Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Урок геометрии в 9 классе по теме «Поворот».
Цели:
образовательные
знать определение поворота и уметь доказывать, что он является движением;
строить образы простейших фигур при повороте;
развивающие
развивать умение сравнивать, выявлять закономерности, обобщать;
воспитательные;
воспитывать потребность в доказательных рассуждениях, аккуратность при выполнении рисунков,
Оборудование:
учебник геометрии 7- 9 кл., Л. С. Атанасян;
презентация «Поворот»;
транспортир, циркуль;
карточки для теста «Движение»;
набор геометрических фигур для выполнения орнамента.
Тип урока: урок изучения нового материала
Ход урока.
Ι. Организационный момент. (1 мин)
Цель: мотивация изучения нового вида преобразования фигур, формулирование целей урока.
Учитель. Трудно найти человека, не любовавшегося орнаментами. И в наскальных рисунках, и в росписях дворцов, и на обоях современных квартир можно обнаружить эти удивительные узоры. Чем сложнее эти рисунки, тем интереснее их связь с геометрией. Узоры, полученные с помощью симметрии, параллельного переноса фигур, являются прекрасными образцами соединения частей в единое целое. Перед вами несколько таких орнаментов. (Слайд 1)
Сегодня мы повторим виды движений, их свойства и добавим к знаниям о движениях ещё один вид, который называется поворот. Это нам поможет прикоснуться к искусству создания орнаментов. Запишите тему урока. (Слайд 2)
II. Изучение нового материала.
1.Подготовительный этап. (Тест, самопроверка, 5 мин).
Цель: актуализация знаний с целью подготовки учащихся к усвоению понятия поворота и доказательству того, что он является движением через решение задач: на определение вида движения, осей симметрии фигур, измерение углов с помощью транспортира.
Учитель. Чтобы не забыть старых знакомых и научиться строить образы простейших фигур при повороте, выполним задания.
Учащиеся выполняют тест на движение. (Слайд 3)
Итог: (подводят учащиеся) Мы выполнили задания, вспомнив: определение движения, его виды и свойства; измеряли углы.
2.Введение понятия (абстрактно – дедуктивное, 2 мин)
Цель: ввести понятие поворота и доказать что он является движением.
Учитель. Вы успешно решили задачи, поэтому сумеете понять, что такое поворот.
Отметим на плоскости точку О (центр поворота) и зададим угол α (угол поворота).
Определение. Поворотом плоскости вокруг точки О на угол α называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М1, что ОМ = ОМ1 и угол МОМ1 равен α. (Слайд 4)
Учитель. Прочитайте определение и выделите существенные признаки поворота.
Учащиеся. 1. Отображение плоскости на себя
2. Каждая точка М отображается в такую точку М1, что ОМ = ОМ1
3.∟ МОМ1 = α.
3.Усвоение понятия (фронтальная работа, 4 мин)
Цель: повторить формулировку определения поворота, ход построения образа точки при повороте, уметь решать задачи на непосредственное применение определения.
Учитель. Укажите на каких рисунках выполнен поворот на угол α (обоснуйте свой выбор). Работа с таблицей.
Замечание: поворот на 180° по часовой стрелке совпадает с поворотом этой же точки на 180° против часовой стрелки и является центральной симметрией.
Учитель. Пользуясь определением поворота, опишите ход построения образа точки М. Учащиеся. (Слайд 5) (3 мин) Алгоритм построения образа точки М при повороте вокруг точки О:
1. Провести луч ОМ;
2. Построить ∟МОМ1 = α;
3. Проводим дугу окружности с центром в точке О и радиусом ОМ до пересечения с лучом ОМ1;
4. Точка пересечения М1 есть образ точки М при повороте на угол α. (Слайд 6)
Учитель. В какую точку при повороте переходит точка О?
Задачи на построение (учащиеся выполняют на доске и в тетрадях, 5 мин):
1. Постройте точку, в которую переходит точка М при повороте около точки О на 60° по часовой стрелки.
Учащиеся. Ход построения: 1) проводим луч ОМ; 2) от него по часовой стрелке откладываем ∟МОМ1 = 60°; 3) ОМ = ОМ1
2. Постройте отрезок, в который переходит отрезок АВ при повороте на 120° против часовой стрелки около точки О, которая не лежит на отрезке. (Слайд 7)
Ход построения: 1) проводим луч ОА1; 2) от него против часовой стрелки откладываем ∟АОА1 = 120°; 3) ОА = ОА1; 4) проводим луч ОВ1; 5) от него против часовой стрелки откладываем ∟ВОВ1 = 120°; 6) ОВ = ОВ1. А1В1 – образ отрезка АВ при повороте вокруг точки О на 120° против часовой стрелки.
Работа в парах (3 мин):
3. Поворот отрезка вокруг одного из его концов и вокруг точки, лежащей на отрезке. (задание для 1 и 2 ряда)
Выполним поворот отрезка ОВ вокруг точки О по часовой стрелке на 50°. Если затрудняетесь, то можете обратится к подсказке, которая есть у вас на партах.
Построение 1 ряда.
1.Проведём луч ОВ.
2. От него по часовой стрелке откладываем ∟ВОВ1 = 50°.
3. Циркулем проводим дугу окружности с центром в точке О радиусом ОВ до пересечения с лучом ОВ1.
4. Точка пересечения В1 есть образ точки В при повороте. Отрезок ОВ1 – образ отрезка ОВ при повороте его вокруг точки О по часовой стрелке на 50°.
Построение 2 ряда. (Выполняют поворот отрезка C D на 50° против часовой стрелки вокруг точки, которая лежит на отрезке).
1.Проводим луч ОС.
2. От него против часовой стрелке откладываем ∟СОС1 = 50°.
3.Циркулем проводим дугу окружности с центром в точке О радиусом Ос до пересечения с лучом ОС1.
4. Точка пересечения С1 есть образ точки С при повороте. Отрезок ОС1 – образ отрезка ОС при повороте его вокруг точки О по часовой стрелке на 50°. Аналогично поступаем с точкой D. (Слайд 8)
Итог: научились находить на рисунках поворот и обосновывать свой выбор с помощью определения; составили алгоритм построения образов точек при выполнении поворота и применяли его в простых случаях.
Учитель. Докажем, что поворот является движением. Самостоятельно прочитать доказательство в учебнике (3 – 5 мин).
Вопросы учащимся:
1. С чего начинали доказательство? (Выполнили поворот точек М и N)
2. Что делали дальше? (Рассмотрели ∆ОМN, ∆ОМ1N1 и доказали, что они равны)
3. Зачем? (Из равенства треугольников получили, что МN = М1N1)
4. Дальше? (Сделали вывод: т. к. расстояние при повороте сохраняется, то он является движением)
Составить план доказательства (работа в парах).
План: (записать в тетрадь, слайд 9)
Дано: поворот.
Доказать: поворот является движением.
Доказательство:
1. Поворот точек М и N на угол α против часовой стрелки.
2. ∆ОМN = ∆ОМ1N1
3. МN = М1N1, т. е. поворот является движением.
4.Закрепление.
Цель: проверка определения поворота, решение более сложных задач с его применением.
Выполнить на доске № 1167. (5 мин)
Решение: Выполним поворот точек В и С. Точка А остаётся на месте, т. е. отображается сама в себя.
1. Проводим луч АВ
2.От него против часовой стрелки откладываем ∟ВАВ1 = 150°
3. Циркулем проводим дугу окружности с центром в т А радиусом ОВ до пересечения с лучом ОВ1.
4. Точка пересечения В1 есть образ точки В при повороте.
5. Аналогично строим точку С1, в которую отображается точка С.
Учитель. (Творческая работа в группах по 4 человека в течение 10 минут под звуки классической музыки, на экране картины художника). (Слайд 11) На экране вы видите орнамент «Бабочки» голландского художника Мориса Эшера, для создания которого используются повороты, параллельные переносы и центральная симметрия. А теперь я предлагаю вам посмотреть, на другие картины этого художника. Он создавал свои работы, используя различные виды движений. (Слайд 12)
Ребята, а теперь и мы с вами вдохновленные видами движений, картинами Эшера, попробуем создать свой орнамент, взяв за основу любую геометрическую фигуру. Использовать можно любой вид движения.
По истечению времени рассматриваются работы с комментарием учащихся об использованных видах симметрии. Всем ученикам выставляются оценки.
Я предлагаю создать свой орнамент, взяв за основу любую геометрическую фигуру и использовать любой вид движения.
III. Итог урока. (1 мин)
Учитель. Урок подошёл к концу. Подведём итог.
1. С каким понятием вы сегодня познакомились?
2. Как формулируется определение поворота?
3. Как построить образ точки М при её повороте вокруг точки О на угол α?
4. Какое утверждение относительно поворота мы доказали?
5. Что вызвало затруднение?
6. Что понравилось?
IV. Задание на дом: (1 мин) П. 117, в. 16, 17, № 1171, выбрать рисунок и выполнить все виды движения (творческое задание)
Вариант 1 Тест по теме «Движения»
1. а) Определите по рисунку вид движения.
Ответ: А) осевая симметрия; Б) центральная симметрия; В) параллельный перенос.
б) Укажите на рисунке соответственно ось симметрии, центр симметрии, вектор параллельного переноса.
2. а) Определите по рисунку вид движения.
Ответ: А) осевая симметрия; Б) центральная симметрия; В) параллельный перенос.
б) Укажите на рисунке соответственно ось симметрии, центр симметрии, вектор параллельного переноса.
3. Какие из приведённых треугольников имеют оси симметрии? Укажите номера этих треугольников в ответе.
Ответ: _________
4. Сравните градусные меры углов ∟ВОМ и ∟АОС.
В А
С О М
5. Измерьте угол и запишите в ответе его градусную меру.
Ответ:___________
Вариант 2 Тест по теме «Движения»
1. а) Определите по рисунку вид движения.
Ответ: А) осевая симметрия; Б) центральная симметрия; В) параллельный перенос.
б) Укажите на рисунке соответственно ось симметрии, центр симметрии, вектор параллельного переноса.
2. а) Определите по рисунку вид движения.
Ответ: А) осевая симметрия; Б) центральная симметрия; В) параллельный перенос.
б) Укажите на рисунке соответственно ось симметрии, центр симметрии, вектор параллельного переноса.
3. Какие из приведённых трапеций имеют оси симметрии? Укажите номера этих трапеций в ответе.
1 2 3 4
Ответ: _________
4. Сравните градусные меры углов ∟ВОМ и ∟АОС.
В А
С О М
5. Измерьте угол и запишите в ответе его градусную меру.
Ответ:___________
Укажите на каких рисунках выполнен поворот на угол α (обоснуйте свой выбор)
Таблица 1.
Объект
Признаки поворота на угол α.
Отображение плоскости на себя
Каждая точка М отображается в такую точку М1, что ОМ = ОМ1
∟ МОМ1
= α.
Вывод
М О М1
Автор(ы): Гайсина Л. С.
Скачать: Геометрия 9кл - конспект.doc Название предмета: геометрия
Класс: 9
УМК (название учебника, автор, год издания): Геометрия, 7-9: учебник для общеобразовательных учреждений/ (Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.) – 18-е изд.- М.: Просвещение, 2012 г.
Уровень обучения базовый
Тема урока: Поворот
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 1
Место урока в системе уроков по теме: 5 урок в системе уроков по теме: «Движение» (10 ч)
Цели урока: образовательные
-знать определение поворота и уметь доказывать, что он является движением;
-строить образы простейших фигур при повороте;
развивающие
-развивать умение сравнивать, выявлять закономерности, обобщать;
воспитательные;
-воспитывать потребность в доказательных рассуждениях, аккуратность при выполнении рисунков
Планируемые результаты: знать определение поворота, строить фигуры при повороте, применять полученные знания на практике.
Техническое обеспечение урока: компьютер, мультимедийный проектор, учебник геометрии 7- 9 кл., Л. С. Анатасян, презентация «Поворот»;транспортир, циркуль;
карточки для теста «Движение»;набор геометрических фигур для выполнения орнамента.
Ход урока.
Ι. Организационный момент. (1 мин)
Цель: мотивация изучения нового вида преобразования фигур, формулирование целей урока.
-Трудно найти человека, не любовавшегося орнаментами. И в наскальных рисунках, и в росписях дворцов, и на обоях современных квартир можно обнаружить эти удивительные узоры. Чем сложнее эти рисунки, тем интереснее их связь с геометрией. Узоры, полученные с помощью симметрии, параллельного переноса фигур, являются прекрасными образцами соединения частей в единое целое. Перед вами несколько таких орнаментов. (Слайд 1)
Сегодня мы повторим виды движений, их свойства и добавим к знаниям о движениях ещё один вид, который называется поворот. Это нам поможет прикоснуться к искусству создания орнаментов. Запишите тему урока. (Слайд 2)
II. Изучение нового материала.
1.Подготовительный этап. (Тест, самопроверка, 5 мин).
Цель: актуализация знаний с целью подготовки учащихся к усвоению понятия поворота и доказательству того, что он является движением через решение задач: на определение вида движения, осей симметрии фигур, измерение углов с помощью транспортира.
- Чтобы не забыть старых знакомых и научиться строить образы простейших фигур при повороте, выполним задания.
Учащиеся выполняют тест на движение. (Слайд 3)
Итог: (подводят учащиеся) Мы выполнили задания, вспомнив: определение движения, его виды и свойства; измеряли углы.
2.Введение понятия
Цель: ввести понятие поворота и доказать что он является движением.
- Вы успешно решили задачи, поэтому сумеете понять, что такое поворот.
Отметим на плоскости точку О (центр поворота) и зададим угол α (угол поворота).
Определение: Поворотом плоскости вокруг точки О на угол α называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М1, что ОМ = ОМ1 и угол МОМ1 равен α. (Слайд 4)
-Прочитайте определение и выделите существенные признаки поворота.
1. Отображение плоскости на себя
2. Каждая точка М отображается в такую точку М1, что ОМ = ОМ1
3.∟ МОМ1 = α.
3.Усвоение понятия (фронтальная работа, 4 мин)
Цель: повторить формулировку определения поворота, ход построения образа точки при повороте, уметь решать задачи на непосредственное применение определения.
-Покажите на каких рисунках выполнен поворот на угол α (обоснуйте свой выбор). Работа с таблицей.
Замечание: поворот на 180° по часовой стрелке совпадает с поворотом этой же точки на 180° против часовой стрелки и является центральной симметрией.
- Пользуясь определением поворота, опишите ход построения образа точки М. - (Слайд 5) Алгоритм построения образа точки М при повороте вокруг точки О:
1. Провести луч ОМ;
2. Построить ∟МОМ1 = α;
3. Проводим дугу окружности с центром в точке О и радиусом ОМ до пересечения с лучом ОМ1;
4. Точка пересечения М1 есть образ точки М при повороте на угол α. (Слайд 6)
- В какую точку при повороте переходит точка О?
Задачи на построение (учащиеся выполняют на доске и в тетрадях, 5 мин):
1. Постройте точку, в которую переходит точка М при повороте около точки О на 60° по часовой стрелки.
- Ход построения: 1) проводим луч ОМ; 2) от него по часовой стрелке откладываем ∟МОМ1 = 60°; 3) ОМ = ОМ1
2. Постройте отрезок, в который переходит отрезок АВ при повороте на 120° против часовой стрелки около точки О, которая не лежит на отрезке. (Слайд 7)
Ход построения: 1) проводим луч ОА1; 2) от него против часовой стрелки откладываем ∟АОА1 = 120°; 3) ОА = ОА1; 4) проводим луч ОВ1; 5) от него против часовой стрелки откладываем ∟ВОВ1 = 120°; 6) ОВ = ОВ1. А1В1 – образ отрезка АВ при повороте вокруг точки О на 120° против часовой стрелки.
Работа в парах (3 мин):
3. Поворот отрезка вокруг одного из его концов и вокруг точки, лежащей на отрезке. (задание для 1 и 2 ряда)
Выполним поворот отрезка ОВ вокруг точки О по часовой стрелке на 50°. Если затрудняетесь, то можете обратится к подсказке, которая есть у вас на партах.
Построение 1 варианта
1.Проведём луч ОВ.
2. От него по часовой стрелке откладываем ∟ВОВ1 = 50°.
3. Циркулем проводим дугу окружности с центром в точке О радиусом ОВ до пересечения с лучом ОВ1.
4. Точка пересечения В1 есть образ точки В при повороте. Отрезок ОВ1 – образ отрезка ОВ при повороте его вокруг точки О по часовой стрелке на 50°.
Построение 2 варианта. (Выполняют поворот отрезка C D на 50° против часовой стрелки вокруг точки, которая лежит на отрезке).
1.Проводим луч ОС.
2. От него против часовой стрелке откладываем ∟СОС1 = 50°.
3.Циркулем проводим дугу окружности с центром в точке О радиусом Ос до пересечения с лучом ОС1.
4. Точка пересечения С1 есть образ точки С при повороте. Отрезок ОС1 – образ отрезка ОС при повороте его вокруг точки О по часовой стрелке на 50°. Аналогично поступаем с точкой D. (Слайд 8)
Итог: научились находить на рисунках поворот и обосновывать свой выбор с помощью определения; составили алгоритм построения образов точек при выполнении поворота и применяли его в простых случаях.
- Докажем, что поворот является движением. Самостоятельно прочитать доказательство в учебнике (3 – 5 мин).
Вопросы учащимся:
1. С чего начинали доказательство? (Выполнили поворот точек М и N)
2. Что делали дальше? (Рассмотрели ∆ОМN, ∆ОМ1N1 и доказали, что они равны)
3. Зачем? (Из равенства треугольников получили, что МN = М1N1)
4. Дальше? (Сделали вывод: т. к. расстояние при повороте сохраняется, то он является движением)
Составить план доказательства (работа в парах).
План: (записать в тетрадь, слайд 9)
Дано: поворот.
Доказать: поворот является движением.
Доказательство:
1Поворот точек М и N на угол α против часовой стрелки.
2∆ОМN = ∆ОМ1N1
3МN = М1N1, т. е. поворот является движением.
4.Закрепление.
Цель: проверка определения поворота, решение более сложных задач с его применением.
Выполнить на доске № 1167. (5 мин)
Решение: Выполним поворот точек В и С. Точка А остаётся на месте, т. е. отображается сама в себя.
1. Проводим луч АВ
2.От него против часовой стрелки откладываем ∟ВАВ1 = 150°
3. Циркулем проводим дугу окружности с центром в т А радиусом ОВ до пересечения с лучом ОВ1.
4. Точка пересечения В1 есть образ точки В при повороте.
5. Аналогично строим точку С1, в которую отображается точка С.
-(Творческая работа в группах по 4 человека в течение 10 минут под звуки классической музыки, на экране картины художника). (Слайд 11) На экране вы видите орнамент «Бабочки» голландского художника Мориса Эшера, для создания которого используются повороты, параллельные переносы и центральная симметрия. А теперь я предлагаю вам посмотреть, на другие картины этого художника. Он создавал свои работы, используя различные виды движений. (Слайд 12)
Ребята, а теперь и мы с вами вдохновленные видами движений, картинами Эшера, попробуем создать свой орнамент, взяв за основу любую геометрическую фигуру. Использовать можно любой вид движения.
По истечению времени рассматриваются работы с комментарием учащихся об использованных видах симметрии. Всем ученикам выставляются оценки.
Я предлагаю создать свой орнамент, взяв за основу любую геометрическую фигуру и использовать любой вид движения.
III. Итог урока. (1 мин)
Подведём итог.
1. С каким понятием вы сегодня познакомились?
2. Как формулируется определение поворота?
3. Как построить образ точки М при её повороте вокруг точки О на угол α?
4. Какое утверждение относительно поворота мы доказали?
5. Что вызвало затруднение?
6. Что понравилось?
IV. Задание на дом: (1 мин) П. 117, в. 16, 17, № 1171
Вариант 1 Тест по теме «Движения»
1. а) Определите по рисунку вид движения.
Ответ: 1) осевая симметрия; 2) центральная симметрия; 3) параллельный перенос.
б) Укажите на рисунке соответственно ось симметрии, центр симметрии, вектор параллельного переноса.
2. а) Определите по рисунку вид движения.
Ответ: 1) осевая симметрия; 2) центральная симметрия; 3) параллельный перенос.
б) Укажите на рисунке соответственно ось симметрии, центр симметрии, вектор параллельного переноса.
3. Какие из приведённых треугольников имеют оси симметрии? Укажите номера этих треугольников в ответе.
Ответ: _________
4. Сравните градусные меры углов ∟ВОМ и ∟АОС.
В А
С О М
5. Измерьте угол и запишите в ответе его градусную меру.
Ответ:___________
Вариант 2 Тест по теме «Движения»
1. а) Определите по рисунку вид движения.
Ответ: 1) осевая симметрия; 2) центральная симметрия; 3) параллельный перенос.
б) Укажите на рисунке соответственно ось симметрии, центр симметрии, вектор параллельного переноса.
2. а) Определите по рисунку вид движения.
Ответ: 1) осевая симметрия; 2) центральная симметрия; 3) параллельный перенос.
б) Укажите на рисунке соответственно ось симметрии, центр симметрии, вектор параллельного переноса.
3. Какие из приведённых трапеций имеют оси симметрии? Укажите номера этих трапеций в ответе.
1 2 3 4
Ответ: _________
4. Сравните градусные меры углов ∟ВОМ и ∟АОС.
В А
С О М
5. Измерьте угол и запишите в ответе его градусную меру.
Ответ:___________
Автор(ы): Лобанова Н. М.
Скачать: Геометрия 9кл - Конспект.doc Название предмета: геометрия.
Класс: 9 класс.
УМК (название учебника, автор, год издания: Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений/[Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. -22-е изд.-М.:Просвещение, 2012.-384 с.
Уровень обучения (базовый, углубленный, профильный): базовый.
Тема урока: « Поворот».
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 1 ч.
Место урока в системе уроков по теме: В соответствии с программой по подготовке к ГИА по математике данный урок представляет собой объединение тем: «Движения».
Цель урока: выработка умений самостоятельного применения учащимися знаний и навыков по темам движение, поворот в комплексе, в новых условиях.
Задачи урока:
1.Обучающая: Закрепить знания по параллельному переносу. Установить что такое поворот. Учиться выполнять поворот и применять его при решении задач.
2.Развивающая: Развивать логическое мышление, умение доказательно развивать свою мысль и умение делать выводы.
3.Воспитывающая: Формирование умения работать в коллективе. Воспитывать умение делать собственный выбор. Воспитание любви к природе и Родине.
4.Валеологическая: Создание оптимальных условий учебного процесса. Рациональное чередование разных видов деятельности.
Планируемые результаты:
Научатся: рационально применять различные методы при решении задач с применением движения; решать задания, с использованием поворота.
Получат возможность научиться строить фигуры при повороте.
Техническое обеспечение урока: компьютер, экран, мультимедийный проектор.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на интернет-ресурсы):видео-урок.
Содержание урока.
1. Организационный момент.
Учитель приветствует учащихся, подготавливает помещение к уроку и отмечает отсутствующих.
2. Актуализация знаний.
-Сегодня мы рассмотрим ещё один вид движения «Поворот». Запишите в тетрадях число и тему урока.
Запись в тетрадях:
Число. Тема урока: Поворот.( Запускаем видеоурок. Пауза для записи темы)
Проверка домашнего задания.
3. Изучение нового материала.
С показом видео-урока. (с паузами для записи в тетрадях).
Движение – отображение плоскости на себя, при котором расстояния между точками плоскости сохраняются.
Примеры движения: осевая симметрия, центральная симметрия, параллельный перенос.
Свойства движения: отрезок переходит в отрезок, угол переходит в равный ему угол, окружность переходит в окружность того же радиуса и т. п.
Пусть имеется некоторая выделенная точка О плоскости. Кроме того, рассмотрим произвольную точку М той же плоскости. Поворотом (обозначение – ) относительно точки О, называемой центром поворота на Ðα (угол поворота) называется такое отображение плоскости на себя, при котором любая точка М плоскости переходит в такую точку М1 той же плоскости, что ОМ = ОМ1 и, кроме того, ÐМОМ1 = α
Докажем, что поворот является движением.
Доказательство .
Рассмотрим точки М и N плоскости, переходящие при повороте соответственно в точки М1 и N1 той же плоскости.
Рассмотрим треугольники ОМN и ОМ1N1. В этих треугольниках ОМ = ОМ1 и ОN = ОN1. ÐМОN = α – ÐМОN1; ÐМ1ОN1 = α – ÐМОN1, следовательно, ÐМОN = ÐМ1ОN1. Таким образом, указанные треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда вытекает равенство отрезков МN = М1N1. Поскольку точки М и N выбирались нами произвольно, можно утверждать, что при повороте длины отрезков сохраняются.
Теорема доказана.
Нам необходимо научиться использовать рассмотренный тип движения.
Постройте треугольник, который получается из данного треугольника ABC поворотом вокруг точки А на угол 60° против часовой стрелки ( ∆АВС).
Решение
При повороте точка А перейдет в саму себя. Точки В и С перейдут в точки В1 и С1 соответственно. Углы треугольника и длины его сторон, в соответствии с общими свойствами движения, сохранятся (все обозначения сторон и углов даны на Рис. 3).
Построения при повороте крайне простые: при помощи циркуля построить дугу окружности радиусом, равным длине стороны треугольника (АС или АВ), с центром в точке А, далее при помощи транспортира отложить на дуге угол 60° и отметить точку-образ (В1 или С1). Соединив полученные точки-образы отрезками, можно получить искомый треугольник А1В1С1, являющийся образом треугольника АВС (∆АВС = ∆А1В1С1).
Задача (Атанасян, № 1168).
Точка О является точкой пересечения биссектрис равностороннего треугольника ABC. Докажите, что при повороте вокруг точки О на угол 120° треугольник ABC отображается на себя.
Решение.Сделаем рисунок
Точка О пересечения биссектрис правильного треугольника является центром этого треугольника. Следовательно, вершины треугольника при повороте вокруг точки О будут «отрисовывать» дуги окружности, описанной около ∆АВС. Легко показать, что ÐВОС = ÐСОА = ÐАОВ = 120°. Следовательно, при повороте , точка А перейдет в точку В, точка В перейдет в точку С и точка С перейдет в точку А (напомним, что угол поворота считается положительным, если поворот происходит против часовой стрелки). Таким образом, ∆АВС = ∆АВС .
Задача решена.
Задача. Дана прямая, на которой заданы точка О1 и точка О2 и даны точки А и В, лежащие по разные стороны от этой прямой. Причем имеют место равенства расстояний: О1А = О1В, О2А = О2В.
Доказать, что точки А и В симметричны относительно указанной прямой.
Для доказательства требуемого в задаче утверждения нам необходимо доказать, что АМ = МВ и АВ^ О1О2 .
Построим окружность радиусом О1А с центром в точке О1 и окружность радиусом О2А с центром в точке О2.
Рассмотрим некоторую осевую симметрию с осью О1О2. При таком отображении полуокружности, расположенные в верхней полуплоскости, перейдут в соответствующие полуокружности, расположенные в нижней полуплоскости относительно оси симметрии. При этом точка пересечения «верхних» полуокружностей – точка А – перейдет в точку пересечения «нижних» полуокружностей – точку В. То есть точка В симметрична точке А относительно рассматриваемой прямой. Задача решена.
В заключение разберем еще один простое применение понятий симметрии.
Дан параллелограмм ABCD.
Доказать, что точка пересечения его диагоналей является его центром симметрии.
Напоминание: фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.
На рисунке точка О – точка пересечения диагоналей параллелограмма. В силу свойств параллелограмма AО = ОC и BО = ОD, а также любой отрезок, концы которого лежат на противоположных сторонах и проходящий через точку О (например, отрезок MN на Рис. 6), делится в этой точке пополам. Это означает, что при осуществлении центральной симметрии относительно центра, расположенного в точке О, все точки, принадлежащие сторонам, перейдут в точки, также принадлежащие сторонам. Таким образом, параллелограмм перейдет сам в себя, т. е. точка О – центр симметрии.
3. Закрепление изученного материала.
Самостоятельная работа. Каждый решает в тетради.
№1166
Постройте отрезок A1B1, который получается из данного отрезка AB поворотом вокруг данного центра О: а) на 120° по часовой стрелке; б) на 75° против часовой стрелки; в) на 180°.
4. Решение задачи:
№ 1167
Постройте треугольник, который получается из данного треугольника ABC поворотом вокруг точки А на угол 150° против часовой стрелки.
Решение задачи:
5. Подведение итогов урока и домашнее задание.
Подведем итоги: на данном уроке мы ввели в рассмотрение новый вид отображения плоскости на себя – поворот, доказали, что он является движением и решили ряд задач, которые помогут лучше понять изучаемую тему.
Какое отображение плоскости называется параллельным переносом?
Приведите примеры из жизни, где вы встречались с параллельным переносом.
Оценивание учащихся.
Д.з. п.117, вопросы 16, 17
Решить задачи № 1170, 1171.
Автор(ы): Апсалямова М. Ф.
Скачать: Геометрия 9кл - Конспект.docxАвтор(ы): Гайсина Л. С.
Скачать: Геометрия 9кл - поворот.pptАвтор(ы): Лобанова Н. М.
Скачать: Геометрия 9кл - Презентация к уроку.pptАвтор(ы): Апсалямова М. Ф.
Скачать: Геометрия 9кл - видео.mp4
