Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Название предмета: Геометрия
Класс:11
УМК: Геометрия 10-11,Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев,2013г
Уровень обучения: базовый
Урок №50
Тема урока: Объем шара
Общее количество часов, отведенное на изучение темы:17
Место урока в системе уроков по теме:11
Цель урока: Вывести формулу объёма шара
Задачи урока:
образовательные: ввести формулы для отыскания объёма шара, отработать навыки решения задач с использованием изученной формулы
развивающие: способствовать развитию познавательного интереса обучающихся, творческой активности, умения анализировать и обобщать полученные знания. Развивать мышление и диалоговую речь, содействовать формированию интереса к изучению геометрии, показать связь геометрии с окружающей действительностью.
воспитательные: способствовать воспитанию познавательной активности, самостоятельности.
Планируемые результаты:
Учащиеся должны уметь изображать шар.
Учащиеся должны уметь решать простейшие геометрические задачи, связанные с шаром.
Техническое обеспечение урока: мультимедийный проектор, компьютер, экран, презентация.
Содержание урока:
I. Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока
II. Актуализация опорных знаний учащихся
Фронтальная работа с классом
Посмотрите на следующие иллюстрации. Что объединяет все эти картинки? (слайд № 2)
Древние, говоря о совершенстве и красоте природного мира, выражали эту идею с помощью шара.
Многие реальные объекты астрономии, биологии, химии, физики и других естественных наук имеют форму шара. В различные эпохи изучению данного понятия отводилась значительная роль. Вот и мы с вами посвятим наше занятие изучению шара. В школьном курсе стереометрии мы изучаем различные геометрические тела. Чем, по вашему мнению, шар отличается от всех остальных геометрических тел?
Но, не смотря на различия, все геометрические тела, обладают одними количественными характеристиками. Какими? (Объем) Именно объем шара и будет темой нашего урока. (слайд № 3)
Но, для начала давайте вспомним некоторые понятия:
Дайте определение, что называется шаром, радиусом и диаметром шара?
Дайте определение площади поверхности шара. Запишите формулу площади поверхности шара (S = 4 π R2)
III. Изучение нового материала
В современных учебниках формулы для вычисления объёмов тел пирамиды, конуса и шара выводятся на основе интегральной формулы. Но этот простой и изящный способ появился благодаря трудам И.Ньютона и Г. Лейбница (слайд № 4)
гораздо позже того как были открыты сами формулы. Докажем формулу для вычисления объёма шара, используя интегральную формулу и тот алгоритм, по которому мы доказывали предыдущие формулы.
Так как эта формула дается нам через теорему, которая доказывается с помощью определенного интеграла, как и многие другие формулы для вычисления объемов тел, поэтому сильному ученику можно предложить вывести формулу для вычисления объёма шара на доске
Доказательство:
(слайд № 5 )
1. Проведем в шаре с центром в т. О и радиусом R ось Ох произвольным образом.
2. Через точку х оси Ох проведем сечение, перпендикулярное оси. В сечении будет круг.
3. Обозначим площадь сечения S(x) и выразим его через радиус шара:
Из треугольника ОМС найдем радиус: r = ,
тогда S(x) = πr² =π(R²-х²), где –R ≤ x ≤ R.
4.
Замечание: на практике часто указывается диаметр шара, поэтому в процессе решения задач будем использовать следующую формулу:
, где D – диаметр шара
IV. Формирование умений и навыков учащихся
Работа по учебнику стр. 177 у доски
№ 710 а,в (а- 64 π см2, 256/3 π см3; в- 4 см, 256/3 π см3)
Решение задачи «Реальной» математики «Задача Архимеда» (слайд № 6)
На надгробном камне могилы Архимеда в Сиракузах изображен цилиндр с вписанным в него шаром. Это символ открытия формул объёма шара и площади сферы, а также важного вывода, что объём шара, вписанного в цилиндр, в… раз меньше объёма цилиндра и что также относятся поверхности этих тел» Найдите это отношение.
Учащиеся решают самостоятельно.
Решение: (слайд № 7)
V. Физминутка
(для тренировки мышц глаз)
1. Сидя, медленно переводить взгляд с пола на потолок и обратно (8 – 12 раз).
2. Медленно переводить взгляд справа налево и обратно (8 – 10 раз).
3. Частые моргания в течение 15 – 30 секунд.
VI. Математический диктант (слайд № 8)
1. Вычислите объем шара, если его радиус R = 6 см. [R = 5 см].
2. Вычислите диаметр шара, если его объем V = 36π. [V= 32π/3].
3. Объем шара равен 256π/3 см3. [288π см3]. Найдите площадь большего круга [длину окружности большего круга].
4. В цилиндр вписан шар радиуса R = 1 [R = 2]. Найдите отношение Vцил. :Vшара [Vшара : Vцил.]
Ответы к математическому диктанту: (слайд № 9)
Вариант I 1. 228π; 2. 6; 3. 16π; 4. 3/2
Вариант II 1. 500π/3; 2. 4; 3. 12π; 4. 2/3
VII. Итог урока
Оценить работу учащихся на уроке и выставить оценки
VIII. Рефлексия
На сегодняшнем уроке мы с вами вывели формулу объема шара, выяснили, что данные тела имеют широкое практическое применение и сделали небольшое открытие, которое еще в 3 веке до нашей эры сделал Архимед.
Что было интересного сегодня на уроке?
Что вызвало трудности?
Какие умения приобрели сегодня?
Где могут пригодиться эти умения?
IX. Домашнее задание (слайд № 10)
П. 82 выучить доказательство теоремы № 710 (б), 711
Доп. задание: внешний диаметр полого шара 18 см, толщина стены 3 см. Найти объем материала, из которого изготовлен шар.
Автор(ы):
Скачать: Геометрия 11кл - конспект.docx Объем шара
Название предмета
Геометрия
Класс
11
УМК
Атанасян Л.С, Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия . 10-11 кл.
Уровень обучения
базовый
Тема урока
Объем шара
Общее количество часов, отведенное на изучение темы
21
Место урока в системе уроков по теме
14
Цель урока
вывести формулу объема шара, ознакомить с примерами практического применения формулы объема шара в практической деятельности
Задачи урока
познакомить с формулой для вычисления объема шара; показать применение формулы объема шара при решении задач;
воспитать ответственное отношение к учебе, трудолюбие, целеустремленность; объективно оценивать свои знания, осуществлять самоконтроль взаимоконтроль.
развивать пространственное мышление обучающихся, умения анализировать и систематизировать материал, делать выводы, умение применять полученных в различных ситуациях, в том числе в практической деятельности
Планируемые результаты
познакомиться с формулой для вычисления объема шара; научиться использовать формулу объема шара при решении задач практического содержания
Техническое обеспечение
Модели геометрических фигур; плакат; компьютер, проектор, экран, карточки-задания
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока
Поурочные разработки по геометрии: 11 класс / Сост. В.А. Яровенко. – М.: ВАКО, 2010. – (В помощь школьному учителю).
Тип урока
Урок ознакомления с новым материалом
Содержание урока:
1) Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
1) подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию
опорных знаний
Теоретический опрос (фронтальная работа с классом).
- Что называется шаром?
- Что называется радиусом, диаметром шара?
- Дайте определение площади поверхности шара и запишите формулу площади поверхности шара (S = 4πR2).
2) ознакомление с новым материалом
В современных учебниках формулы для вычисления объема шара выводятся на основе интегральной формулы. Этот простой и изящный способ появился благодаря трудам И. Ньютона и Г. Лейбница гораздо позднее того как были открыты сами формулы. Изучим и мы доказательство формулы .
Для доказательства используем метод координат, который ввел в геометрию Р. Декарт.
Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось Ox произвольным образом. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ox и проходящей через точку М этой оси, является кругом с центром в точке М.
Выразим S(x) через x и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим
.
Так как S(x) = πr2, то
.
Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т. е. для всех х, удовлетворяющих условию . Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а = -R, b = R, получаем:
Теорема об объеме шара доказана.
В практических приложениях часто указывается диаметр шара, поэтому в процессе решения задач полезно использовать формулу: где D - диаметр шара.
3) первичное осмысление и закрепление связей и отношений в объектах изучения
1. Работа в рабочих тетрадях:
а) разобрать и записать решение задачи № 710 в) (краткое решение).
Дано: шар, S = 64π см2.
Найти: R и V.
Решение: Так как имеем Тогда (Ответ: R = 4 см, )
б) задача № 712.
Дано: Vшара = Vцил., Dшара = Dцил.
Выразить Hцил. через R.
Решение. (Ответ: Н = 4/3R.)
в) разобрать и записать в тетрадях вопрос № 9 к главе VII (стр. 161).
(Ответ: )
2) Решение дополнительной задачи.
На надгробном камне могилы Архимеда в Сиракузах изображен цилиндр с вписанным в него шаром. Это символ открытия формул объема шара и площади сферы, а также важного вывода, что «объем шара, вписанного в цилиндр, в ... раз меньше объема цилиндра и что также относятся поверхности этих тел». Найдите отношение объема шара к объему цилиндра и отношение площади шара к площади поверхности цилиндра.
Решение: Вспомнив формулы, о которых говорилось в условии задачи, запишем отношение
Эти отношения и соотношения следует выделить и запомнить.
4) постановка заданий на дом
П. 71 № 710 а), б); 711, 713 (выучить доказательство теоремы). Дополнительная задача: Из деревянного равностороннего цилиндра выточен наибольший возможный шар. Сколько процентов материала сточено?
Решение:
1) Из условия задачи вытекает, что высота цилиндра H = 2R, подставим значение Н в формулу объема цилиндра:
2) Объем шара
3) Найдем, сколько сточено материала:
4) Найдем, сколько % составляет сточенный материал: (Ответ: )
5) подведение итогов урока.
Используемая литература:
1. Геометрия, 10-11 : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.] – М. : Просвещение, 2010.
2. Поурочные разработки по геометрии: 11 класс / Сост. В.А. Яровенко. – М.: ВАКО, 2010. – (В помощь школьному учителю).
Автор(ы):
Скачать: Геометрия 11кл - урок (Петрова О.В.).docxАвтор(ы):
Скачать: Геометрия 11кл - презентация.pptx
