Повторение и систематизация: Решение задач ЕГЭ.

Тип материала

Решение задач ЕГЭ

Текст урока

урок 65

Название предмета: Геометрия.
Класс: 11.
УМК (название учебника, автор, год издания): «Геометрия 10-11 класс», Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др., 2014 г.
Уровень обучения (базовый, углубленный, профильный): базовый.
Тема урока: «Решение задач ЕГЭ».
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 13
Место урока в системе уроков по теме: девятый.
Цель урока: способствовать развитию умений и навыков применять математические знания к решению практических задач, ориентироваться в простейших геометрических задачах.
Задачи урока:
Обучающие: организовать работу учащихся по решению практических задач;
Развивающие: создать условия для развития познавательной активности учащихся, познавательного интереса к предмету; развивать навыки самостоятельной деятельности учащихся; формировать учебно - познавательные действия, коммуникативные, исследовательские навыки учащихся.
Воспитывающие: создать условия успешности ученика на уроке; воспитывать культуру умственного труда; способность к самоанализу, рефлексии.
Планируемые результаты:
Предметные: уметь применять теоретические знания при решении практических задач.
Личностные: способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, анализировать условие задачи, составлять модель решения.
Метапредметные: уметь планировать и оценивать процесс и результат своей деятельности, обрабатывать информацию.
Техническое обеспечение урока: ноутбук, проектор, экран.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на интернет-ресурсы):
1. Изучение геометрии 10-11 кл.: книга для учителя / С.М.Саакян, В.Ф. Бутузов. – М.: Просвещение, 2010.
2. Лаппо Л.Д., Морозов А.В. Геометрия. Типовые вопросы и задачи – М.: «Экзамен», 2015.
Содержание урока: определение треугольника, виды треугольников, признаки и свойства треугольников.
Ход урока.
I. Организационный момент (приветствие учащихся; психологический настрой для вовлечения в работу по теме; объяснение учащимся правил работы на уроке; сообщение темы).
Сегодня мы будем решать задачи по теме «Треугольники». Работая в группах (3 группы), мы должны повторить и обобщить знания, связанные с понятием треугольник.
II. Мотивационный момент
«Умение мыслить математически – одна из благороднейших способностей человека». Д. Б. Шоу. Это девиз нашего урока.
III. Актуализация опорных знаний.
1. Теоретический опрос
Определение треугольника, виды треугольников, признаки и свойства треугольников.
2. Фронтальный опрос Общее задание для всех групп
Учащимся предлагается устно решить несколько задач из сборника «ЕГЭ математика 3000 задач». (Работа в парах или индивидуально). После небольшого обсуждения в парах, ответы вслух. Обсуждение.

Задача 2748 (стр. 453) В треугольнике АВС АВ = ВС = АС = 2 . Найдите высоту СН. Анализ условия задачи. (этапы анализа условия последовательно появляются на экране)

Вопросы учителя
Ответы ученика
- о какой геометрической фигуре идет речь в задаче?
-о треугольнике.
- что нам о нем известно?
- известно, что АВ = ВС = АС, т. е. он равносторонний,
- известно, что СН – высота.
- что надо найти?
- высоту СН.
- какие треугольники образует высота со сторонами данного треугольника?
- прямоугольные.
- как называется сторона СН треугольника АСН?
- катет.
- какую теорему применяем для нахождения катета прямоугольного треугольника?
- теорему Пифагора.
- что надо знать, чтобы найти катет треугольника?
- гипотенузу и другой катет.
- что мы знаем о высоте, проведенной к стороне равностороннего треугольника?
- она является медианой и биссектрисой.
- в качестве чего, медианы или биссектрисы, интересует нас высота СН?
- в качестве медианы.
- что мы знаем о медиане треугольника?
- соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны, т. е. точка Н - середина стороны АВ.
- сможем ли мы найти сторону АН?
К нахождению чего сводится наша задача?
-да.
К нахождению стороны АН

С Дано: ∆АВС, АВ = ВС = АС = 2, СН – высота.
2 Найти: СН.

А Н В
Решение: Рассмотрим ∆АСН. Он прямоугольный, т.к. СН – высота. По т. Пифагора Т. к. по условию треугольник АВС равносторонний и СН – высота, то СН – медиана. Найдем АН. Найдем СН. ∆АСН- прямоугольный => , где .
Оформление решения. (самостоятельно с последующей проверкой). Сначала кто-нибудь из учащихся предлагает свою запись решения, потом я показываю на экране. (2 мин)
Задания по группам. Решить задачу (задача не аналогичная разобранной, одна на все группы).
№ 2385 стр. 419, следуя всем этапам решения задачи.
1 группа представит рисунок, запись условия задачи и что надо найти.
2 группа постарается с другими группами проанализировать условие задачи.
3 группа покажет поиск решения и его оформление.
Решение задачи должно быть у каждой группы. (На столах, за которыми сидят группы, листы и фломастеры, на которых каждая группа записывает свой этап решения задачи). Каждая группа представляет свой этап решения задачи. Участники других групп задают вопросы ученикам, представляющим работу своей группы. После того, как каждая группа представила выполнение своего задания, проверяется решение задачи. Подвести итоги.
IV. Решение задач ЕГЭ
ФИПИ «Открытый банк данных» самостоятельно в группах
Два угла треугольника равны 40∘ и 130∘. Найдите величину внешнего угла при третьей вершине. Ответ дайте в градусах.
ОТВЕТ: 1700.
2. Один из углов равнобедренного треугольника равен 100∘. Найдите любой другой его угол. Ответ дайте в градусах.
ОТВЕТ: 400.
3. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 40∘. Найдите внешний угол при вершине второго острого угла. Ответ дайте в градусах.
ОТВЕТ: 1300.
4. Два угла треугольника равны 40∘ и 80∘. Найдите наибольший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 80о
5. В равнобедренном треугольнике угол при основании в два раза больше угла при вершине. Найдите угол при вершине. Ответ дайте в градусах.
ОТВЕТ: 36.
6. Дан прямоугольный треугольник, один из острых углов которого равен 24∘. Найдите угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины прямого угла.
Ответ: 21
7. Мальчик Ваня строит ворота. В высоту они должны достигать двух метров, в ширину – трёх. Если допустить, что углы, образованные косяками, окажутся прямыми, то какова будет длина троса, протянутой по диагонали от одного угла к другому?
Ответ:
8. (27918) Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен 300. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Ответ. 1
V. Подведение итогов урока.
Самооценка учащихся по всем этапам урока
VI.Рефлексия.
-имеет ли практическое значение данная тема?
VII. Задание на дом.
Задачи из банка открытых задач ЕГЭ №5061, 5067,5201, 21337

Памятка. Решение треугольников.
Задача состоит в нахождении неизвестных элементов треугольника по известным трем элементам.
Необходимо знать.
А 1) Теорему о сумме углов в треугольнике:

2) Теорему косинусов:
B C
3) Теорему синусов:

4) Против большей стороны лежит больший угол, против меньшей стороны лежит меньший угол.
5) Формулы приведения:
Sin(180° - ) = sin cos (180° - ) = -cos
Sin(90° + ) = cos cos (90° + ) = -sin
6) Основное тригонометрическое тождество:
0 ≤ ≤ 180°
0 < sin ≤ 1
-1 < cos < 1
7) Умение работать с таблицей Брадиса;
8) Теорема Пифагора.
9) Тригонометрические функции углов.

с в

В С
а

Read more ...

Автор(ы):

Скачать: Геометрия 11кл - урок 65.docx

урок 67

Название предмета: Геометрия.
Класс: 11.
УМК (название учебника, автор, год издания): «Геометрия 10-11 класс», Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др., 2014 г.
Уровень обучения (базовый, углубленный, профильный): базовый.
Тема урока: «Решение задач ЕГЭ».
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 13
Место урока в системе уроков по теме: двенадцатый.
Цель урока: повторить ранее изученный материал (мини – экзамен по теории), систематизировать подготовку к ЕГЭ;
Задачи урока:
Обучающие: проверить знания учащихся по теории 7-9 класса, закрепить навыки решения планиметрических задач. (мини – экзамен по теории)
Развивающие: создать условия для развития познавательной активности учащихся, познавательного интереса к предмету; развивать навыки самостоятельной деятельности учащихся; формировать учебно - познавательные действия, коммуникативные, исследовательские навыки учащихся.
Воспитывающие: создать условия успешности ученика на уроке; воспитывать культуру умственного труда; способность к самоанализу, рефлексии.
Планируемые результаты:
Предметные: знать теоретический материал по планиметрии.
Личностные: уметь отстаивать свою точку зрения и работать в группе.
Метапредметные: уметь планировать и оценивать процесс и результат своей деятельности, обрабатывать информацию.
Техническое обеспечение урока: ноутбук, проектор, экран.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на интернет-ресурсы):
1. Изучение геометрии 10-11 кл.: книга для учителя / С.М.Саакян, В.Ф. Бутузов. – М.: Просвещение, 2010.
2. Лаппо Л.Д., Морозов А.В. Геометрия. Типовые вопросы и задачи – М.: «Экзамен», 2015.
Содержание урока: определение трапеции, периметра трапеции, определение биссектрисы угла, теорема о накрест лежащих углах при параллельных прямых и секущей, определение равнобедренного треугольника (свойства равнобедренного треугольника), определение ромба, свойства диагоналей ромба, теорема Пифагора, формула D и корней квадратного уравнения, определение прямоугольной трапеции, где расположен центр описанной около прямоугольного треугольника окружности, определение sin, cos острого угла прямоугольного треугольника, формула площади прямоугольного треугольника через катеты, формула тригонометрии sin2α=2sinα·cosα., свойство высоты прямоугольного треугольника, опущенной из вершины прямого угла, формула для вычисления (формулы) площади трапеции.
.
Ход урока.
I. Организационный момент
Приветствие учащихся.
II. Мотивационный момент
Известный английский писатель Бернард Шоу говорил: «Умение мыслить математически – одна из благороднейших способностей человека».
Вам известны слова венгерского, швейцарского и американского математика Дьердь Пойа: «Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их». Сегодня мы с вами будем учиться смело входить в реку под названием Геометрия и будем учиться преодолевать ее течения, водовороты, чтобы благополучно достичь берега.
Игорь Федорович Шарыгин - преподаватель математики, автор многих книг по математике, учебников и учебных пособий считал, что геометрия – витамин для мозга. Слова «Геометрия – витамин мозга» будут эпиграфом нашего урока.
III. Актуализация опорных знаний.
1. Подготовка к ЕГЭ устно со всем классом решаем задачи по готовым чертежам.
Вычислите все неизвестные углы треугольника (по рис. 1–8). (Чертежи на доске)

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4

Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7 Рис. 8

2. Опрос по билетам
Каждой группе (в классе 3 группы по 4 человека) даётся лист с формулами 15 вопросов к билетам и лист оценивания. 5-7 минут обсуждение в группе.
Билеты по теории
Определение трапеции, периметра трапеции.
Определение биссектрисы угла.
Теорема о накрест лежащих углах при параллельных прямых и секущей.
Определение равнобедренного треугольника (свойства равнобедренного треугольника).
Определение ромба.
Свойства диагоналей ромба.
Теорема Пифагора.
Формула D и корней квадратного уравнения.
Определение прямоугольной трапеции.
Где расположен центр описанной около прямоугольного треугольника окружности.
Определение sin, cos острого угла прямоугольного треугольника.
Формула площади прямоугольного треугольника через катеты.
Формула тригонометрии sin2α=2sinα·cosα.
Свойство высоты прямоугольного треугольника, опущенной из вершины прямого угла.
Формула для вычисления (формулы) площади трапеции.
По окончанию опроса, каждая группа получает оценку по теории в зависимости от количества правильных ответов.
«5» - за 5 правильных ответов.
«4» - за 4 правильных ответа.
«3» - за 3 правильных ответа.
«2» - за 2 правильных ответа.
Лист оценивания
Ф.И.
Опрос уч-ся по теории (+;-)
Оценка группы по теории (2-5)
Решение 5 задач ЕГЭ (+;-)
Оценка за решения задач уч-ся
Оценка группы за решения задач
Оценка ученика за работу на уроке
Общая оценка группы

IV. Решение задач 5 задач ЕГЭ в группах.
Тексты 5 задач по планиметрии даются в каждую группу в виде 5 карточек. Критерии оценок, как и при опросе по теории. Ребята могут совещаться, решая задачи со всеми членами группы.
Тексты задач ЕГЭ по планиметрии
№ 1п. В равнобокой трапеции средняя линия равна 5 см, а большее основание на 18 см меньше её периметра. Найдите периметр трапеции, если её диагональ делит тупой угол пополам.
Ответ:[26 см]
№ 2п. Разность диагоналей ромба равна 10 см, а его периметр 100 см. Найдите сумму диагоналей ромба.
Ответ:[70 см]
№ 3п. В прямоугольной трапеции боковые стороны равны 8 см и 10 см. Чему равно её большее основание, если меньшее основание равно 10 см.
Ответ:[16 см]
№ 4п. Медиана СМ, проведённая из вершины прямого угла С треугольника АВС, равна 6. Найдите площадь треугольника, если один из его углов равен 15°.
Ответ:[18]
№ 5. В равнобокой трапеции диагонали перпендикулярны боковым сторонам. Чему равна площадь этой трапеции, если её основания равны 36 см 60 см?
Ответ:[1152 см2]
К доске вызывается любой ученик из группы для решения задачи у доски, если задача в группе решена. Ответ ученика влияет на оценку группы.
Критерии оценок:
4-5 задач “5”
3 задачи “4”
2 задачи “3”
0-1 задача “2”
Решение задач №1 - №4 (фронтально на доске с разбором затруднений)
№1
Дано: ABCD – равнобедренная трапеция, m = 5см (средняя линия трапеции), AD < PABCD на 18см, АС – диагональ трапеции ВСА = DCA
Найти: РABCD
Решение:
ВСА =DCA (по условию, т.к. АС – биссектриса BCD), ВСА =CAD (как накрест лежащие при параллельных прямых BC, AD и секущей АС). Значит, CAD = DCA. Поэтому, ACD – равнобедренный (AD = CD)
Пусть AD = CD = AB = x, ВС = у, тогда по условию задачи
х + у = 10 у = 10 – х
3х + у – х = 18 3х + 10 – х – х = 18
х + 10 = 18
х = 8, у = 2 – решение системы уравнений.
Р = 3х + у = 3*8 + 2 = 26 (см)
Ответ: 26 см
№2
Дано: ABCD – ромб, АС – BD = 10см, РABCD = 100см
Найти: AC + BD.
Решение: По свойству диагоналей ромба О – середина AC и BD. Пусть OC=y ; OD=x , то 2y - 2x=10 y-x=5
y=5+x (1)
По теореме Пифагора для COD: x2+y2=625 (2)
Составим и решим систему уравнений:
y=5+x y = 5+x
x2 + y2=625 x2 + (5+x)2=625
x2 +25 +10x +x2=625
2x2 +10x – 600 =0 :2
х2+5х-300=0
D=25+1200=1225 >0, 2 корня
x1 = -20; x2 = 15
x = -20 – не удовлетворяет условию задачи, тогда
x = 15 OC = 20см AC = 40 см
y = 20, т.е. OD = 15см BD = 30 см
AC + BD = 70 см
Ответ: 70 см
№3
Дано: ABCD – трапеция, B =A = 90°, BA = 8см; ВС=CD = 10 см;
Найти: AD
Решение: 1) В трапеции проведём высоту СК; ABCK - прямоугольник, тогда по свойству противоположных сторон прямоугольника AK= BC = 10см
2) По теореме Пифагора из треугольника CKD: KD = 6см
Поэтому AD = AK + KD = 10 + 6 = 16 см
Ответ: 16 см
№ 4
Дано: В ABC, C = 900, CM = 6 (медиана треугольника), B = 15о
Найти: SABC
Решение: 1) По теореме точка М – центр описанной около ABC окружности, CM – радиус этой окружности. Значит, AB = 12 см.
2) Найдём катеты AC и BC; BC = ABcos15о
AC = AB sin15о
3) SАВС=1/2 (ab)
SАВС= 1/2 (12*12* cos15о* sin15о) = 18 (см2)
Ответ: 18 см2
Оценить работу групп по практике.
V. Подведение итогов урока.
Ребятами ставится оценка каждому за работу на уроке, в зависимости от его вклада в решение задач и ответ по теории. Оценивание по результатам трех работ. Оценки получили: «5» - …, «4» - …, «3» - ….
VI. Рефлексия.
VII. Задание на дом.
Повторить формулы площадей фигур планиметрии. Тест, Вариант №71, с сайта Решу ЕГЭ.

Read more ...

Автор(ы):

Скачать: Геометрия 11кл - урок 67.docx

урок 66 (Агафонова Т.А.)

Урок № 66
Название предмета : геометрия
Класс: 11
УМК: « Геометрия 10-11», Атанасян Л.С.,Бутузов В.Ф., и д.р., 2011
Уровень обучения :базовый
Тема урока: Повторение по “Решение задач ЕГЭ”
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 5ч
Место урока в системе уроков по теме : 11
Цель урока:
Повторить и систематизировать вопросы темы “Решение задач ЕГЭ”
Задачи урока:
Образовательные: Повторить и систематизировать знания по данной теме и применить их при решении задач базового уровня и задач повышенного уровня сложности ЕГЭ;
Развивающие: развивать пространственное мышление, навыки общения в малых группах или в парах;
Воспитательные: усовершенствовать умение высказывать и аргументировать собственное мнение, развивать навыки самостоятельной деятельности.
Планируемые результаты:
После успешного завершения занятия учащиеся должны:
– знать основные определения и теоремы по курса геометрии 10-11 класса, уметь применять теорию при решении задач,
– уметь выполнять чертежи по условию задачи, находить на чертежах необходимые элементы;
- применять ранее изученный теоретический материал для решения задач и письменно оформлять их.
Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор, карточки.
Содержание урока.
Орг. Момент.
I. Мотивация учебной деятельности
Данная тема является важным этапом в подготовке к ЕГЭ.
II. Активизация опорных знаний
Беседа
1. Повторим понятия параллелепипеда, призмы и пирамиды. Вспомним формулы нахождения объёмов и поверхностей.

Устная работа.

1. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности цилиндра, если его высоту увеличить в 3 раза?
2. Во сколько раз уменьшится объём цилиндра, если его радиус уменьшить в 3 раза ?

3. Объем одного конуса в 64 раза больше объёма другого. Во сколько раз площадь боковой поверхности одного конуса больше боковой поверхности другого ?

4. Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

III. Повторение и систематизация знаний.

Работа в группах.(дифференцированная)
1 группа «3» Базовый уровень

1. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.
(ответ: 1,125)

2. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 0,5 высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
(ответ: 490)

2 группа «4» (профильный уровень)
1. Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π (ответ: 14)

2. В сосуд цилиндрической формы налили воду до уровня 80 см. Какого уровня достигнет вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в 4 раза больше, чем у первого? Ответ дайте в см.
(ответ: 5)

3. Найдите объем части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π (ответ: 243)

3группа «5» (профильный уровень)
1.В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.

Ответ: 64(11-4)

I. Cамостоятельная работа.

I
II
1. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности цилиндра, если его высоту увеличить в 9 раз?

1. Во сколько раз уменьшится объём цилиндра, если его радиус уменьшить в 25 раз ?

2. Одна цилиндрическая кружка втрое выше второй, зато вторая в 2 раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.
.
2. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 0,25 высоты. Объём жидкости равен 10 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

II. Подведение итогов урока.
Рефлексия:
Наше занятие подходит концу. Подведем итог нашего занятия. Сегодня мы повторили теоретический материал по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей», разобрали основные методы решения задач по теме. При возникновении затруднений и вопросов повторите еще раз теоретический материал по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей»
Пожалуйста, поделитесь с нами своими мыслями о сегодняшнем занятии (хотите одним предложением).
Вам для этого помогут слова:
-Я узнал…
-Мне было интересно …
- Мне было сложно …
-Мне понравилось …

Домашнее задание: Глава III, VII , ЕГЭ «4000 задач с ответами по математике, все задания, базовый и профильный уровни», Ященко И.В., Высоцкий И.Р., Забелин А.В.,
№ 2891,2857,2863,2834

Read more ...

Автор(ы):

Скачать: Геометрия 11кл - урок 66 (Агафонова Т.А.).doc

урок 68 (Агафонова Т.А.)

Урок № 68
Название предмета : геометрия
Класс: 11
УМК: « Геометрия 10-11», Атанасян Л.С.,Бутузов В.Ф., и д.р., 2011
Уровень обучения :базовый
Тема урока: Повторение по “Решение задач ЕГЭ”
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 5ч
Место урока в системе уроков по теме : 13
Цель урока:
Повторить и систематизировать вопросы темы “Решение задач ЕГЭ”
Задачи урока:
Образовательные: Повторить и систематизировать знания по данной теме и применить их при решении задач базового уровня и задач повышенного уровня сложности ЕГЭ;
Развивающие: развивать пространственное мышление, навыки общения в малых группах или в парах;
Воспитательные: усовершенствовать умение высказывать и аргументировать собственное мнение, развивать навыки самостоятельной деятельности.
Планируемые результаты:
После успешного завершения занятия учащиеся должны:
– знать основные определения и теоремы по курса геометрии 10-11 класса, уметь применять теорию при решении задач,
– уметь выполнять чертежи по условию задачи, находить на чертежах необходимые элементы;
- применять ранее изученный теоретический материал для решения задач и письменно оформлять их.
Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор, карточки.
Содержание урока.
Орг. Момент.
I. Мотивация учебной деятельности
Данная тема является важным этапом в подготовке к ЕГЭ.
II. Активизация опорных знаний
Беседа.
Повторить необходимые понятья.
1. Угол между скрещивающимися прямыми.
2. Перпендикуляр к плоскости.
3. Угол между прямой и плоскостью.
4. Угол между двумя плоскостями.
5. Теорема о трех перпендикулярах.
6. Дискуссия по решению геометрических задач вторым (координатно-векторным) методом.
Основные формулы:
1. Расстояние между точками А (, ), В , )
=.
2. Угол между плоскостями. Если β – угол между плоскостями, заданными уравнениями
  х+z+ =0 и  х+z+ =0, то
.
3. Расстояние от точки до плоскости. Если ρ – расстояние от точки (,), до плоскости  х+z+D =0, то
ρ=.
4. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки (, ),(, ),(, ), в координатной форме:
=0;
5. Если отрезок, концами которого служат точки А (, ), В , ) разделен точкой С (х, у,) в отношении λ, то координаты точки С определяются по формулам
Х =  ; у= ; z=.
6.Угол между прямой l и плоскостью α можно вычислить по формуле или в координатах , где - вектор нормали к плоскости α, - направляющий векор прямой l;

Устная работа.

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка Е - середина ребра B1B.
A) Найдите угол между прямыми AE и CD
B) Найдите угол между прямыми AE и BC
C) Найдите угол между прямыми BC и B1D1
D) Найдите угол между A1E и (ABC)
E) Найдите угол между AE и (ABC)
F) Найдите угол между (ABC) и (AЕC)

III. Повторение и систематизация знаний.

Дифференцированная работа.
«3-4» (профильный уровень)
Пользуясь рисунком, найдите:
1) проекцию наклонной SA на плоскость АОВ;
2) длину наклонной SA;
3) проекцию наклонной SB на плоскость АОВ;
4) длину наклонной SB;
5) расстояние между основаниями наклонных;
6) расстояние между прямыми SO и АВ.
1) а; 2) а; 3) а; 4) 2; 5) 2; 6) .
«5» (профильный уровень)
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 рёбра АВ и АА1 равны 1, а ребро АD=2. Точка Е – середина ребра В1С1. Найдите угол между прямой ВЕ и плоскостью (АВ1С).
Решение: Составим уравнение плоскости (АВ1С.):
ах+bу+cz+d=0, где a, b и c – координаты нормали к плоскости.
Чтобы составить это уравнение, необходимо определить координаты трёх точек, лежащих в данной плоскости: А(1; 0; 0), В1(0;0;1), С(0;2;0).
Решая систему
находим коэффициенты а, b и с уравнения ах+bу+cz+d=0: а= -d, b=, c=-d. Таким образом, уравнение примет вид или, после упрощения, 2х+у+2z-2=0. Значит, нормаль n к этой плоскости имеет координаты .
Найдем координаты вектора
Найдем угол между вектором и нормалью к плоскости по формуле скалярного произведения векторов:
.
Ответ: 45˚
I. Cамостоятельная работа ( с самопроверкой).
1) Дайте определение угла между плоскостями.
2) зависит ли величина угла между плоскостями от выбора секущей плоскости?
3) Плоскости α и β пересекаются по прямой m (рис. 291), точка А принадлежит плоскости α, точка В - в плоскости β, точка С - прямой m; АСm, ВСm, ACB = 60°. Укажите, какие из приведенных утверждений правильные, а какие - неправильные:
а) плоскость АВС перпендикулярна к прямой m;
б) углом между плоскостями α и β является угол между прямыми ВС и m;
в) угол между плоскостями α и β равен углу между прямой АС и плоскостью β;
г) угол между плоскостями α и β больше 60° ;
д) угол между плоскостями α и β равен 120°.

II. Подведение итогов урока.
Рефлексия:
Наше занятие подходит концу. Подведем итог нашего занятия. Сегодня мы повторили теоретический материал по теме «Углы в пространстве», разобрали основные методы решения задач по теме.

Притча. Шел мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу. У первого спросил: «Что ты делал целый день?» И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. У второго мудрец спросил: «А что ты делал целый день?» и тот ответил: «А я добросовестно выполнял свою работу». А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: «А я принимал участие в строительстве храма!»

Давайте мы попробуем каждый с вами оценить свою работу за урок.

Домашнее задание. Глава II.

№1 ( ЕГЭ 14) В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите угол между плоскостями АD1Е и D1FC, где точки Е и F-середины ребер А1В1 и В1С1 соответственно.

Решение: Введем прямоугольную систему координат с началом в точке А(0;0;0). Далее находим координаты тех точек, которые необходимы для составления уравнений плоскостей: (1;0;1), E(0;0,5;1), C(1;1;0), F(0,5;1;1). Составим уравнение плоскости (AE), используя уравнение А1х+В1у+С1z+D1=0. Подставим координаты всех трех точек в это уравнение и решим систему из трех уравнений:
А∙0 + В∙0 + С∙0 +D =0;
А∙1 + В∙0 + С∙1 +D =0;
А∙0 + В∙0,5 + С∙1 +D =0.
Получим, что А= - С, В= - 2С, D= 0. Таким образом, уравнение примет вид: х +2у – z =0.
Значит, А1=1, В1= 2, С1= -1
Составим уравнение плоскости (CF), используя уравнение А2х+В2у+С2z+D1=0. Подставим координаты всех трех точек в это уравнение и решим систему из трех уравнений:
А∙1 + В∙1 + С∙0 +D =0;
А∙1 + В∙0 + С∙1 +D =0;
А∙0,5 + В∙1 + С∙1 +D =0.
Получим, что В = С, А = 2С, D = - 3С. Таким образом, уравнение примет вид:
2х +у +z – 3 = 0. Значит, А2= 2, В2 = 1, С2= 1. По формуле:
.
Ответ: 60.

Read more ...

Автор(ы):

Скачать: Геометрия 11кл - урок 68 (Агафонова Т.А.).doc

урок 63 (Агафонова Т.А.)

Название предмета: геометрия
Класс: 11
УМК: « Геометрия 10-11», Атанасян Л.С.,Бутузов В.Ф., и д.р., 2011
Уровень обучения: базовый
Тема урока: Повторение “Решение задач ЕГЭ”
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 5ч
Место урока в системе уроков по теме: 8
Цель урока:
Повторить и систематизировать вопросы темы “Решение задач ЕГЭ”
Задачи урока:
Образовательные: Повторить и систематизировать знания по данной теме и применить их при решении задач базового уровня и задач повышенного уровня сложности ЕГЭ;
Развивающие: развивать пространственное мышление, навыки общения в малых группах или в парах;
Воспитательные: усовершенствовать умение высказывать и аргументировать собственное мнение, развивать навыки самостоятельной деятельности.
Планируемые результаты:
После успешного завершения занятия учащиеся должны:
– знать основные определения и теоремы по курса геометрии 10-11 класса, уметь применять теорию при решении задач,
– уметь выполнять чертежи по условию задачи, находить на чертежах необходимые элементы;
- применять ранее изученный теоретический материал для решения задач и письменно оформлять их.
Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор, карточки.
Содержание урока.
Орг. Момент.
I. Мотивация учебной деятельности
Данная тема является важным этапом в подготовке к ЕГЭ.
II. Активизация опорных знаний
Беседа
1. Повторим понятия параллелепипеда, призмы и пирамиды. Вспомним формулы нахождения объёмов и поверхностей.

Устная работа.

1. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в 3 раза?

2. Диагональ куба равна 1. Найдите площадь его поверхности.

3. Объем одного куба в 8 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

4. Объем куба равен 24. Найдите его диагональ.

5. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.

6. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.

III. Повторение и систематизация знаний.

Работа в группах.(дифференцированная)
1 группа «3» Базовый уровень

1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка S – центр основания, S – вершина, SO=15, BD=16. Найдите боковое ребро SA

2. Объем одного куба в 8 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

3. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2300 см воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Найдите объем детали. Ответ выразите в см.

2 группа «4» (профильный уровень)

1. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, и боковым ребром, равным 10. (ответ: 248)

2. Объём куба равен 12. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.(ответ: 1,5)

3. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
(ответ: 360)

3группа «5» (профильный уровень)
Правильные треугольники ABC и MBC лежат в перпендикулярных плоскостях, BC = 8. Точка P — середина CM, а точка T делит отрезок BM так, что BT : TM = 1 : 3. Вычислите объём пирамиды MPTA

Ответ: 24

I. Cамостоятельная работа.

I
II
1.Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в 5 раз?

1.Объем одного куба в 27 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

2.Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 12 и 16, и боковым ребром, равным 20.
2.Объём куба равен 24. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

Домашнее задание: Глава III, VII , ЕГЭ «4000 задач с ответами по математике, все задания, базовый и профильный уровни», Ященко И.В., Высоцкий И.Р., Забелин А.В.,
№ 2738,2857,2867,2904

Read more ...

Автор(ы):

Скачать: Геометрия 11кл - урок 63 (Агафонова Т.А.).docx

Тип материала

Решение задач ЕГЭ

Текст урока

урок 65

урок 67

урок 66 (Агафонова Т.А.)

урок 68 (Агафонова Т.А.)

урок 63 (Агафонова Т.А.)

Создание нового материала