Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Конспект урока
по геометрии в 9 классе
Аксиоматический метод в геометрии
Учитель: Федорова Татьяна Ильинична
2016 г
г. Кувандык
Название предмета: геометрия
Класс: 9
УМК: учебник геометрии, авторы Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов. 2012г.
Уровень обучения базовый
Тема урока: Аксиоматический метод в геометрии
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 2
Место урока в системе уроков по теме: 1
Тема: « Аксиоматический метод в геометрии»
Цели урока: познакомить с аксиоматическим подходом в изучении геометрии
Задачи:
Образовательные:
-дать представление о неизвестных учащимся аксиомах геометрии, повторить уже известные им аксиомы;
-ввести понятие о способе построения научной теории
-ввести основные понятие планиметрии;
-показать как используются аксиомы планиметрии при решении задач;
Развивающие:
-развивать мыслительную деятельность учащихся,
-развивать логическое мышление.
Воспитательные:
-воспитывать внимательность, аккуратность, активность.
2. Тип урока: комбинированный.
3. Формы работы с учащимися: фронтальная, индивидуальная.
4. Необходимое техническое оборудование.
5. Наглядные пособия, дидактические материалы, используемые на уроке.
Планируемые результаты: применять аксиоматический метод при решении задач.
Техническое обеспечение урока: проектор.
Ход урока
1. Организационный момент.
Проверка готовности к уроку. Сообщение темы, цели и задач.
2. Проверка домашнего задания.
3. . Актуализация знаний
Устная работа.
На рисунке ( на доске) изображена прямая, на ней отмечены точки А, В, С, Д. Назовите все образованные прямые и точки, которые лежат и не лежат на этих прямых.
В конце курса геометрии 7-9 классов мы с вами можем по-новому посмотреть на построении геометрии как науки. На уроках мы с вами рассматривали определения фигур, свойства фигур, доказывали теоремы и следствия из них. В основе любой науки лежат определенные постулаты, которые являются основными для дальнейшего изучения.
Вот и в геометрии основными предложениями являются аксиомы
5. Объяснение нового материала: ведет учитель.
Аксиома – утверждение, принимаемое без доказательства как верное. Аксиоматический метод – способ построения научной теории в виде системы аксиом и правил вывода, позволяющих путём логической дедукции получать утверждения (теоремы) данной теории. Аксиоматический метод позволяет получить выводы по данной теории в виде теорем, используя аксиомы и ранее доказанные теоремы.
Аксиоматический метод появился в Древней Греции, а сейчас применяется во всех теоретических науках, прежде всего в математике.
Исторические подробности.
Слайд №. 3.
Первоначальное и систематическое изложение геометрии представлено в III веке до нашей эры древнегреческим математиком Евклидом в трактате "Начала". Однако, аксиоматика Евклида не являлась. Наиболее успешно с этой задачей справился немецкий математик Д. Гильберт. В конце XIX века он предложил
достаточно строгую аксиоматику евклидовой геометрии. При этом, система аксиом Гильберта удовлетворяла принципам непротиворечивости, независимости и полноты
Аксиоматический метод является основным методом исследования не только в геометрии, но и во многих других разделах современной математики.
Первые представления об этом методе получают при изучении школьного курса геометрии. При всем многообразии существующих аксиоматик, одной из самых
распространенных в школьном курсе геометрии, является система аксиом, предложенная советским математиком А.В. Погореловым.
Аксиоматический метод построения научной теории заключается в следующем : выделяются основные понятия, формулируются аксиомы теории, а все остальные утверждения выводятся логическим путём, опираясь на них.
Например, в системе аксиом используемой в учебном пособии по геометрии в качестве основных понятий планиметрии принимаются: точка, прямая.
Слайд № 4.
Необходимые свойства отношений между основными понятиями описываются с помощью аксиом:
Основные аксиомы планиметрии
Аксиомы планиметрии делятся на 5 групп.
1. Аксиомы принадлежности
2.Аксиомы порядка
3. Аксиомы измерения
4.Аксиомы откладывания.
5.Аксиома параллельности.
Теперь рассмотрим подробнее каждую из этих групп.
1. Аксиомы принадлежности
1.1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие ей и не принадлежащие ей.
Слайд № 5.
1.2.Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.
Попробуем проиллюстрировать эти аксиомы.
Вот так: было две точки.
Слайд № 6.
И тут же нашлась прямая.
А другой – нет!
Вот теперь мы научились наносить точки на прямые и проводить прямые через точки, поэтому уже можем построить первые простейшие фигуры- луч, отрезок, угол.
1) ЛУЧ.
Слайд № 7.
Любая точка, лежащая на прямой, делит эту прямую на две полупрямые. Каждая из этих полупрямых называется еще лучом.
Вот он, луч:
2) ОТРЕЗОК
Слайд № 8.
Любые две точки на прямой ограничивают отрезок прямой.
3) УГОЛ
Углом называется часть плоскости, заключенная между двумя лучами этой плоскости, имеющими общее начало.
Слайд № 9.
Лучи, образующие угол, называются сторонами угла а их общее начало – вершиной угла.
Угол, образованный дополнительными лучами, называется развернутым.
Теперь можно перейти к следующей серии аксиом.
2. Аксиомы порядка.
2.1 Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
2.2 Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
Эта группа аксиом характеризует словосочетание « лежать между». Еще раз хочу обратить внимание, что аксиомам доказательство не требуется. Это утверждение, которое принимается «на веру».
Слайд № 10.
Теперь - следующий уровень. Нам нужны инструкции по измерению отрезков и углов.
3. Аксиомы измерения
3.1 Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
Слайд № 11
3.2 Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180∘. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
4.Аксиомы откладывания.
4.1. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины и притом только один.
4.2. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол, с заданной градусной мерой, меньшей и притом только один.
4.3. Каков бы ни был треугольник, существует треугольник, равный ему, в заданном расположении относительно данной полупрямой.
Ну, и последняя аксиома параллельных!
Но определение:
Прямые называются параллельными, если они не имеют общих точек.
5. Аксиома параллельности.
Через точку, не лежащую на данной прямой можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
В этой группе всего одна лишь аксиома, но она съиграла большую роль на развитие всей геометрии. Здесь уместно вспомнить имена: Н.И. Лобачевского, Я.Бойяи, Р. Римана, К. Гаусса, Р. Мидинга.
Ну вот, и закончились аксиомы планиметрии! Слишком много их? Но представь себе, все они нужны. Для каждой из них есть хитрое-хитрое рассуждение, которое показывает, что если удалить эту аксиому, то развалится всё здание геометрии! Ну, или останется нечто, совершенно непохожее на то, к чему мы привыкли
Данные аксиомы необходимо было оформить в модель, то есть не важно о чем бы шла речь, но данные утверждения могли выполнятся для любых объектов. И эти объекты были найдены. Это группы преобразований – движения, с которыми мы уже недавно познакомились.
6. Закрепление изученного материала.
1) Решить задачу в тетрадях и на доске.
Дан ∆АВС. Сколько прямых, параллельных стороне АВ, можно провести через
вершину С?
Решение. Согласно аксиоме параллельных прямых, можно провести единственную прямую.
В это же самое время 2 ученика выполняют в тетрадях тест.
Приложение 1.
2) Через точку, не лежащую на прямой р, проведены четыре прямые. Сколько из этих прямых пересекают прямую р? Рассмотрите все возможные случаи.
Решение.
Слайд № 12
Ответ: 3 или 4 прямые.
3) На отрезке АВ отметили точку О, а точки К и М являются серединами отрезков АО и ОВ. Найти длину отрезка АВ, если КМ =8 см.
Слайд № 13.
Решение Согласно аксиоме 3.1 длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. Значит,
АВ = АК + КО + ОМ + МВ.
Поскольку К и М являются серединами отрезков АО и ОВ, то АК = КО и ОМ = МВ, а
КМ = КО + ОМ = 8 см. Следовательно,
АВ = КО + КО + ОМ + ОМ = 2(КО + ОМ) = 2КМ = 16 см
Ответ: 16 см.
4) Выполнить задание для подготовки к ГИА («Решу ГИА» № 169915). Выполняет каждый, с последующей проверкой.
Задание 13 № 169915. https://oge.sdamgia.ru/problem?id=169915
Какие из следующих утверждений верны?
1) Если угол равен 45°, то вертикальный с ним угол равен 45°.
2) Любые две прямые имеют ровно одну общую точку.
3) Через любые три точки проходит ровно одна прямая.
4) Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1.
Слайд № 14.
Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.
7. Итоги урока. Рефлексия.
Учитель задает вопрос:
1.Какова роль аксиом? Почему планиметрия начинается именно с этого раздела?
2.Вспомните в других изучаемых предметах употребляемые аксиомы. Назовите их.
Ответ учащихся:
Алгебра. Законы сложения, умножения.
а) a+b = b+a ab = ba
б) (a+b)+c = a+(b+c) (ab)c = a(bc)
в) (a+b)*c = ac+bc (a-b)c = ac-bc
Современная геометрия – это наука о преобразованиях и она имеет широкое применение в химии, физике, топологии, астрономии
8. Оценки за урок.
9. Задание на дом.
1)На рисунке СЕ = ED, ВЕ = EF и КЕ = AD. Докажите, что КЕ || ВС
Слайд № 15.
2) Проиллюстрировать аксиомы откладывания.
Список используемой литературы
1. Атанасян Л.С., В.Ф. Бутузов и др. Геометрия, 7-9: учебник для общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2012 г.
2. Электронная версия книги: "ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ" Под редакцией акад. Я.В. УСПЕНСКОГО, перевод с пятого немецкого издания под редакцией заслужен. проф. А.В. ВАСИЛЬЕВА, КНИГОИЗДАТЕЛЬСТВО "СЕЯТЕЛЬ", Е.В. ВЫСОЦКОГО Петроград, 1923 г.
3. Самин Д. К. 100 великих ученых
4. Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов. - М.: Наука, 1995.
5. Дягилев Ф.М. Из истории физики и жизни ее творцов. - М.: Наука, 1986.
6. Пидоу Д. Геометрия и искусство. - М.: Наука, 1979.
7. www.it-n.ru
8. https://oge.sdamgia.ru/
Приложение 1.
Автор(ы):
Скачать: Геометрия 9кл - конспект.docАвтор(ы):
Скачать: Геометрия 9кл - презентация.pptx
