Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Название предмета: Геометрия
Класс:11
УМК: Геометрия 10-11,Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев,2013г
Уровень обучения: базовый
Урок №52
Тема урока: Решение задач на объемы шара и его частей
Общее количество часов, отведенное на изучение темы:17
Место урока в системе уроков по теме:13
Цель урока: совершенствовать навыки решения задач на применение формул для вычисления объемов частей шара
Задачи урока:
образовательные: систематизировать знания, умения и навыки по данной теме, отработать навыки решения задач при решении самостоятельной работы.
развивающие: способствовать развитию познавательного интереса обучающихся, творческой активности, умения анализировать и обобщать полученные знания.
воспитательные: способствовать воспитанию познавательной активности, самостоятельности.
Планируемые результаты:
Учащиеся должны уметь решать геометрические задачи, связанные с вычислением объемов частей шара.
Дидактический материал: карточки самостоятельной работы
Содержание урока:
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока
II. Актуализация опорных знаний учащихся
Теоретический опрос. Фронтальная работа с классом
(В этот момент два ученика записывают на доске краткое решение домашнего задания №715,720). Затем после вопросов классу, заслушать ответы учащихся.
Дать определение шарового сегмента
Записать формулу объема шарового сегмента
Дать определение шарового слоя. Записать формулу нахождения объема шарового слоя
Дать определение шарового сегмента. Записать формулу для вычисления объема шарового сегмента
III. Решение задач на формирование умений и навыков учащихся
№1. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 3 см и 9 см. На какие части делится объем шара?
(Ответ:243 см3)
№2. Найти отношение сегментов из задачи № 1.
(Ответ: V1 :V2=5/27)
№ 3. Какую часть шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара?
(Ответ: 2,8%)
IV. Физминутка
(для тренировки мышц глаз)
1. Сидя, медленно переводить взгляд с пола на потолок и обратно (8 – 12 раз).
2. Медленно переводить взгляд справа налево и обратно (8 – 10 раз).
3. Частые моргания в течение 15 – 30 секунд.
V. Самостоятельная работа (по уровням)
I уровень
1. Шар радиуса R пересечен плоскостью, отстоящей от его центра на расстоянии R/2. В каком отношении эта плоскость делит объем шара?
2. Чему равен объем шар, описанного около куба с ребром 2?
II уровень
1. Радиусы трех шаров 3, 4, 5 см. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.
2. Чему равен объем шара, вписанного в куб с ребром 1?
III уровень
1. Какая фигура имеет больший объем: шар радиуса 1 дм или правильная треугольная призма, каждое ребро которой равно 2 дм?
2. Диаметр шара, равный 30 см, служит осью цилиндра, у которого радиус основания равен 12 см. Найдите объем части шара, заключенный внутри цилиндра.
Ответы:
I уровень 1) 5/27 2)
II уровень 1)6 см 2) 1/6
III уровень 1) объем шара больше 2) 3528 см3
VI. Итог урока
Покажите на чертеже шаровой слой и шаровой сегмент
Собрать тетради учащихся для проверки самостоятельной работы
VII. Рефлексия
Что вызвало трудности?
Какие умения приобрели сегодня?
Где могут пригодиться эти умения?
VIII. Домашнее задание
П. 82-83 повторить формулы № 719, 756.
Автор(ы):
Скачать: Геометрия 11кл - конспект.docxРешение задач на применение формулы объема шара Название предмета Геометрия Класс 11 УМК Атанасян Л.С, Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия . 10-11 кл. Уровень обучения базовый Тема урока Решение задач на применение формулы объема шара Общее количество часов, отведенное на изучение темы 21 Место урока в системе уроков по теме 15 Цель урока совершенствовать навыки решения задач на применение формул для вычисления объема шара Задачи урока продолжить формирование умений решать задачи на применение формул объема шара; систематизировать и обобщить знания по применению формул в практической деятельности; воспитать ответственное отношение к учебе, трудолюбие, целеустремленность;объективно оценивать свои знания, осуществлять самоконтроль взаимоконтроль. развивать пространственное мышление обучающихся, умения анализировать и систематизировать материал, делать выводы, умение применять полученных в различных ситуациях, в том числе в практической деятельности Планируемые результаты Рассмотреть ряд задач на комбинацию различных тел и на нахождение их объемов Техническое обеспечение Модели геометрических фигур; плакат; компьютер, проектор, экран, карточки-задания Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока Поурочные разработки по геометрии: 11 класс / Сост. В.А. Яровенко. – М.: ВАКО, 2010. – (В помощь школьному учителю). Тип урока Урок закрепления изучаемого материала Содержание урока: 1) Организационный момент Сообщить тему урока, сформулировать цели урока. 1) подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний Три ученика вызываются к доске и получают задания: а) вывести формулу для вычисления объема шара; б) кратко записать решение домашнего задания № 710 а), б), 711; в) краткое решение № 713. Задача № 710 а). Дано: R = 4 см. Найти: V и S. Решение. (Ответ: ) Задача № 710 б). Дано: V = 113,04 см3. Найти: S. Решение. (Ответ: 36π см2.) Задача № 711. Решение: если то (Ответ: в 4 раза.) Задача № 713. Решение: h= 12 см, r = 5/2 = 2,5 см. (Ответ: 125/6π см3.) Надо сравнить объемы конуса и шара: 25π и 125/6π, 150 и 125. Так как 150 > 125, то 25π > 125π/6, Vк > Vш., то есть растаявшее мороженое уместится в стаканчике. Пока ученики готовятся у доски, остальным учащимся предлагается ответить на вопросы математического диктанта через копирку. Предлагается два варианта. Математический диктант. 1. Вычислите объем шара, если его радиус R = 6 см. [R = 5 см]. 2. Вычислите диаметр шара, если его объем V = 36π. [V= 32π/3]. 3. Объем шара равен 256π/3 см3. [288π см3]. Найдите площадь большего круга [длину окружности большего круга]. 4. В цилиндр вписан шар радиуса R = 1 [R = 2]. Найдите отношение Vцил. : Vшара [Vшара : Vцил.]. 5. Для вычисления объема шара ученик предложил свою формулу Какие он должен дать пояснения, подтверждающие правильность этой формулы? Ответы к математическому диктанту: Вариант I 1. 228π; 2. 3; 3. 16π; 4. Вариант II 1. 500π/3; 2. 2; 3. 12π; 4. Проверяются ответы на вопросы диктанта, слушается доказательство, проверяется домашнее задание. 2) Закрепление полученных знаний 1. Разобрать и решить задачу. Один из учащихся решает задачу у доски, остальные в тетрадях. Учитель контролирует правильность решения, при необходимости задает наводящие вопросы. Задача. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 10√3, а угол боковой грани с плоскостью основания равен 60°. Найдите объем шара, вписанного в пирамиду (рис. 1). Решение: Рассмотрим сечение, проведение через высоту пирамиды и две апофемы. В сечении получается ΔАВС - равносторонний. Радиус вписанной в него окружности будет равен (Ответ: .) 2. Подробно разбирается решение задачи у доски и записывается учениками в тетрадях. Задача. В шар вписана правильная треугольная призма так, что ее высота вдвое больше стороны основания. Найдите объем шара, если объем призмы равен 27/π (рис. 2). Решение: 1) Пусть х - сторона основания. Тогда высота призмы 2х. Ее объем V = Sосн. · h. По условию 2) Радиус R найдем из ΔOO1A1. O1A1 - радиус описанной окружности около треугольника A1B1C1. , так как О - середина О1О2. Объем шара (Ответ: V = 64.) 3. Один ученик решает задачу у доски, остальные записывают решение в тетрадях. Задача. В конус, осевое сечение которого равносторонний треугольник, вписан шар. Найти объем шара, если объем конуса равен 27 (рис. 3). Решение: В осевом сечении комбинации тел получим равносторонний треугольник (по условию) и вписанный в него круг. Радиус шара равен радиусу круга, а диаметр основания конуса равен стороне АС треугольника. Пусть х - радиус основания конуса. Тогда АС = 2х, высота BM = x√3 (из ΔВMС). Объем конуса V = 27. (Ответ: ) Радиус окружности, вписанной в треугольник, найдем по формуле Наконец, объем шара (Ответ: V = 12.) 3) постановка заданий на дом Вопрос № 11 (стр. 161), № 753, 754. Дополнительные задачи. I уровень Внешний диаметр полого шара 18 см, толщина стены 3 см. Найдите объем материала, из которого изготовлен шар. Решение: (Ответ: 684π см3.) II уровень Диаметр свинцового шара равен 30 см. Сколько шариков, диаметр которых 3 см, можно сделать из этого свинца? Решение: 4) подведение итогов урока, выставление отметок. Используемая литература: 1. Геометрия, 10-11 : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.] – М. : Просвещение, 2010. 2. Поурочные разработки по геометрии: 11 класс / Сост. В.А. Яровенко. – М.: ВАКО, 2010. – (В помощь школьному учителю).
Автор(ы):
Скачать: Геометрия 11кл - урок (Петрова О.В.).docxОбъем шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора Название предмета Геометрия Класс 11 УМК Атанасян Л.С, Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия . 10-11 кл. Уровень обучения базовый Тема урока Объем шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора Общее количество часов, отведенное на изучение темы 21 Место урока в системе уроков по теме 16 Цель урока вывести формулу объема шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора, ознакомить с примерами практического применения формулы объемов шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора в практической деятельности Задачи урока познакомить с формулой для вычисления объема шарового сектора, шарового слоя, шарового сегмента; показать применение формулы объема шара при решении задач; воспитать ответственное отношение к учебе, трудолюбие, целеустремленность; объективно оценивать свои знания, осуществлять самоконтроль взаимоконтроль. развивать пространственное мышление обучающихся, умения анализировать и систематизировать материал, делать выводы, умение применять полученных в различных ситуациях, в том числе в практической деятельности Планируемые результаты познакомиться с формулой для вычисления объема шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора; научиться использовать формулы объема шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора при решении задач практического содержания Техническое обеспечение Модели геометрических фигур; плакат; компьютер, проектор, экран, карточки-задания Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока Поурочные разработки по геометрии: 11 класс / Сост. В.А. Яровенко. – М.: ВАКО, 2010. – (В помощь школьному учителю). Тип урока Урок ознакомления с новым материалом Содержание урока: 1) Организационный момент Сообщить тему урока, сформулировать цели урока. 1) подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний - Площадь круга. Длина окружности. (S = πR2, С = 2πR = πD). - Что называется сектором круга? Его площадью? (Круговым сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. .) - Что называется сферой? Шаром? Центром, радиусом и диаметром шара? (Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.) (Шаром называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R, и не содержит других точек.) - Что является сечением сферы? Шара? (Окружность, круг.) - Что называется большим кругом шара? - Объем шара. 2) ознакомление с новым материалом 1. Шаровым сегментом называется часть шара, отсеченная от него какой-нибудь плоскостью (рис. 1 а) и в)). Круг, получившийся в сечении, называется основанием двух получившихся при этом сегментов. Сегмент, в переводе с латинского (segmentum) отрезок (круга). Длины отрезков АВ и ВС (рис. 2) диаметра АС, перпендикулярного секущей плоскости, называются высотами сегмента. Если AB = h, a R- радиус шара, то Докажем справедливость формулы (рис. 2). Проведем ось ОХ перпендикулярно плоскости α. Тогда площадь сечения S(x) = π(R2 - х2), при R - α ≤ х ≤ R. Рассмотрим ΔКВО (∠β = 90°; ВО = х; КО = R). По основной формуле для вычисления объемов тел получим 2. Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями. Круги, получившиеся в сечении шара этими плоскостями, называются основаниями слоя, а расстояние между плоскостями - высотой шарового слоя. 3. Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом меньшим 90°, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов (рис. 4). Сектор (от латинского sectio) - сечь, отделять, расчленять, делать отдельным. 4) первичное осмысление и закрепление связей и отношений в объектах изучения Задача № 716. Работа в рабочих тетрадях. Один из учеников работает у доски, остальные в тетрадях (рис. 5). Решение: 1) Обозначим радиус шара через R, тогда АС = ВС = R/2. Общая часть шаров состоит из двух равных шаровых сегментов с высотой h = R/2. (Ответ: 5/16.) Задача № 718. Учащиеся работают самостоятельно, затем один из учащихся читает свое решение и записывает его на доске, остальные проверяют, исправляют ошибки (рис. 6). Дано: шар, AD - диаметр, АВ = ВС = CD, R - радиус шара. Найти: Vслоя. Решение: Vслоя = Vcerм.1 - Vcerм.2. Vcerм.1 = объем сегмента с высотой АC. AC = 4R/3. Vcerм.2 = объем сегмента с высотой АB. AB = 2R/3. (Ответ: ) Задача № 721. Подробный разбор задачи и запись ее в тетради (рис. 7). Решение: Пусть круговой сектор ОАВ вращается около радиуса ОА. В сечении получившегося шарового сектора плоскостью ОАВ получится еще один круговой сектор ОАС, симметричный исходному относительно прямой АО и имеющий тот же угол 30°. Угол БОС равен 60°, ОВ = OC = h, поэтому ΔBОС правильный, причем его сторона ВС отсекает от радиуса ОА отрезок AD, равный высоте Н соответствующего шаровому сектору сегмента. Найдем ее: Остается по формуле найти объем сектора: (Ответ: ) 5) постановка заданий на дом П. 72, № 715, 717, 720. Дополнительная задача Диаметр шара, равный 30 см, служит осью цилиндра, у которого радиус основания равен 12 см. Найдите объем части шара, заключенный внутри цилиндра. (Ответ: 3528π см3.) 6) подведение итогов урока. Используемая литература: 1. Геометрия, 10-11 : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.] – М. : Просвещение, 2010. 2. Поурочные разработки по геометрии: 11 класс / Сост. В.А. Яровенко. – М.: ВАКО, 2010. – (В помощь школьному учителю).
Автор(ы):
Скачать: Геометрия 11кл - Объем шарового сегмента, шарового сектора (Петрова О.В.).docxРешение задач на объем шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора Название предмета Геометрия Класс 11 УМК Атанасян Л.С, Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия . 10-11 кл. Уровень обучения базовый Тема урока Объем шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора Общее количество часов, отведенное на изучение темы 21 Место урока в системе уроков по теме 17 Цель урока совершенствовать навыки решения задач на применение формул для вычисления объема шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора, ознакомить с примерами практического применения формулы объемов шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора при решении более сложных задач Задачи урока продолжить формирование умений решать задачи на применение объема шарового сектора, шарового слоя, шарового сегмента; воспитать ответственное отношение к учебе, трудолюбие, целеустремленность; объективно оценивать свои знания, осуществлять самоконтроль взаимоконтроль. развивать пространственное мышление обучающихся, умения анализировать и систематизировать материал, делать выводы, умение применять полученных в различных ситуациях, в том числе в практической деятельности Планируемые результаты совершенствовать навыки решения задач на применение формул для вычисления объемов частей шара Техническое обеспечение Модели геометрических фигур; плакат; компьютер, проектор, экран, карточки-задания Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока Поурочные разработки по геометрии: 11 класс / Сост. В.А. Яровенко. – М.: ВАКО, 2010. – (В помощь школьному учителю). Тип урока Урок закрепления изучаемого материала Содержание урока: 1) Организационный момент Сообщить тему урока, сформулировать цели урока. 1) подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний 1. Теоретический опрос. Фронтальная работа с классом. (В этот момент два ученика кратко записывают решение домашнего задания № 720, 715). - Дать определение шарового сегмента. - Записать формулу объема шарового сегмента. - Дать определение шарового слоя. Записать формулу нахождения объема шарового слоя. - Дать определение шарового сегмента. Записать формулу объема шарового сегмента. После обсуждения вопросов заслушать ответы учеников, работавших у доски. Задача № 720 (рис. 1). Решение: Пусть R - радиус шара, r - радиус основания сегмента. Вычислим высоту сегмента Н = РО1, OP = R. Из прямоугольного ΔОО1М: Задача № 715 (рис. 2). Пусть АС = А, АВ = r, r - радиус клумбы, примем радиус шара равным RMX. Рассмотрим центральное сечение шара. CD = 2R, ∠CBD = 90°, так как он опирается на диаметр CD. Из ΔCDB: СВ = 2Rcosα, из ΔАСВ: Получим уравнение: (Ответ: ) 2) Закрепление полученных знаний 1. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 3 см и 9 см. На какие части делится объем шара? Решение: R = (3 + 9) : 2 = 6 см. Высота меньшего сегмента h равна 3 см. Его Значит, 2. Найти отношение сегментов из предыдущей задачи. (Ответ: ). 3. Какую часть шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара? Решение: Десятая часть диаметра есть пятая часть радиуса. Значит, высота сегмента (Ответ: 2,8%.) 4. Самостоятельная работа обучающего характера. I уровень 1. Шар радиуса R пересечен плоскостью, отстоящей от его центра на расстоянии R/2. В каком отношении эта плоскость делит объем шара? 2. Чему равен объем шара, описанного около куба с ребром 2? II уровень 1. Радиусы трех шаров 3, 4 и 5 см. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов. 2. Чему равен объем шара, вписанного в куб с ребром 1? III уровень 1. Какая фигура имеет больший объем: шар радиуса 1 дм или правильная треугольная призма, каждое ребро которой равно 2 дм? 2. Диаметр шара, равный 30 см, служит осью цилиндра, у которого радиус основания равен 12 см. Найдите объем части шара, заключенный внутри цилиндра. 5) постановка заданий на дом № 917, 756. 6) подведение итогов урока. Используемая литература: 1. Геометрия, 10-11 : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.] – М. : Просвещение, 2010. 2. Поурочные разработки по геометрии: 11 класс / Сост. В.А. Яровенко. – М.: ВАКО, 2010. – (В помощь школьному учителю).
Автор(ы):
Скачать: Геометрия 11кл - Решение задач на объем шарового сегмента(Петрова О.В.).docxАвтор(ы):
Скачать: Геометрия 11кл - ср.docx
