Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Предмет: геометрия
Класс: 9 общеобразовательный класс
УМК:Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Геометрия.
Учебник для 7-9 классов. Москва «Просвещение» 2012 г.
Уровень обучения: базовый.
Тема урока: Применение метода координат к решению задач.
Количество часов, отведенное на изучение тем: 1 час.
Место урока в системе уроков по теме: 12.
Цель урока:
интеграция учебного материала курсов алгебры и геометрии, усиление прикладной и практической направленности обучения, что обеспечивает лучшее понимание и более целостное восприятие учебного материала учащимися.
Задачи урока:
1. образовательные:
отработать навыки решения задач с применением координатного метода; повторить, вывод основных формул: координат середины отрезка; расстояния между двумя точками; длины вектора; обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Метод координат», подготовиться к контрольной работе.
2. развивающие:
развивать познавательную деятельность, умение применять имеющиеся знания к решению задач, формировать активность и самостоятельность учащихся, добывая знания из различных источников; развивать умение учащихся применять общий способ в различных ситуациях; развивать логическое мышление, оперативную память, выделяя главное, анализируя, формулируя выводы.
3. воспитательные:
обеспечить эстетику урока; прививать умение рационально использовать
учебное время; способствовать созданию взаимопомощи, сотрудничества;
воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения; научить
понимать важность изучаемой темы; воспитывать ответственность, самоконтроль.
Планируемые результаты:
По окончанию урока учащиеся должны уметь решать задачи с применением метода координат.
Техническое обеспечение урока: проектор, компьютер.
Дополнительное методическое обеспечение урока: презентация, карточки – тест- задания, бланки ответов для теста , карточки с задачами(на каждого ученика).
Содержание урока:
1. Организационный момент.
2. Сообщение темы и постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.
3. Вводное слово учителя.
4.Проверка ранее изученного материала.
5.Актуализация знаний учащихся.
6. Отработка навыков и умений.
7. Итог урока.
8. Домашнее задание.
Ход урока.
Алгебра - не что иное как записанная
в символах геометрия,
а геометрия - это просто алгебра,
воплощенная в фигурах.
Софий Жермен (1776-1831) Слайд 1.
1. Организационный момент.
Доброе утро. Рада вас видеть и работать с вами. Как всегда желаю вам хорошего настроения, успехов во всех ваших добрых и полезных делах.
Откройте тетради, запишите число.
2. Сообщение темы и постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.
Урок начнем красивыми стихами известного поэта Ф. Тютчева:
Небесный свод, горящий славой,
Таинственно глядит из глубины,
И мы плывем, пылающею бездной
Со всех сторон окружены.
- О чем идет речь?(О звездах в пространстве.)
- Конечно, о звездах. А как выглядят для нас звезды, если наблюдать за ними с земли?
(Это точки, имеющие свое местоположение в пространстве.)
- Другими словами, точка задана координатами.
И в нашем случае, с одной стороны – геометрия с ее фигурами и телами, а с другой –
алгебраические вычисления. Как это все соединить воедино?
А поможет решить эту проблему метод известного французского математика и философа Рене Декарта, который позволяет решать геометрические задачи алгебраическим способом.
Поэтому, тема урока: «Применение метода координат к решению задач». Слайд 2.
3. Вводное слово учителя.
Метод координат универсальный метод, он значительно облегчает решение многих математических и нематематических задач. Вы, наверно, заметили, что прямоугольная система координат используется не только на уроках математики, но и физики, химии, географии и других предметов. Раздел математики, в котором изучается метод координат, называется аналитической геометрией. Созданием аналитической геометрии мир обязан двум знаменитым французским ученым Рене Декарту и Пьеру Ферма.
Рене Декарт – французский математик, физик, физиолог и философ, создатель знаменитого метода координат, сторонник аналитического метода в математике, механизма в физике. Слайд 3.
В истории математики Рене Декарт занимает видное место. Именно он сыграл решающую роль в становлении современной алгебры тем, что ввел буквенные символы, обозначил последними буквами латинского алфавита (х, у,z … ) переменные величины, а известные – первыми буквами латинского алфавит (а,b,c… ) ввел нынешнее обозначение степеней , заложил основы теории уравнений. Понятия числа и величины, ранее существовавшие раздельно, тем самым были объединены.
Историческое значение Декартовой геометрии состоит в том, что здесь была открыта связь величины и функции, что преобразовало математику. Применение алгебраических методов к геометрическим объектам, введение системы прямолинейных координат означало создание аналитической геометрии, объединяющей геометрические и арифметические величины, которые со времен древнегреческой математики существовали в раздельности.
Физические исследования относятся главным образом к механике, оптике и строению Вселенной.
И сегодня пусть девизом нашего урока будет жизненный девиз Рене Декарта: “Я мыслю, значит, я существую”. Слайд 4.
4.Проверка ранее изученного материала.
Фронтальный опрос по теории. Класс делится на три команды по колонкам. Проводится жеребьевка, которая определяет какая команда задает вопросы по теории, какая дает ответ в виде формулировок и правил, и какая команда называет формулы (жеребьевка по номерам).
Теоретические вопросы( учащиеся читают вопрос обсуждают в группах, 2 человека выходят отвечать, один проговаривает правило, другой называет формулу)
1) Правила нахождения координат суммы двух векторов.
2) Правила нахождения координат разности двух векторов.
3) Правило нахождения произведения вектора на число.
4) Формула координат вектора через координаты его начала и конца.
5) Как найти координаты середины отрезка?
6) Как вычислить длину вектора по его координатам ?
7) Как найти расстояние между двумя точками? Слайд 5-7.
5.Актуализация знаний учащихся.
Прежде, чем мы приступим к решению задач,повторим пройденный материал. Предлагаю вам выполнить тест по теме: «Метод координат». (Приложение 1-3).
Ученики работают с тестом, заполняют бланк ответов.
С помощью ключей выполняетсявзаимопроверка результатов тестирования. Выставление балов. Бланки ответов и ключи раздаются всем учащимся.
6. Отработка навыков и умений
На этом этапе урока разбирается задачи, при решении которых, применяется координатный метод.
- Перед тем как приступить к решению задач, повторим алгоритм решения задач методом координат.
Алгоритмприменения метода координат к решению геометрических задач.
1.Сделать рисунок и записать условие задачи в обычной форме, если это необходимо.
2. Ввести удобную систему координат.
3. Записать условие задачи в координатах.
4. Решить задачу с помощью алгебраических преобразований и вычислений. Слайд 12 (Приложение 4)
Задача 1.( Работа у доски. Один ученик представляет решение задачи у доски, а весь класс работает в тетрадях ).
Вершина Апараллелограмма ОАСВ лежит на положительной полуоси Х, вершина В имеет координаты (b;c),ОА=а. Найти координаты точки С; сторону АС; диагональ СО. Решение:Построим данный параллелограмм в прямоугольной системе координат.
Иллюстрация к задаче. Рис. 1.
Решение: Построим данный параллелограмм в прямоугольной системе координат.
Так как ОА=а, то координаты точки А(а; 0) . Пусть координаты точки С(х; у).
Так как ОАСВ- параллелограмм, то ;
Координаты равны, следовательно,
Итак, ;
так как вектор имеет те же координаты, что и точка В.
так как координаты вектора совпадают с координатами точки С.
Ответ: ;
Задача 2. ( Работа в группах.Проверка: один представитель от 1 группы показывает у доски нахождение стороны МN, от 2 группы – стороны NP, от 3 – стороны МР).
Найти периметр треугольника, если известны координаты его вершин (рис. 2).
Рис. 2. Иллюстрация к задаче.
Дано: ; .
Найти: периметр .
Решение:
Воспользуемся формулой вычисления расстояния между точками.
Найдем длину :
Найдем длину NP:
Найдем длину MP:
Найдем периметр:
Ответ:
Далее решаются разноуровневые задачи. Задачу 3 решают учащиеся группы «Риск», а другие учащиеся решают задачу 4.
Задача 3.
Дан треугольник с вершинами А,В,С. Найти медиану АМ, если А(0;1); В(1;4); С(5;2).
Задача 4.
Даны точки А(-2;-3) В(-3;4) С(4;5). Докажите, что в треугольнике АВС угол А равен углу С. Найдите площадь данного треугольника.
После решения каждый ученик защищает свое решение, идёт обсуждение решений, предлагаются другие способы решения, повторяются основные понятия, свойства, формулы, используемые при решении.
7. Итог урока.
Наш урок подходит к концу. Какие у вас есть вопросы?Какой метод мы применяли при решении задач? (метод координат). Чем полезен этот метод? (упрощает и сокращает процесс решения геометрических задач).
Сообщение результатов тестирования. Выставление оценок.
8. Домашнее задание.
Повторить п.86-92, вопросы 1-21; № 947(б), 955, 989(а,б), 957. Слайд 13.
Дополнительная задача. ( на карточке с задачами)
Даны координаты вершин треугольника АВС А(-3;0) В(1;4) С(3;0). Напишите уравнение прямой, содержащей среднюю линию треугольника, параллельную стороне АВ.
Приложение 1.
Тест по теме: «Метод координат».
1.Найти координаты вектора а:
а) {5; 2} б) {2; 5}
в) {2; 0} г) {0; 5}
2. Найти координаты вектора а: а=2i-3j
а) {2; 3} б) {-3; 2}
в) {2; -3} г) {3; 2}
3. Найти координаты вектора а +d, если а{-6;3,5} d{0,3;2,3}
а) {-5,7; 5,8} б) {-6,3; 5,8}
в) {6,3; 5,8} г) {5,7; 5,8}
4. Найти координаты вектора а -d, если а{-6;3,5} d{0,3;2,3}
а) {-5,7; 5,8} б) {-6,3; 1,2}
в) {6,3; 5,8} г) {5,7; 5,8}
5. Найти координаты вектора -5d, если d{-6;0,1}
а) {-0,5; 30} б) {30; -0,5}
в) {-30; -0,5} г) {-30; 0,5}
6. Найти вектор, коллинеарный вектору а{5;2}
а) {-5; 2} б) {-10; -4}
в) {15; -6} г) {-15; 6}
7. Найти координаты вектора РО, если Р( -1;0) О(-3;-3)
а) {-4; -3} б) {4; 3}
в) {-2; -3} г) {2; 3}
8. Найти координаты середины отрезка ВО, если В( -4;7) и О(0;-3)
а) (-4; -4) б) (-4; 4)
в) (2; 5) г) (-2; 2)
9. Найти длину вектора ЕК, если ЕК {-4;-3}
а) 25 б) 5
в) 7 г)
10. Найти длину отрезка ОК , если К (0;1) и О(-2;-1)
а) б) 2
в) г)
Приложение 2.
Карточка для ответов
№
а
б
в
г
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Приложение 3.
Ключ для проверки
№
а
б
в
г
1
×
2
×
3
×
4
×
5
×
6
×
7
×
8
×
9
×
10
×
Приложение 4.
Карточка с задачами.
Задача 1.
( Работа у доски. Один ученик представляет решение задачи у доски, а весь класс работает в тетрадях ).
Вершина Апараллелограмма ОАСВ лежит на положительной полуоси Х, вершина В имеет координаты (b;c),ОА=а. Найти координаты точки С; сторону АС; диагональ СО. Решение: Построим данный параллелограмм в прямоугольной системе координат.
Задача 2.
( Работа в группах.Проверка: один представитель от 1 группы показывает у доски нахождение стороны МN, от 2 группы – стороны NP, от 3 – стороны МР).
Найти периметр треугольника, если известны координаты его вершин (рис. 2).
Задача 3.
Дан треугольник с вершинами А,В,С. Найти медиану АМ, если А(0;1); В(1;4); С(5;2).
Задача 4.
Даны точки А(-2;-3) В(-3;4) С(4;5). Докажите, что в треугольнике АВС угол А равен углу С. Найдите площадь данного треугольника.
Дополнительная задача.
Даны координаты вершин треугольника АВС А(-3;0) В(1;4) С(3;0). Напишите уравнение прямой, содержащей среднюю линию треугольника, параллельную стороне АВ.
Автор(ы):
Скачать: Геометрия 9кл - конспект(Горбанева Т.А.).docx Муниципальное бюджетное образовательное учреждение «Новосимбирская средняя общеобразовательная школа Кувандыкского городского округа Оренбургской области»
Конспект урока по геометрии в 9 классе
Тема урока: «Применение метода координат к решению задач»
Учитель математики и информатики
первой квалификационной категории
Тимошина Марина Николаевна
Предмет: Геометрия.
Класс: 9
УМК: «Геометрия 7-9» Л. С. Атанасян, Москва «Просвещение» 2014 г.
Уровень обучения: базовый.
Задачи: интеграция учебного материала курсов алгебры и геометрии, усиление прикладной и практической направленности обучения, что обеспечивает лучшее понимание и более целостное восприятие учебного материала учащимися.
Цели урока:
образовательные: отработать навыки решения задач с применением координатного метода; повторить, обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Метод координат»;
развивающие: развивать познавательную деятельность, умение применять имеющиеся знания к решению задач, развивать логическое мышление, интерес к предмету;
воспитательные: воспитывать ответственность, самоконтроль.
Структура урока
1. Организационный момент. Здравствуйте, ребята! Наша задача сегодня научиться применять формулы, изученные на прошлом уроке, при решении задач. Повторим эти формулы (фронтальный опрос).
а) Координаты вектора. A (x1,y1), B (x2, y2).
;
б) Вычисление длины вектора
в) Нахождение расстояния между двумя точками A (x1,y1), B (x2, y2).
AB = .
г) Нахождение координат середины отрезка
Если даны две точки A (x1,y1), B (x2, y2), М – середина АВ, АМ =МВ, М (x,y)
x=; у = .
Работать будем сегодня в группах. Перед каждой группой будут ставиться задачи, а затем, объединив результат исследования каждой группы, мы получим интересные выводы и доказательства. Итак, начинаем.
2. Основная часть.
Формулы координат середины отрезка и расстояния между двумя точками можно использовать для решения более сложных геометрических задач. С этой целью следует ввести прямоугольную систему координат и записать условие задачи в координатах. После этого решение проводится с помощью алгебраических вычислений.
Задача №1: Доказать, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин.
Введем прямоугольную систему координат. Обозначим координаты вершин данного прямоугольного треугольника. Конкретизируем поставленную задачу. Что значит – равноудалена? (МА = МВ = МС).
Задание первой группе: Зная координаты, точек А и В, вычислить координаты точки М – середины отрезка АВ.
Задание второй группе: Пользуясь формулой расстояния между двумя точками, найти длину отрезка МС.
Задание третьей группе: Пользуясь формулой расстояния между двумя точками, найти длину отрезка МА.
Y
А (0; b)
М (? ; ?)
С (0; 0) В (а; 0) Х
Результаты работы групп:
1) М ( ; ). Таким образом, МА = МВ = МС.
2) МС = Задание выполнено.
3) МА =
Задача №2: Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см. Найдите две другие медианы этого треугольника.
Введем прямоугольную систему координат. Построим равнобедренный треугольник АВС (АВ=ВС) так, чтобы основание АС лежало на оси Ох, а медиана ВМ – на оси Оy.
y
В (0; 160)
Р К
А (-40; 0) С (40; 0)
Х
М (0; 0)
Исходя из данных задачи, введем координаты вершин треугольника АВС. Докажем, что АК = СР. Рассмотрим АКС и САР.
1) АС – общая.
2) Углы А и С равны, 1 признак
как углы при основании равнобедренного треугольника.
3) АК = СР (половины равных сторон) АКС = САР
То есть, достаточно найти одну медиану АК.
Задание первой группе: Найти координаты точки К, зная что это середина отрезка СВ (по определению медианы)
Задание второй группе: Взять результат работы первой группы и вычислить длину отрезка АК, зная координаты его концов.
Результаты работы групп:
1) К ( ; ), то есть К (20; 80).
2) АК = = = = 100 см.
Таким образом, АК =СР = 100 см.
Задача №3: Высота треугольника, равная 10 см, делит основание на два отрезка, равные 10 см и 4 см. Найдите медиану, проведенную к меньшей из двух сторон треугольника.
Введем прямоугольную систему координат. Построим треугольник АВС так, чтобы основание АС лежало на оси Ох, а высота ВО – на оси Оy.
y
В
D
А С
О х
Задание первой группе: Ввести координаты вершин треугольника АВС, исходя из условия задачи.
Задание второй группе: Зная координаты точек А и В, вычислить координаты точки D (середины отрезка АВ по определению медианы)
Задание третьей группе: Найти длину отрезка СD, по координатам точек С и D.
Результаты работы групп:
1) А (-4; 0), В (0; 10), С (10; 0), О (0; 0).
2) D( ; ), то есть D (-2; 5).
3) СD = = = = 13 см.
Таким образом, медиана, проведенная к меньшей из двух сторон треугольника АВС равна 13 см.
3. Заключительная часть. Подведем итоги нашей исследовательской работы. Метод координат применим для различных геометрических задач и проводится с помощью алгебраических вычислений. Домашнее задание № 956. При доказательстве применяйте метод координат
Спасибо за урок (оценивается работа учащихся).
Список литературы:
1) Геометрия: Учебник для 7-9 кл. сред. шк. / Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов. и др.- М.: Просвещение, 2014 г.
2) Поурочные разработки по геометрии. 9 класс. / Сост. В.А. Яровенко. – М.: ВАКО,2010 г.
3) http://infourok.ru
4) http://pedrazvitie.ru
Автор(ы):
Скачать: Геометрия 9кл - конспект (Тимошина М.Н.).docxАвтор(ы):
Скачать: Геометрия 9кл - презентация(Горбанева Т.А.).pptx
