Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Уравнение сферы Название предмета Геометрия Класс 11 УМК Атанасян Л.С, Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия . 10-11 кл. Уровень обучения базовый Тема урока Уравнение сферы Общее количество часов, отведенное на изучение темы 18 Место урока в системе уроков по теме 9 Цель урока Вывести уравнение сферы в заданной прямоугольной системе координат, формировать навык решения задач по данной теме. Задачи урока развивать логическое мышление, пространственное восприятие, математически грамотную речь; совершенствовать навыки самостоятельной работы, воспитывать внимание, аккуратность. Планируемые результаты должны знать: уравнение сферы должны уметь: составлять уравнение сферы; по уравнению сферы находить координаты центра и радиуса решать задачи по теме «Шар и сфера» Техническое обеспечение компьютер, мультимедийный проектор, экран, классная доска, учебник «Геометрия 10-11» Л.С. Атанасян, рабочая тетрадь, чертёжные инструменты, ресурсы Интернета, Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока Тип урока Комбинированный урок Содержание урока 1. Организационный момент. Учитель: – Наметив мелом две точки на классной доске, учительница предлагает юному школьнику задачу: начертить кратчайший путь между этими точками. Ученик, подумав, старательно выводит между ними извилистую линию. – Вот так кратчайший путь! - удивляется учительница. – Кто тебя так научил? – Мой папа. Он шофер такси. Чертеж наивного ученика, конечно, анекдотичен, но разве кратчайшим расстоянием от мыса Доброй Надежды до южной оконечности Австралии является отрезок? Нет, это дуга, которая называется ортодромия, и изучается все это в сферической геометрии, которая очень важна для мореплавания и астрономии (это еще одна неевклидова геометрия). И сегодня на уроке мы продолжаем изучение сферы. 2. Мотивация изучения темы На прошлых занятиях вы познакомились с определением сферы и шара. Вспомним, что сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Данная точка — центр сферы. Заданное расстояние — радиус сферы. Мы рассмотрели шар и сферу с позиций геометрии. Сегодня на уроке мы рассмотрим эти фигуры с позиций алгебры. То есть перейдем к описанию сферы при помощи уравнения. Уравнения кривых в большом количестве встречаются при чтении экономической литературы. Напрмер: Кривая безразличия - кривая, показывающая различные комбинации двух продуктов, имеющих одинаковое потребительское значение, или полезность, для потребителя. Кривая потребительского бюджета - кривая, показывающая различные комбинации количеств двух товаров, которые потребитель может купить при данном уровне его денежного дохода. Кривая производственных возможностей - кривая, показывающая различные комбинации двух товаров или услуг, которые могут быть произведены в условиях полной занятости и полного объема производства в экономике с постоянными запасами ресурсов и неизменной технологией. Кривая инвестиционного спроса - кривая, показывающая динамику процентной ставки и объем инвестиций при разных процентных ставках. Кривая Филлипса - кривая, показывающая существование устойчивой связи между уровнем безработицы и уровнем инфляции. Уже простое перечисление терминов показывает, как важно для экономистов умение строить графики и анализировать уравнения кривых, каковыми являются прямые линии и кривые второго порядка - окружность, эллипс, гипербола, парабола. Кроме того, при решении большого класса задач требуется выделить на плоскости область, ограниченную какими-либо кривыми, уравнения которых заданы.Чаще всего эти задачи формулируются так: найти наилучший план производства при заданных ресурсах. Задание ресурсов имеет обычно вид неравенств, уравнения которых даны. Поэтому приходится искать наибольшее или наименьшее значения, принимаемые некоторой функцией в области, заданной уравнениями системы неравенств. Уравнение поверхности позволяет изучение геометрических свойств поверхности заменить исследованием его уравнения. Так, для того, чтобы узнать, лежит ли точка M1(x1;y1;z1) на данной поверхности, достаточно подставить координаты точки M1 в уравнение поверхности вместо переменных: если эти координаты удовлетворяют уравнению, то точка лежит на поверхности, если не удовлетворяют — не лежит. Давайте вспомним, с какими уравнениями знакомы мы: Заполните левый столбик таблицы Общее уравнение прямой Уравнение прямой, проходящей через две данные точки - A(x1, y1) и B(x2, y2 ): Уравнение окружности с центром в точке С(a, b) и радиусом, равным R Уравнение плоскости Уравнение плоскости, проходящей через начало координат Уравнение плоскости параллельной оси Οz Уравнение сферы Пожалуйста, поменяйтесь тетрадями с соседом и сравните результаты, полученные в ходе выполнения работы. Образец заполнения представлен на интерактивной доске: Общее уравнение прямой Ax + By + C = 0. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки - A(x1, y1) и B(x2, y2 ): Уравнение окружности с центром в точке С(a, b) и радиусом, равным R (x - a)2 + (y - b)2 = R2. Уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0 Уравнение плоскости, проходящей через начало координат Ax+By+Cz=0 Уравнение плоскости параллельной оси Οz Ax+By+D=0 Уравнение сферы ????? Критерии оценивания: «5» «4» «3» что-то пошло не так 6 правильных ответов 5 правильных ответов 3-4 правильных ответа менее 3 ответов 3. Объяснение новой темы Введем прямоугольную систему координат Oxyz и некоторую поверхность F . Уравнение с тремя переменными х, у, z называется уравнением поверхности Р, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности. Поэтому уравнение сферы радиуса R с центром О (Хо, Уо, Zo) будет выглядеть таким образом: расстояние от произвольной точки М (х, у, z) до О (Хо, Уо, Zo) вычисляется по формуле МО = ,т.к. MO=R (х - хо)2 + (у - уо)2 + (z - zo)2 == R2 Тогда уравнение шара (х - хо)2 + (у - уо)2 + (z - zo)2R 4. Закрепление изученного материала группа низкомотивированных обучающихся группа обучающихся среднего уровня группа высокомотивированных обучающихся 1.Написать уравнение сферы, радиуса равный 7, центром А (2;0;-1). 2.Дано уравнение сферы (х-3)2 +(у+2)2 + z2 =25. Найдите радиус и координаты центра. 1.Написать уравнение сферы, радиуса равный 7, центром А (2;0;-1). 2.Дано уравнение сферы (х-3)2 + (у+2)2 + z2 = 25. Найдите радиус и координаты центра. 3.Выясните, какую геометрическую фигуру определяет уравнение х2 + y2 + z2=l. 1.Написать уравнение сферы, радиуса равный 6, центром А (3;-1;0). 2.Дано уравнение сферы (х-4)2 + у2 + (z+3)2= 16. Найдите радиус и координаты центра. 3.Выясните, какую геометрическую фигуру определяет уравнение x2 +y2 + z2= 1. 4.Сколько сфер можно провести через четыре точки, которые являются вершинами квадрата. 5. Практическая работа обучающего характера 1. Изобразите шар 2. Постройте возможные сечения шара плоскостью 3. Какие фигуры у вас получились? Знакомясь со свойствами шара, отметим, прежде всего, что если рассечь шар плоскостью, то в сечении получится круг. При этом окружность полученного круга будет сечением сферы, ограничивающей шар. Рисуют окружность на сфере в виде эллипса – сплюснутой окружности ТЕОРЕМА. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость. Диаметральная плоскость–это плоскость, проходящая через_________шара. Большой круг- это сечение шара______________________________________. Большая окружность- это сечение ______________________диаметральной плоскостью. Зная, что: R- радиус большого круга r-радиус малого круга d – расстояние от центра шара до сечения Sм -площадь малого круга (сечения) Cм -длина окружности малого круга Sб -площадь большого круга Cб -длина окружности большого круга Заполните таблицу R 10 17 29 Sш 2500 π Cб 82 π 58 π Sб 100 π 169 π r 15 9 d 8 20 21 12 21 Cм 16π Sм 36 π 225 π 6. Разминка для глаз «Звездное небо» Сферическая геометрия возникла очень давно, еще в Древнем Вавилоне и Древней Греции. И появилась она в результате астрономических наблюдений за движениями звезд и планет на небесной сфере – так древние представляли себе небесный свод. Давайте и мы немного понаблюдаем за звездным небом. Сядьте ближе к краю стула, обопритесь о спинку, руки свободно положите на колени, ноги слегка расставьте, так чтобы было удобно. Это поза покоя. Глазами следите за тем, что происходит на слайде и постарайтесь расслабиться. Посмотрите на слайд. Представьте, что вы смотрите на звездное небо. Вот яркие звезды мерцают вдали, и вам кажется, что они все ближе и ближе. И вдруг, одна звезда падает. Скорее загадывайте желание! Мимо пролетают метеориты, инопланетяне... Звезды подмигивают вам, и вы решаетесь рассмотреть их поближе. Но нет ничего желаннее для космонавтов, чем возвращение на любимую планету Земля. 7. Решение задач Представляем Планируем Применяем геометрию В пространстве через фиксированную точку некоторой плоскости проводятся всевозможные сферы, касающиеся этой плоскости. Какую фигуру заполнят центры этих сфер? Как найти расстояние от точки до сферы Как узнать расстояние с мостика корабля до линии горизонта Обучающиеся меняют группу Применяем геометрию Представляем Планируем Как узнать с какого расстояния увидят свет маяка с капитанского мостика Через фиксированную точку А некоторой сферы проводят всевозможные плоскости, пересекающие эту сферу по окружностям. Какую фигуру заполнят касательные прямые к этим окружностям в точке А? Как найти расстояние между сферой и плоскостью, не имеющими общих точек? Смена группы происходит еще один раз Планируем Применяем геометрию Представляем Как найти расстояние между двумя точками на сфере Как, находясь на спутнике и зная его высоту над землей, вычислить радиус земли? Как расположены касательные плоскости, проведенные через концы диаметра сферы к этой сфере 8. Домашнее задание: *№№ 576,577,578 ** сообщение «Аналитическая геометрия в пространстве» 9. Рефлексия (оцените по 10-бальной системе: 1-очень плохо,10-превосходно) Планировал Узнать Знаю Планировал научиться Умею Определения шара и сферы Выполнять чертеж шара и его элементов Элементы сферы и шара и их определения Аргументировать сделанные предположения Какие фигуры могут получиться при сечении шара плоскостью Применять ранее полученные знания при решении задач и доказательстве теорем Историю терминов «Шар», «Сфера». Решать задачи по теме «Шар и сфера»
Автор(ы):
Скачать: Геометрия 11кл - урок.docxАвтор(ы):
Скачать: Геометрия 11кл - презентация.ppt
