Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Касательная плоскость к сфере. Название предмета Геометрия Класс 11 УМК Атанасян Л.С, Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия . 10-11 кл. Уровень обучения базовый Тема урока Касательная плоскость к сфере Общее количество часов, отведенное на изучение темы 18 Место урока в системе уроков по теме 11 Цель урока Изучить теоремы о касательной плоскости к сфере Задачи урока познакомить с теоремами о касательной плоскости к сфере; сформировать умение решать задачи по теме; воспитать ответственное отношение к учебе, трудолюбие, целеустремленность, аккуратность; развивать наблюдательность, пространственное мышление обучающихся, умения анализировать и систематизировать материал, делать выводы. Планируемые результаты Знать свойство касательной плоскости к сфере и обратное ему свойство. Уметь решать задачи по теме Техническое обеспечение Компьютер, проектор, экран, презентация, карточки-задания Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока Балаян Э.Н. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ 10-11 классы, Ростов на Дону, Феникс, 2013 г. Сайт https://infourok.ru Тип урока Урок ознакомления с новым материалом Содержание урока I. Сообщение темы, цели, задач урока и мотивация учебной деятельности. Давайте рассмотрим две модели: а) Слайд 1 и б) Слайд 2.Какие аналогии можно провести? Какой может быть тема урока? (Касательная плоскость к сфере). Сформулируйте цели урока. (Узнать понятие касательной плоскости к сфере. Выяснить, какими свойствами она обладает). Слайд 3. II. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний. Мы продолжаем знакомство со сферой и её элементами. На прошлом уроке вы изучили случаи взаимного расположения плоскости и сферы. Предлагаю вам продолжить фразу. Следует помнить, что если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то…(сечение сферы данной плоскостью является окружностью). Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то…(плоскость и сфера не имеют общих точек). Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то …(плоскость и сфера имеют единственную общую точку). Рассмотрим подробно случай, когда плоскость и сфера имеют единственную общую точку. III. Ознакомление с новым материалом. Касательной плоскостью называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, данную общую точку называют точкой касания. Рассмотрим касательную плоскость α к сфере с центром в точке О. Докажем, что радиус сферы перпендикулярен касательной плоскости α.(рис.62 учебника) 1. Проведём доказательство методом от противного, то есть, предположим, что радиус ОА не перпендикулярен касательной плоскости α. 2. Следовательно, ОА — наклонная к плоскости α, значит расстояние от центра сферы до плоскости α меньше радиуса ОА. 3. Таким образом, получили — сфера и плоскость α пересекаются по окружности, что является противоречием условию о том, что плоскость α и сфера имеют одну общую точку. Следовательно, радиус ОА перпендикулярен к плоскости α. Итак, мы доказали теорему о свойстве касательной плоскости к сфере: радиус сферы, перпендикулярен к касательной плоскости, если он проведён в точку касания плоскости и сферы. Данное свойство аналогично свойству касательной к окружности. Докажем обратную теорему. 1. Проведём радиус сферы перпендикулярно к плоскости, проходящей через его конец. 2. Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, значит, плоскость и сфера имеют только одну общую точку, следовательно, данная плоскость является касательной к сфере. Таким образом, мы доказали, что если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, то эта плоскость является касательной к сфере - признак касательной плоскости. IV. Первичное осмысление и закрепление связей и отношений в объектах изучения 1) Применим полученные знания при решении задач. Задача 592. Совместное обсуждение задачи с последующей записью решения на доске и в тетрадях. ( Использовала сайт infourok.ru) 1)Докажем, что точка A, принадлежащая отрезку ОР, будет ближайшей к точке Р. Выберем произвольную точку N на сфере. Проведём отрезки NO и NP. Из неравенства треугольника ONP следует: ON+NP OP. ОА+АР=ОР, тогда ON+NP OA+AP, где ON и OA это радиусы. Следовательно, R+ NP R+АР или NP АР. Итак, АР NP, а так как точка N выбрана произвольно, то точка A, принадлежащая отрезку ОР, будет ближайшей к точке Р. 2.Найдём длину искомого отрезка АР как разность отрезков ОР и ОА, где ОА радиус сферы R. По известной теореме радиус сферы, перпендикулярен к касательной плоскости, если он проведён в точку касания плоскости и сферы, имеем, что треугольник OKP — прямоугольный. Отрезок ОР является гипотенузой данного треугольника, найдём его по теореме Пифагора: ОР= ====113(см) Итак, АР=ОР-ОА=113-112=1 (см). Таким образом, расстояние от точки, лежащей на плоскости касательной, к сфере до ближайшей к ней точки сферы равно 1 см. 2) Проверочная работа на 4 варианта. (Балаян Э.Н. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ) См. приложение V. Постановка заданий на дом. П.67, вопросы к главе IV № 8, 9, № 591, № 627 VI. Подведение итогов урока. 1. Дайте понятие касательной к сфере. 2. Сформулируйте свойство касательной плоскости. 3. Сформулируйте признак касательной к плоскости. Приложение 1.
Автор(ы):
Скачать: Геометрия 11кл - урок.docxАвтор(ы):
Скачать: Геометрия 11кл - презентация.pptx
