
-Историческая справка о правильных многоугольниках.
Автор(ы):
Скачать: Геометрия 9кл - урок 32 (Дорошенко Е.А.).docxАвтор(ы):
Скачать: Геометрия 9кл - презентация (Дорошенко Е.А.).zip
