Об аксиомах планиметрии

Текст урока

• Конспект

   Предмет: геометрия
  Класс: 9 общеобразовательный класс
   УМК: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Геометрия. 
  Учебник для 7-9 классов. Москва  «Просвещение» 2012 г.
  Уровень обучения: базовый.
  Тема урока:  Об аксиомах плани­метрии.
  Количество часов, отведенное на изучение темы: 2 часа.
  Место урока в системе уроков по теме: 58
  Цель урока:
  Организация деятельности учащихся по восприятию, осмыслению и первичному запоминанию новых знаний и способов деятельности; способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию; обобщить сведения о фигурах на плоскости; повторить аксиомы планиметрии;  рассмотреть аксиому параллельных прямых и ее следствия.
  Задачи урока:
  1. образовательные:
  познакомить учащихся с историей возникновения геометрии; дать представление о неизвестных учащимся аксиомах геометрии, повторить уже известные им аксиомы; ввести аксиому параллельных прямых; ввести понятие следствия из аксиом, теорем; показать как используется аксиома параллельных прямых и следствия из неё при решении задач.
  2. развивающие:
  активизировать деятельность учащихся на уроке. Развивать у них грамотное математическое мышление и культуру речи, умение формулировать свои мысли, пользоваться зрительной и слуховой видами памяти. повышение интереса к предмету, воспитание чувства коллективизма, развитие самооценки;
  3. воспитательные:
  содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, умения общаться; продолжить воспитание у учащихся уважительного отношения друг к другу, чувства товарищества, культуры общения, чувства ответственности.
  Планируемые результаты: 
  По окончанию урока учащиеся должны уметь решать задачи, применяя аксиомы планиметрии.
  
  Содержание урока:
  1. Организационный момент.
  
  2. Актуализация знаний учащихся.
  
  3. Сообщение темы и постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.
  
  4.  Повторение ранее изученного материала.
  5. Изучение нового материала.
  6. Закрепление изученного материала.
  7. Подведение итогов. Рефлексия.
  8. Домашнее задание.
  Ход урока
               Все доказывающие науки применяют аксиомы… Аксиомы обладают наивысшей степенью общности и представляют начало всего. И если не дело философа, то чьё же ещё – рассмотреть, что по отношению к ним – правда и что – ложь.
    
                                                                                                                     Аристотель
  1. Организационный момент.
  Приветствие  ( подготовка учащихся к общению, обеспечить нормальную обстановку для работы на уроке.) 
  Здравствуйте, ребята. Я рада приветствовать вас на уроке.
  Вас ожидает интересная информация, неожиданные факты, открытия, может быть, и собственные. Рене Декарт говорил: «Все науки настолько связаны между собой, что легче изучать их все сразу, нежели какую-либо одну из них в отдельности от всех.» Еще древние греки изучали связи математики с природой, стремясь найти во всех ее проявлениях порядок, гармонию и совершенство: начиная со строения человеческого тела и заканчивая движением небесных светил. Труды многих античных ученых только укрепляли веру людей в то, что в основе построения Вселенной лежат математические принципы и что именно законы математики – ключ к пониманию природы. Невозможно постичь тайны природы и оценить ее красоту, не понимая языка, на котором она говорит. А говорит она на языке математики, о чем писали еще Леонардо да Винчи и Галилей. Это язык формул, фигур, теорем и аксиом. 
  2. Актуализация знаний учащихся.
  С   Д  А  В 
  
  На рисунке ( на доске) изображена прямая, на ней отмечены точки А, В, С, Д. Назовите все образованные прямые и точки, которые лежат и не лежат на этих прямых.
  В знаменитом сочинении Евклида «Начала» (III в. до н.э.) были систематизированы основные известные в то время  геометрические сведения. Главное же − в «Началах» был развит аксиоматический подход к построению геометрии, который состоит в том, что сначала формулируются основные положения, не требующие доказательства (аксиомы), а затем на их основе посредством рассуждений доказываются другие утверждения (теоремы). Некоторые из аксиом, предложенных Евклидом, и сейчас используются в курсах геометрии.
  3. Сообщение темы и постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.
  
  Сегодня на уроке мы будем работать над аксиомами планиметрии.
  Само слово «аксиома» происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный». Полный список аксиом планиметрии, принятых в нашем курсе геометрии, приведён в приложениях в конце учебника на страницах 344-348. Эти аксиомы вы рассмотрите дома самостоятельно.
  4.  Повторение ранее изученного материала.
  
  Некоторые из этих аксиом мы уже рассматривали.
  а )  Вспомните и сформулируйте эти аксиомы.
  1) Имеются, по крайней мере, три точки, не лежащие на одной прямой.
  2) Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
  3) Из трёх точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
  4) Каждая точка О прямой разделяет её на две части (два луча) так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О.
  5) Каждая прямая а разделяет плоскость на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой а.
  6) Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.
  7) На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.
  8) От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один.
  б ) Какие прямые называются параллельными ? (Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются).
  в ) Сформулируйте признаки параллельности прямых.
  1) Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  2) Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  3) Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180˚ то прямые параллельны.
  5. Изучение нового материала.
  Решим задачу: «Через точку М, не лежащую на прямой а, проведите прямую, параллельную прямой а».
  Решение.
  План решения задачи обсуждается всем классом. Один из учащихся записывает решение на доске (без записи в тетрадях). 
  
  Учитель: Возникает вопрос: можно ли через точку М провести ещё одну прямую, параллельную прямой а? 
  Этот вопрос имеет большую историю. В «Началах» Евклида содержится пятый постулат: «И если прямая, падающая на две прямые, образуют внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых». Прокл в V в.н.э. переформулировал постулат Евклида проще и понятнее: «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной». Это и есть аксиома параллельных прямых. Отсюда видно, что рассмотренная выше задача имеет единственное решение.
  Многие математики предпринимали попытки доказать пятый постулат, так как его формулировка слишком напоминала теорему. Все эти попытки каждый раз оказывались  неудачными. И лишь в XIX в. было окончательно выяснено, что пятый постулат Евклида нельзя доказать, он сам является аксиомой.
  Огромную роль в решении этого вопроса сыграл великий русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792-1856).
  6. Закрепление изученного материала.
  1) Дан ∆АВС. Сколько прямых, параллельных стороне АВ, можно провести через вершину С?
  Решение.
  Согласно аксиоме параллельных прямых, можно провести единственную прямую.
  2) Через точку, не лежащую на прямой р, проведены четыре прямые. Сколько из этих прямых пересекают прямую р? Рассмотрите все возможные случаи.
  Решение.
      3 прямые                                                                      4 прямые
  Ответ: 3 или 4 прямые.
  Следствия из аксиомы параллельных прямых.
  Утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом или теорем, называются следствиями. Рассмотрим следствия из аксиомы параллельных прямых.
  Следствие 1˚. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
  
  Следствие 2˚. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. (Предлагается доказать учащимся самостоятельно).
  Чертёж тот же.
  Дано: а||b, с||b
  Доказать: а||с
  Доказательство (метод «от противного»):
  Пусть прямые а и с не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Через точку М проходят две различные прямые (а и с), параллельные прямой b. Это противоречит аксиоме параллельных. Значит наше предположение не верно. А верно то, что а || с. Ч.т.д. 
  Второе следствие из аксиомы параллельных прямых является по сути дела ещё одним признаком параллельности прямых на плоскости.
  3) Прямые а и b параллельны прямой с. Докажите, что любая прямая, пересекающая прямую а, пересекает также и прямую b.
  Решение.
  Если а || b и b || с, то а || с (следствие 2˚).
  Если произвольная прямая d ∩ а, то d ∩ b (следствие 1˚).
  4) Прямые а и b пересекаются. Можно ли провести такую прямую, которая пересекает прямую а и параллельна прямой b? Ответ обоснуйте.
  Решение.
  Возьмём на прямой а точку А  b. Через точку А можно провести единственную прямую, параллельную прямой b (аксиома параллельных). Построенная прямая будет пересекать прямую а, так как имеет с ней общую точку А.
  5)Прямые а и b перпендикулярны к прямой р, прямая с пересекает прямую а. Пересекает ли прямая с прямую b?
  Дано: ар, bр, с ∩ а
  Найти: пересекает ли с прямую b?
  Решение: если ар и bр, то а || b (теорема).
  Если с ∩ а и а || b, то с ∩ b (следствие 1˚).
  Ответ: с ∩ b.
  6)На рисунке учебника АD || р и PQ || BC. Докажите, что прямая р пересекает прямые АВ, АЕ, АС, ВС, РQ.
  
  7. Подведение итогов урока. Рефлексия.
  1) В чём заключается главная заслуга Евклида?
  2) Что называется аксиомой?
  3) Какие аксиомы мы знаем?
  4) Кто из русских учёных построил стройную теорию неевклидовой геометрии?
  5) Что называется следствием в математическом смысле слова?
  6) Какие следствия мы сегодня узнали?
  8. Домашнее задание.
  а) На рисунке  СЕ = ED, ВЕ = EF и КЕ = AD. Докажите, что КЕ || ВС.
  
  б ) Рассмотреть аксиомы на страницах 344-348.  
  в ) Познакомится со сведениями о развитии геометрии на страницах 349-351.
   

   Read more ...

  Автор(ы): Горбанева Т. А.

  Скачать: Геометрия 9кл - Конспект.docx