Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета

Учителю
  • Быстрый поиск
  • Расширенный поиск
Предметы
Класс
Тип материала:
Разделы:
Темы:

Тип материала

Объем конуса

Текст урока

  • конспект 

     Название предмета: геометрия
Класс: 11 
УМК (название учебника, автор, год издания): Геометрия 10 – 11, Л.С. Атанасян, 2010
Уровень обучения (базовый, углубленный, профильный): базовый
Тема урока: Объем конуса. 
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 1
Место урока в системе уроков по теме: № 9 из 17
Цель урока: выведение формулы объема конуса с помощью определенного интеграла и усеченного конуса.
Задачи урока:
образовательные:
повторение и первичная систематизация сведений о конусе; 
знакомство с выводом формулы объема конуса и усеченного конуса;
использование формулы при решении задач.
воспитательные:
воспитание аккуратности и внимательности при записи формул и построении чертежей;
формирование навыков контроля и самоконтроля;
активизация познавательной деятельности в коллективе и формирование навыков сотрудничества в решении поисковых задач
развивающие:
развитие умения логически мыслить, аргументировать, доказывать;
развитие умения применять полученные знания в нестандартных ситуациях;
развитие абстрактного и наглядно-образного мышления

Планируемые результаты: учащиеся должны научиться применять формулы объема конуса и усеченного конуса при решении задач.
Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на интернет-ресурсы): https://ege.sdamgia.ru/test?theme=123 
Содержание урока:
1. Организационный момент. Постановка домашнего задания.
2. Проверка домашнего задания 
3. Актуализация опорных знаний
4. Формирование новых знаний.
5. Формирование умений и навыков
6. Итоги работы, рефлексия

Ход урока.
1. Организационный момент.
Домашнее задание. П. 81, №№701, 704, 709
2. Актуализация опорных знаний.
Повторение элементов конуса	 Приложение 2 (слайд 1)


Решение задач на нахождение площади круга
https://ege.sdamgia.ru/test?theme=123
3. Формирование новых знаний.
Теорема:  Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
Доказательство теоремы с помощью определенного интеграла  V = . (по учебнику)

Следствие: Объем усеченного конуса вычисляется по формуле 
Выводят самостоятельно

4. Формирование умений и навыков.

1. Вычислите объем конуса, если его высота 6, а площадь основания 42. (84)
2. Объем конуса с радиусом основания 4 и высотой 6 равен…  (32 π)
3. Найдите площадь основания конуса, если его объем равен 256, а высота 4. (252)
4. Вычислите объем усеченного конуса, высота которого 3, а площадь оснований 16 и 4 (32)
5. Вычислите объем усеченного конуса, если радиусы его оснований равны 3 и 9, а высота 6 (234 π)
	
5.  Итог урока.
1. Что необходимо измерить у конуса для нахождения его объема?
2. Зная радиус основания и объем, что можно найти у конуса?
3. Зная высоту и объем, что можно определить у конуса?
4. Если известна образующая и радиус основания, можно ли определить объем конуса?
5. С формулой вычисления объема какого многогранника можно сравнить общую формулу вычисления объема конуса?
6. Что общего и отличительного в этих формулах?
7. Формула вычисления площади круга через радиус?
8. Формула вычисления площади круга через диаметр? 
9.Формула вычисления объема конуса?

6. Рефлексия
На уроке я работал
активно / пассивно 
Своей работой на уроке я 
доволен / не доволен 
Урок мне показался 
коротким / длинным 
За урок я 
не устал / устал 
Мое настроение 
стало лучше / стало хуже 
Материал урока мне был 
понятен / не понятен
полезен / бесполезен
Домашнее задание 
интересен / скучен
легким / трудным
интересно / не интересно

    Автор(ы):

    Скачать: Геометрия 11кл - конспект.doc

  • Объем конуса. Решение задач 

     Название предмета: геометрия
Класс: 11 
УМК (название учебника, автор, год издания): Геометрия 10 – 11, Л.С. Атанасян, 2010
Уровень обучения (базовый, углубленный, профильный): базовый
Тема урока: Решение задач по теме «Объем конуса»
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 1
Место урока в системе уроков по теме: № 10 из 17
Цель урока: расширение понятийной базы по теме конус и его элементы за счет включения в нее новых элементов знаний: формул для вычисления объема конуса
Задачи:
Образовательные: совершенствовать умения учащихся применять накопленные знания в измененной ситуации, делать выводы и обобщения; показать практическую значимость данной темы в жизни человека.
Развивающие: способствовать формированию у учащихся ключевых компетенций (сравнение, сопоставление, классификация объектов, определение адекватных способов решения учебной задачи на основе заданных алгоритмов); развитию памяти, внимания, мышления и пространственного воображения учащихся, навыков самооценки и самоконтроля; навыков творческого подхода к решению задач, исследовательской работы над задачей.
Воспитательные: способствовать развитию устойчивого интереса и созданию положительной внутренней мотивации к изучению математики; воспитанию ответственного отношения к учению.
Планируемые результаты: учащиеся должны научиться решать задачи на объем конуса и усеченного конуса.
Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на интернет-ресурсы): https://math-ege.sdamgia.ru/test?theme=144 
Содержание урока:
1. Организационный момент. Постановка домашнего задания.
2. Проверка домашнего задания 
3. Актуализация опорных знаний
4. Отработка умений и навыков
5. Итоги работы, рефлексия

Ход урока.
1. Организационный момент.
Домашнее задание. Повтор. п. 78 - 81. № 706
2. Проверка домашнего задания

3. Актуализация ОЗ.
Решение задач по готовым чертежам    Приложение 3


4. Отработка умений и навыков

Решение задач № 705, № 707

5. Самостоятельная работа.

https://math-ege.sdamgia.ru/test?theme=144 

6.  Итог урока.

Формулы для вычисления объема конуса, усеченного конуса
Формула для нахождения боковой и полной поверхности конуса
7. Рефлексия.

    Автор(ы):

    Скачать: Геометрия 11кл - Объем конуса. Решение задач.doc

  • урок (Соколова Н.В.) 

     Формула объема конуса
Название  предмета
Геометрия
Класс
11
УМК
Атанасян Л.С, Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия . 10-11 кл.
Уровень обучения
базовый
Тема урока
Объем конуса
Общее количество часов, отведенное на  изучение  темы
18
Место урока в  системе уроков  по  теме
11
Цель урока
Вывести с помощью интеграла формулу для вычисления объема конуса, усеченного конуса;

Задачи урока
познакомить с формулами объема конуса, усеченного конуса; сформировать умение применять полученные формулы к решению задач; 
воспитать ответственное отношение к учебе, трудолюбие, целеустремленность; объективно оценивать свои знания, осуществлять самоконтроль взаимоконтроль.
развивать пространственное мышление обучающихся, умения анализировать и систематизировать материал, делать выводы, умение применять полученных в различных ситуациях, в том числе в практической деятельности
Планируемые результаты
Усвоение формул для вычисления объема конуса, усеченного конуса; применение формул на практике;
развитие навыков применения формул стереометрии для решения задач; навыков  вычислений и тождественных преобразований; аргументированное пояснение этапов решения
Техническое  обеспечение
Модели геометрических фигур; плакат; компьютер, проектор, экран, карточки-задания
Дополнительное методическое и  дидактическое обеспечение урока
Раздаточный материал с текстом домашней работы

Тип урока
Урок ознакомления  с  новым материалом
Содержание   урока
1) сообщение темы, цели, задач урока и мотивация учебной деятельности
Следующее геометрическое тело, объем которого предстоит научиться вычислять – конус и его разновидность – усеченный конус.
Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». С конусом люди 
знакомы с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга Архимеда (287–212 гг. до н. э.) «О методе», в которой дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого принципа Демокриту (470–380 гг. до н. э.) – древнегреческому философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.

1) подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию
опорных знаний    
Конической поверхностью называется поверхность, образованная отрезками, соединяющими каждую точку окружности с точкой перпендикуляра, проведенного к плоскости окружности через ее центр.
Эти отрезки называются образующими конической поверхности.
Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом, называется конусом. 
Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса. 
Круг - основание конуса.
Образующие конической поверхности - образующими конуса. 
Прямая, проходящая через центр основания и вершину, называется осью конуса. 
Отрезок, соединяющий вершину конуса с центром круга, называется высотой конуса.
                S   
по чертежу назовите элементы конуса
1) SO - 
2) S - 
3) SA, SB -
4) OA, OB -  
5) ∠SAO

Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярную к его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом.

 По чертежу назовите элементы усеченного конуса
1) ОО1- 
2) ОК - 
3) О1К1- 
4) АР - 

Повторить вопросы планиметрии.
1) Записать формулу для вычисления площади круга S = Πr2.
2) Дать определение подобия фигур.
3) Сформулировать признаки подобия треугольников.

2) ознакомление с новым материалом
В прямоугольной системе координат на плоскости рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную графиком непрерывной неотрицательной функции f(x), осью абсцисс и прямыми х = а и х = b (а < b). 
Рассмотрим тело, полученное вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции.
Сечение этого тела плоскостью, проходящей через точку с абсциссой 
х ∈ [а; b] и перпендикулярной оси ОХ, есть круг (или точка) радиуса f(x). Следовательно, площадь S(x) этого сечения равна S(x) = πf2(x), 
а объем рассматриваемого тела вращения вычисляется по формуле 
                             V =       

Теорема: Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту 
                                                                    V = 
        
Доказательство: 
Данный конус можно рассмотрим как тело, полученное вращением прямоугольного треугольника ∆АОВ вокруг оси Ох 
Вершины треугольника имеют координаты: О(0; 0), В(Н; 0), А(Н; R). 
Уравнение прямой ОА имеет вид: у = kх, где k = tg φ =     
 ∆ОАВ является частным видом криволинейной трапеции, которая ограничена осью OX, графиком функции y =   и прямой х = Н.
Поэтому объем конуса можно найти с помощью формулы, т. e. 
V =  =     =   = .
 Площадь основания конуса равна S = πR2, поэтому  V= 
  Теорема доказана.
Вопрос ученикам:
Подумайте: Если вам  дать ведро цилиндрической формы и ведро в форме конуса, у которых одинаковые высоты и площади оснований. Если вас попросить набрать воды в ведро с формой конуса и перелить эту воду в ведро цилиндрической формы. Сколько раз вы смогли бы проделать переливание до того, как цилиндрическое ведро полностью заполнится? 
Рассматривая полученную формулу, можно дать ответ: три раза. В задачах на вычисление отношения объемов конуса и цилиндра, у которых одинаковые высоты и площади оснований, будет использован результат: 
Следствие: Объем усеченного конуса с радиусами оснований r и R и высотой H вычисляется по формуле   V= .        
 Доказательство:
Усеченный конус можно получить вращением вокруг оси Ох трапеции ОАВС. 
Прямая АВ проходит через точки (0; r) и (Н; R), поэтому она имеет уравнение   

Подставим полученное уравнение в формулу для объема:
V = 
Чтобы вычислить интеграл, сделаем замену: , .
Если х изменяется в пределах от 0 до H,  то перемещаясь, изменяется от r до R, и поэтому
V =   =  = .
Следствие доказано.
3) первичное осмысление и закрепление связей и отношений в объектах изучения

C целью закрепления формул для вычисления объемов конуса и усеченного конуса решаем задачи устно:(текст задач на слайде)

№ 1. Вычислите объем конуса, если его высота 6 см, а площадь основания 42 см2. 
Ответ: 84 см3.
№ 2. Чему равен объем конуса с радиусом основания 4 м и высотой 6 м 
Ответ: 32π м3.
№ 3. Найдите площадь основания конуса, если его объем равен 256 см3, а высота 4 м. Ответ: 252 см2.
№ 4. Вычислите объем усеченного конуса, высота которого 3 см, а площадь оснований 16 см2 и 4 см2. 
Ответ: 32 см3.
№ 5. Вычислите объем усеченного конуса, если радиусы его оснований равны 3 см и 9 см, а высота 6 см. 
Ответ: 234π см3.

C целью дальнейшего закрепления формул для вычисления объемов конуса и усеченного конуса решаем задачи на доске с записью полного решения. Готовые чертежи приготовить на доске.

№ 1. Образующая конус L составляет с плоскостью основания угол α. Найдите объем конуса.
Ответ: V = 
№ 2. Радиусы оснований усеченного конуса R и r, образующая наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем конуса.
Ответ:  V = 
№ 3. Длина образующей конуса равна L, а длина окружности основания С. Найдите объем конуса.
Ответ: V = 


4) постановка заданий на дом
5) Домашняя работа представляет собой самостоятельную работу по вариантам.
I  вариант

1. Осевым сечением конуса является треугольник со сторонами 40 см, 40 см и 48 см. Найдите объем конуса.
2. Площадь боковой поверхности конуса равна см2, а его образующая равна 13 см. Найдите ребро куба, объем которого равен объему данного конуса.
3. Найдите объем конуса, развертка боковой поверхности которого – треть круга радиуса 12 см.
4. Площадь боковой поверхности конуса равна 40 см2, а расстояние от центра основания до образующей равно 3.  Найдите объем конуса.

II  вариант

1. Осевым сечением конуса является треугольник со сторонами 17 см, 17 см и 30 см. Найдите объем конуса.
2. Площадь боковой поверхности конуса равна см2, а радиус его основания равен 8 см. Найдите ребро куба, объем которого равен объему данного конуса.
3. Найдите объем конуса, развертка боковой поверхности которого – четверть круга радиуса 16 см.
4. Площадь боковой поверхности конуса 10 см2, а объем конуса равен 30 см3. Найдите расстояние от центра основания до образующей.

    Автор(ы):

    Скачать: Геометрия 11кл - урок (Соколова Н.В.).docx

Презентация к уроку