Понятие движения

Текст урока

• Конспект

   Название предмета Геометрия
  Класс 9
  УМК (название учебника, автор, год издания) Геометрия 7-9. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др., 2012.
  
  Уровень обучения (базовый, углубленный, профильный)базовый
  Тема урока: Понятие движения
  Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 8
  Место урока в системе уроков по теме: 2
  Цель  урока: сформировать понятие  движения;  отработать навыки построения фигур при симметриях.
  Задачи:
  Обучающие:обеспечить  восприятие,  осмысление  и  первичное  запоминание 
  учащимися  понятия  движения;   организовать  деятельность  учащихся  по  воспроизведению изученного материала и применению при решении задач;
  -развивающие:способствовать  развитию  наблюдательности,  умения  анализировать, 
  применять приемы сравнения, развитию логического мышления. 
  -воспитательные:. побуждать  учащихся  к  преодолению  трудностей,  к  самоконтролю, 
  взаимоконтролю  в  процессе  умственной  деятельности.  Воспитывать 
  познавательную  активность,  самостоятельность.
  Планируемые результаты: Знают определение движения плоскости; уметь доказывать, что осевая и центральная симметрии являются движениями и что при движении отрезок отображается на отрезок, а треугольник – на равный ему треугольник; уметь решать задачи типа задач №№ 1152, 1159, 1161.
  Техническое обеспечение урока: Компьютер, проектор, доска
  Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на интернет-ресурсы.
  Содержание урока
  1. Организационный момент 
  2. Проверка домашней работы 
  3. Разобрать задания, с которыми не справились большинство учащихся. 
  4.  Повторение темы «Центральная и осевая симметрия» 
  Осевая симметрия – это такой тип симметрии, при которой каждой точке плоскости, например в точке М (Рис. 1), по определенному закону ставится в соответствие другая точка той же плоскости.
   
   
   
   
   
   
   
  
  Рис. 1.
  Закон, согласно которому проводится это соответствие, таков:
  Из точки М проводится перпендикуляр к прямой и получается точка Р, точка пересечения перпендикуляра с осью. Откладывался отрезок РМ1=РМ, и находится точка М1. Итак, любой точке М плоскости ставится в соответствие единственная точка М1 плоскости, при этом:
  1. МР^а, Р – точка их пересечения
  2. РМₐ=РМ  , откуда получалась точка М1
  При этом мы опирались на известный геометрический факт: из точки М можно провести лишь одну прямую перпендикулярную данной прямой.
  Обратная операция: если при осевой симметрии точке М ставится в соответствие точка М1, то точке М1 ставится в соответствие точка М.
  Точно такие же операции соответствия можно провести и для пары точек N и N1 той же плоскости (Рис. 1), причем если нам известна точка N1, которая поставлена в соответствие точке N, то нам известна и сама точка N. Итак, каждой точке плоскости ставится в соответствие иная точка плоскости. И любая точка плоскости имеет свою соответствующую точку.
  Осевая симметрия является частным случаем так называемого отображения плоскости на себя.
  Другим частным случаем отображения плоскости на саму себя является центральная симметрия.
  Точка плоскости М переходит в точку плоскости другую М1 по следующему закону (Рис. 2):
  1. проводится прямая МО
  2. эта прямая продолжается и на ней откладывается отрезок ОМ1=ОМ, получаем точку М1
  М1 ставится в соответствие точке М.
  
   
   
   
   
   
   
   
  Рис. 2.
  Оба представленных примера отображений обладают следующим свойством:
  если взять отрезок MN длиною а, то он перейдет в отрезок M1N1 той же длины, т. е. расстояние между любыми точками сохраняются.
  Отображение плоскости на себя, при котором все расстояния сохраняются, называется движением,
  т. е. «плоскость двигается, а расстояние сохраняется». Движений таких несколько, мы пока рассмотрели два из них, а именно осевую симметрию и центральную симметрию. Теперь докажем, что каждая из этих симметрий является движением. Надо доказать, что любые расстояния сохраняются.
  Докажем это для осевой симметрии.
  Итак, при от отображении, М → М1, N → N1, причем РМ1=РМ, NQ=QN1 (Рис. 3)
  Нам нужно доказать, что MN= M1N1.
   
   
  Рис. 3.
  Доказательство.
  Составим чертеж (Рис. 4).
  Сделаем дополнительные построения, построим точку К такую, что МК^ NN1,тогда точка К отобразится в точку К1.Докажем равенство прямоугольных треугольников MNК и M1N1К1. В этих треугольниках длины, интересующие нас, являются гипотенузами, значит, надо доказать равенство катетов.
  МК = М1К1 как два перпендикуляра к параллельным прямым.
  Из Рис. 4 видно, что NK = NQ – KQ и N1K1 = N1Q – K1Q. Из этих равенств и условия того, что точка N отобразилась в точку N1,  вытекает, что NK = N1K1.
  То есть треугольники равны по двум катетам, а следовательно, равны и их гипотенузы, то есть  MN = M1N1, что и требовалось доказать.
   
   
   
   
   
   
   
   
   
  
   
  Рис. 4.
  
  Рис. 5.
  Докажем теперь, что центральная симметрия также является движением. Дополним Рис. 2 точкой N и точкой N1, в которую отобразится первая точка при центральной симметрии (Рис. 5).
  Для этого построим отрезок ON и его продолжение – отрезок ON1, получим точку N1. При этом ON1 = ON. Необходимо доказать, что MN = M1N1
  Доказательство.
   по двум сторонам и углу между ними (ÐMОN = ÐM1ОN1 как вертикальные, а соответствующие стороны треугольников равны вследствие законов центральной симметрии) .
  То есть и при центральной симметрии любые расстояния сохраняются. Таким образом, и центральная симметрия является движением.
  Итак, мы рассмотрели отображение плоскости на себя. Рассмотрели два примера отображения  плоскости на себя: осевую симметрию и центральную симметрию. И подметили одно важное обстоятельство, что любые расстояния при этих преобразованиях сохраняются. Те преобразования плоскости на себя, которые сохраняют все расстояния, называются движениями. Мы доказали, что осевая симметрия является движением и центральная симметрия является движением.
  В качестве примера отображения плоскости на себя, не являющегося движением, то есть не сохраняющего расстояния между точками, можно рассмотреть центральное подобие (гомотетию) с коэффициентом 2; учащиеся сами могут доказать, что при таком отображении расстояния между точками увеличиваются в два раза.
  6. Решить задачу № 1153 для усвоения понятия, а затем по заранее подготовленному рисунку 2 решить следующую задачу: «При движении плоскости точка А переходит в точку М. В какую из обозначенных на рисунке 2 точек может отобразиться при этом движении точка В?».
  
   
  Рис. 2
  7. После этого рассматривается теорема о том, что при движении отрезок  отображается  на  отрезок,  и следствие из нее. В ходе доказательства теоремы полезно акцентировать внимание учащихся на том, что доказательство состоит из двух частей: во-первых, доказывается, что каждая точка Р данного отрезка МN отображается в некоторую точку Р1 отрезка М1N1 и, во-вторых, что в каждую точку Р1 отрезка М1N1 переходит какая-то точка Р данного отрезка МN.
  8. Закрепление изученного материала.
  а). Разобрать решение задачи № 1150.
  Б). Решить задачи №№ 1151, 1152 (а, б), 1158.
  9. Домашнее задание: п114, № 1152(в), 1160.
  10. Подведение итогов урока 
  Достигли ли мы целей урока? 
  11. Рефлексия 
  Оцените свою работу на уроке, выставив себе в тетрадь баллы: 
  5 б. – все понял и могу объяснить другому; 
  4 б. – сам понял, но объяснить не берусь; 
  3 б. – для полного понимания надо повторить; 
  
  
   

   Read more ...

  Автор(ы): Ясаков В. Н.

  Скачать: Геометрия 9кл - Конспект.docx