Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Геометрия
11 класс
УМК: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.
Уровень обучения: базовый
Тема урока: Взаимное расположение сферы и плоскости. Касательная плоскость к сфере.
Количество часов, отведенное на изучение темы: 4
Место урока в системе уроков по теме: второй урок
Цель урока: рассмотреть случаи взаимного расположения сферы и плоскости, теоремы о касательной плоскости к сфере
Задачи урока:
1.Обучающая: познакомить обучающихся с условиями взаимного расположения сферы и плоскости; учить решать задачи по данной теме
2. Развивающая: умение обрабатывать информацию и ранжировать ее по указанным основаниям; формировать коммуникативную компетенцию учащихся; выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.
3. Воспитывающая: умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, строить продуктивное взаимодействие, воспитывать ответственность и аккуратность.
Планируемые результаты:
Учащиеся должны знать три случая взаимного расположения сферы и плоскости; понятия касательной плоскости к сфере, точки касания, свойство и признак касательной плоскости к сфере.
Уметь решать задачи по теме..
Техническое обеспечение урока: проектор, презентация
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока:
1) поурочные разработки по геометрии. 11 класс/сост. В.А. Яровенко
2) http://stereometry.ucoz.ru
3) http://nsportal.ru
Содержание урока
I. Организационный момент
- Здравствуйте ребята! На прошлом уроке мы с вами рассмотрели понятие сферы и шара, познакомились с уравнением сферы. Сегодня на уроке мы должны рассмотреть взаимное расположение сферы и плоскости, узнать условия этого расположения.
II. Актуализация знаний
- Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте проверим, как мы усвоили тему предыдущего урока в ходе написания математического диктанта.
Математический диктант.
1. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением
(x-2)2+(y + 3)2+z2 = 25.
2. Напишите уравнение сферы радиуса R = 7 с центром в точке A(2; 0; -1).
3. Лежит ли точка А(-2; 1; 4) на сфере, заданной уравнением
(x+2)2+(y-1)2+(z-3)2=1.
4. Точки А и В принадлежат сфере. Принадлежит ли этой сфере любая точка отрезка АВ?
5. Могут ли все вершины прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 2 см лежать на сфере радиуса см?
6. Записать формулу плошали круга.
7. Найти координаты центра и радиус окружности х2 -6x + y2+z2 =0.
1. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением (x+3)2+y2+(z - 1)2 =16.
2. Напишите уравнение сферы радиуса R = 4 с центром в точке А (-2:1:0).
3. Лежит ли точка А(5:-1;4) на сфере, заданной уравнением
(х-3)2 +(у+1)2+(z-4)2 =4.
4. Точки А и В принадлежат шару. Принадлежит ли этому шару любая точка отрезка АВ?
5. Могут ли все вершины прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 2см лежать на сфере радиуса см?
6. Записать формулу длины окружности.
7. Найти координаты центра и радиус окружности х2+у2+6у + z2 = 0.
- А теперь обменяйтесь тетрадями и проверьте работы, поставьте оценку на полях.
III. Изучение нового материала
- итак, прежде чем перейти к рассмотрению взаимного расположения сферы и плоскости, давайте вспомним аналогичную планиметрическую задачу о взаимном расположении окружности и прямой. Какие случаи возможны и от чего это зависело? (не имеют общих точек d; одна общая точка , две общих точки )
- Предположите, какие случаи взаимного расположения сферы и плоскости возможны, от чего это будет зависеть?(когда сфера и плоскость пересекаются, у них одна общая точка, нет общих точек)
- Выберем прямоугольную систему координат Oxyz так, чтобы центр сферы лежал на оси z. Тогда центр сферы С имеет координаты (0:0;d) и уравнение сферы принимает вид: x2 + y2+(z-d)2=R2.
Плоскость Оху имеет уравнение z = 0. (Почему? Воспользуйтесь определением уравнения поверхности.)
Надо рассмотреть решение системы уравнений:
()
1) Если разность R2–d2 , когда d<R, то уравнение () является уравнением окружности радиуса с центром в точке О на плоскости Оху. Таким образом, в данном случае сфера и плоскость пересекаются по окружности.
2) разность R2–d2=0, когда d=R и уравнению () удовлетворяют только значения х=0 и у=0. значит, только координаты точки О(0;0;0) удовлетворяют обоим уравнением и О – единственная общая точка сферы и плоскости. Итак, если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют одну общую точку. В этом случае говорят, что плоскость касается сферы в точке О.
3) Если R2–d20, когда dR , то уравнению () не удовлетворяют координаты никакой точки. Итак, если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.
- Остановимся на втором случае более подробно.
Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания.
Касательная плоскость обладает свойством, аналогичным свойству касательной к окружности. Сформулируйте его.
Итак, радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен касательной плоскости. Докажем эту теорему.
Дано: сфера с центром О и радиусом R, α - касательная к сфере в точке А плоскость.
Доказать: OA а.
Доказательство: Пусть OA не перпендикулярна плоскости а, тогда OA является наклонной к плоскости, значит, расстояние от центра до плоскости d < R. Т.е. сфера должна пересекаться с плоскостью по окружности, но это не удовлетворяет условию теоремы. Значит, OA а.
- Сформулируйте обратную теорему
Если радиус сферы перпендикулярен плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.
IV. Закрепление изученного материала
1) Решение №580 в тетрадях и у доски.
Дано: шар, R=41 дм, d=9дм
Найти: Sсеч.
Решение:
1)d< R, значит сечение шара – круг: Sсеч. = ?r2
2) В ? АОК АКО =90о, т.к. КО = d
АК ==40 (дм)
3) Sсеч. = r2 = *402 = 1600 (дм2)
Ответ: 1600 (дм2)
2) Рассмотрите решение задачи
3) Решите задачу :
Отрезок, соединяющий центр шара с точкой А касательной плоскости, равен 17 см. Радиус шара 8 см. Найдите расстояние от точки А до точки касания шара с плоскостью и от точки А до ближайшей к ней точки шара.
Решение.
АК ОК (почему?). По теореме Пифагора АК = = 15 .
AM - ближайшее расстояние от точки А до сферы
AM = АО-ОМ=9.
4) Самостоятельно решите задачу №586(а). Проверьте ваше решение
Решение задачи № 586 (а)
Дано: ОАВС – тетраэдр,
ОН - высота,
R = 6 дм - радиус сферы,
ОН = 60 см
Исследовать: взаимное расположение сферы и плоскости АВС.
Решение:
ОН = d = 60см=6дм.
Рассмотрим уравнение х2 +у2 = R2 – d2, где d = R = 6 дм.
ОН (АВС). Значит, сфера и плоскость имеют одну общую точку – они касаются.
V. Подведение итогов урока
1) Давайте, рассмотрим три возможных случая взаимного расположения сферы и плоскости. Каковы они?
Проведено исследование взаимного расположения сферы и плоскости в зависимости от соотношения между радиусом сферы и расстоянием от ее центра до плоскости. Каковы результаты этого исследования?
Какая плоскость называется касательной к сфере?
Сформулируйте свойство( признак) касательной плоскости.
2) информация о домашнем задании
В ходе сегодняшнего урока были решены несколько опорных задач, которые помогут решению домашних задач. Запишите домашнее задание: п.64-67, № 581, 586(б),592; на “5» - №591
Автор(ы):
Скачать: Геометрия 11кл - конспект.docАвтор(ы):
Скачать: Геометрия 11кл - презентация.ppt
