Разные задачи на многогранники, цилиндр, шар и конус

Текст урока

• урок 12

   Название предмета: Геометрия 
  Класс: 11 
  УМК: Геометрия 10-11, Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. 
  Уровень обучения: базовый
  Урок №34
  Тема урока: Разные задачи на многогранники, цилиндр, шар и конус.
  Количество часов, отведенное на изучение темы: 16
  Место урока в системе уроков по теме: 12
  Цель урока: изучение понятий вписанного шара(сферы) в многогранник, описанного шара (сферы) около многогранника, рассмотрение условий их существования.
  Задачи урока:
   1.Обучающая: ввести понятия вписанного шара(сферы) в многогранник, описанного шара (сферы) около многогранника, выяснить условия их существования; научить решать задачи на комбинацию: сферы и пирамиды, цилиндра и призмы.
    2. Развивающая: развивать пространственное воображение; культуру математической речи..
   3. Воспитывающая: воспитывать ответственное отношение к труду .  
        Планируемые результаты: 
  Учащиеся должны знать определение вписанного и описанного многогранников.
  Учащиеся должны уметь решать задачи на комбинацию тел.
  Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока:
  1) поурочные разработки по геометрии. 11 класс/сост. В.А. Яровенко
  2) http://stereometry.ucoz.ru 
  3) http://festival.1september.ru/articles/211460/
  
  Содержание урока 
  I. Организационный момент
  Приветствие учащихся, проверка готовности класса к уроку
  II. Актуализация знаний
  
  На доске заранее заготовлены рисунки, чтобы учащимся было проще ориентироваться при ответах на вопросы учителя.
  
  
  - Верно ли утверждение: «Если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм – прямоугольник»? (нет)
  - Приведите пример параллелограмма, в который можно вписать окружность (ромб)
  - Почему Вы считаете, что в ромб можно вписать окружность?( в ромб можно вписать окружность потому, что суммы его противоположных сторон равны)
  - В любой выпуклый многоугольник можно вписать окружность? (если суммы его противоположных сторон равны)
        - А как найти центр вписанной в п-угольник окружности?(следует найти точку пересечения биссектрис углов п-угольника)
  - Верно. Но если мы знаем, что в данный п-угольник можно вписать окружность (выполняется критерий равенства сумм противоположных сторон), то достаточно найти точку пересечения биссектрис двух любых углов. 
  -  В какой треугольник можно вписать окружность? (в любой)
  
  - Изучая стереометрию мы уже неоднократно замечали, что многие понятия и теоремы стереометрии аналогичны некоторым понятиям, теоремам планиметрии. Так, мы изучали симметрию в пространстве по-аналогии с симметрией на плоскости, правильные многогранники – по-аналогии с правильными многоугольниками. Аналогом прямой в пространстве является плоскость, плоскости - пространство и т.д. Сегодня мы вспомнили ряд очень важных фактов, касающихся вписанной окружности. Как Вы думаете, существует ли пространственный аналог окружности?(сфера.)
  - А пространственный аналог вписанной окружности?(вписанная сфера)
  III. Изучение нового материала
           В совместной деятельности с учащимися, используя модели или рисунки сферы, вписанной в пирамиду и прямую призму, выясняются условия, при которых  в призму и пирамиду можно вписать сферу.
  - Давайте рассмотрим многоугольник, в который вписана окружность. Что является аналогом многоугольника в пространстве? (Многогранник)
  -  А что является аналогом окружности?(Сфера).
  - Давайте вспомним определение вписанной в многоугольник окружности и попытаемся, по-аналогии, сформулировать определение вписанной в многогранник сферы. (Обучающиеся дают определение вписанной в многогранник. Полученное определение записывают в тетради).
  Определения.
  1. Шар называется вписанным в многогранник, а многогранник описанным около шара, если поверхность шара касается всех граней многогранника.
  2. Шар называется описанным около многогранника, а многогранник вписанным в шар, если поверхность шара проходит через все вершины многогранника.
  3. Шар называется вписанным в цилиндр, усеченный конус (конус), а цилиндр, усеченный конус (конус) – описанным около шара, если поверхность шара касается оснований (основания) и всех образующих цилиндра, усеченного конуса (конуса).
  (Из этого определения следует, что в любое осевое сечение этих тел может быть вписана окружность большого круга шара).
  4. Шар называется описанным около цилиндра, усеченного конуса (конуса), если окружности оснований (окружность основания и вершина) принадлежат поверхности шара.
  (Из этого определения следует, что около любого осевого сечения этих тел может быть описана окружность большего круга шара).
  Общие замечания о положении центра шара.
  1. Центр шара, вписанного в многогранник, лежит в точке пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов многогранника. Он расположен только внутри многогранника.
  2. Центр шара, описанного около многогранника, лежит в точке пересечения плоскостей, перпендикулярных ко всем ребрам многогранника и проходящих через их середины. Он может быть расположен внутри, на поверхности и вне многогранника.
  Комбинация шара с призмой.
  1. Шар, вписанный в прямую призму.
  Теорема 1. Шар можно вписать в прямую призму в том и только в том случае, если в основание призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности.
  Следствие 1. Центр шара, вписанного в прямую призму, лежит в середине высоты призмы, проходящей через центр окружности, вписанной в основание.
  Следствие 2. Шар, в частности, можно вписать в прямые: треугольную, правильную, четырехугольную (у которой суммы противоположных сторон основания равны между собой) при условии Н = 2r, где Н – высота призмы, r – радиус круга, вписанного в основание.
  2. Шар, описанный около призмы.
  Теорема 2. Шар можно описать около призмы в том и только в том случае, если призма прямая и около ее основания можно описать окружность.
  Следствие 1. Центр шара, описанного около прямой призмы, лежит на середине высоты призмы, проведенной через центр круга, описанного около основания.
  Следствие 2. Шар, в частности, можно описать: около прямой треугольной призмы, около правильной призмы, около прямоугольного параллелепипеда, около прямой четырехугольной призмы, у которой сумма противоположных углов основания равна 180 градусов.
  Задача №1:  Около шара описан прямой параллелепипед, у которого диагонали основания равны а и в. Найти площадь полной поверхности параллелепипеда. (5 мин)
  
  Дано:  АВСDA1B1C1D1 – прямой
              параллелепипед, в него вписан шар.                                                           
              АС = а, ВD = в.
  Найти: S п п п                                                  
  Решение: 
  - Какой вывод можно сделать из того, что в параллелепипед вписан шар?(В основание можно вписать окружность, и высота параллелепипеда равна диаметру вписанного в него шара.
  т.к. в призму вписан шар, то в основания можно вписать окружность, тогда ABCD – ромб.)
  - Чему равна площадь полной поверхности параллелепипеда?
  - А чему равна площадь ромба, если известны его диагонали?(Половине произведения диагоналей)
  -  А чему равна CC1, если известно, что в параллелепипед вписан шар?(диаметру вписанного в него шара)
  - Давайте, изобразим радиус вписанной в основание окружности. Он будет равен радиусу шара, вписанного в параллелепипед. Значит CC1=2ОН.
  А чему равно произведение DC·2OH относительно основания?(Площади основания)
  -  Подставив полученные значения в формулу из пункта, получим:
  Sппп = 3ab.	
  Комбинация шара с пирамидой.
  1. Шар, описанный около пирамиды.
  Теорема 3. Около пирамиды можно описать шар в том и только в том случае, если около ее основания можно описать окружность.
  Следствие 1. Центр шара, описанного около пирамиды лежит в точке пересечения прямой, перпендикулярной основанию пирамиды, проходящей через центр окружности, описанной около этого основания, и плоскости, перпендикулярной любому боковому ребру, проведенной через сере дину этого ребра.
  Следствие 2. Если боковые ребра пирамиды равны между собой (или равно наклонены к плоскости основания), то около такой пирамиды можно описать шар.Центр этого шара в этом случае лежит в точке пересечения высоты пирамиды (или ее продолжения) с осью симметрии бокового ребра, лежащей в плоскости бокового ребра и высоты.
  Следствие 3. Шар, в частности, можно описать: около треугольной пирамиды, около правильной пирамиды, около четырехугольной пирамиды, у которой сумма противоположных углов равна 180 градусов.
  2. Шар, вписанный в пирамиду.
  Теорема 4. Если боковые грани пирамиды одинаково наклонены к основанию, то в такую пирамиду можно вписать шар.
  Следствие 1. Центр шара, вписанного в пирамиду, у которой боковые грани одинаково наклонены к основанию, лежит в точке пересечения высоты пирамиды с биссектрисой линейного угла любого двугранного угла при основании пирамиды, стороной которого служит высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды.
  Следствие 2. В правильную пирамиду можно вписать шар.
        Комбинация шара с усеченной пирамидой.
  1. Шар, описанный около правильной усеченной пирамиды.
  Теорема 5. Около любой правильной усеченной пирамиды можно описать шар. (Это условие является достаточным, но не является необходимым)
  2. Шар, вписанный в правильную усеченную пирамиду.
  Теорема 6. В правильную усеченную пирамиду можно вписать шар в том и только в том случае, если апофема пирамиды равна сумме апофем оснований.
  
       После того, как будут сформулированы теоремы, учащимся раздаются листы, на которых эти теоремы уже записаны. Впоследствии ученики должны вклеить их себе на обложку тетради.
  IV. Закрепление изученного материала
  1)  Задача №1:  Все ребра треугольной пирамиды равны. Найти отношение радиуса вписанной в пирамиду сферы к ее высоте.
  
     Дано: SABC – пирамида, все ребра которой   
                равны; сфера, вписанная в пирамиду. 
    Найти: 
  Ответ: 
  2) №633,635
  V. Итог урока
  - Можно ли описать сферу (шар) около: а) куба; б) прямоугольного параллелепипеда; в) наклонного параллелепипеда, в основании которого лежит прямоугольник; г) прямого параллелепипеда; д) наклонного параллелепипеда? (а) да; б) да; в) нет; г) нет; д) нет)
  - Справедливо ли утверждение, что около любой треугольной пирамиды можно описать сферу? (Да)
  - Можно ли описать сферу около любой четырехугольной пирамиды? (Нет, не около любой четырёхугольной пирамиды)
  - Какими свойствами должна обладать пирамида, чтобы около нее можно было описать сферу? (В её основании должен лежать многоугольник, около которого можно описать окружность)
  -  При каких условиях можно описать сферу около призмы, в основании которой – трапеция? (Во-первых, призма должна быть прямой, и, во-вторых, трапеция должна быть равнобедренной, чтобы около неё можно было описать окружность)
  - Каким условиям должна удовлетворять призма, чтобы около нее можно было описать сферу? (Призма должна быть прямой, и её основанием должен являться многоугольник, около которого можно описать окружность)
  Домашнее задание: выучить теоремы,№632,637(б), 636
   

   Read more ...

  Автор(ы):

  Скачать: Геометрия 11кл - урок 12.doc

• урок 13

   Название предмета: Геометрия 
  Класс: 11 
  УМК: Геометрия 10-11, Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. 
  Уровень обучения: базовый
  Урок №35
  Тема урока: Разные задачи на многогранники, цилиндр, шар и конус.
  Количество часов, отведенное на изучение темы: 16
  Место урока в системе уроков по теме: 13
  Цель урока: рассмотреть вместе с учащимися основные комбинации многогранников с вписанной сферой: установить основные теоретические факты, применить их к решению задач, тем самым, формируя логические и графические умения школьников; убедить учащихся в необходимости изучения темы.
  Задачи урока:
  1.  выяснить условия при которыхих существования; научить решать задачи на комбинацию: сферы и пирамиды, цилиндра и призмы.
    2. Развивающая: развивать пространственное воображение; культуру математической речи..
   3. Воспитывающая: воспитывать ответственное отношение к труду .  
        Планируемые результаты: 
  Учащиеся должны знать определение вписанного и описанного многогранников.
  Учащиеся должны уметь решать задачи на комбинацию тел.
  Техническое обеспечение урока: 
  Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока:
  1) поурочные разработки по геометрии. 11 класс/сост. В.А. Яровенко
  2) http://stereometry.ucoz.ru 
  3) http://festival.1september.ru/articles/211460/
  
  Содержание урока 
  I. Организационный момент
  Приветствие учащихся, проверка готовности класса к уроку
  II. Актуализация знаний
  1. Ребро куба равно а. Найти радиусы шаров: вписанного в куб и описанного около него. (r = a/2, R = a3).
  2. Можно ли описать сферу (шар) около: а) куба; б) прямоугольного параллелепипеда; в) наклонного параллелепипеда, в основании которого лежит прямоугольник; г) прямого параллелепипеда; д) наклонного параллелепипеда? (а) да; б) да; в) нет; г) нет; д) нет)
  3. Справедливо ли утверждение, что около любой треугольной пирамиды можно описать сферу? (Да)
  4. Можно ли описать сферу около любой четырехугольной пирамиды? (Нет, не около любой четырёхугольной пирамиды)
  5. Какими свойствами должна обладать пирамида, чтобы около нее можно было описать сферу? (В её основании должен лежать многоугольник, около которого можно описать окружность)
  6. В сферу вписана пирамида, боковое ребро которой перпендикулярно основанию. Как найти центр сферы? (Центр сферы – точка пересечения двух геометрических мест точек в пространстве. Первое – перпендикуляр, проведённый к плоскости основания пирамиды, через центр окружности, описанной около него. Второе – плоскость перпендикулярная данному боковому ребру и проведённая через его середину)
  7. При каких условиях можно описать сферу около призмы, в основании которой – трапеция? (Во-первых, призма должна быть прямой, и, во-вторых, трапеция должна быть равнобедренной, чтобы около неё можно было описать окружность)
  8. Каким условиям должна удовлетворять призма, чтобы около нее можно было описать сферу? (Призма должна быть прямой, и её основанием должен являться многоугольник, около которого можно описать окружность)
  9. Около треугольной призмы описана сфера, центр которой лежит вне призмы. Какой треугольник является основанием призмы? (Тупоугольный треугольник)
  10. Можно ли описать сферу около наклонной призмы? (Нет, нельзя)
  11. При каком условии центр сферы, описанной около прямой треугольной призмы, будет находится на одной из боковых граней призмы? (В основании лежит прямоугольный треугольник)
  12. Около правильной пирамиды описана сфера. Как расположен ее центр относительно элементов пирамиды? (Центр сферы находится на перпендикуляре, проведенном к плоскости основания через его центр)
  13. При каком условии центр сферы, описанной около прямой треугольной призмы, лежит: а) внутри призмы; б) вне призмы? (В основании призмы: а) остроугольный треугольник; б) тупоугольный треугольник)
  14. Около прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны 1 дм, 2 дм и 2 дм, описана сфера. Вычислите радиус сферы. (1,5 дм)
  III. Изучение нового материала( лекция)
  1) Комбинация шара с круглыми телами.
  Теорема 7. Около цилиндра, усеченного конуса (прямых круговых), конуса можно описать шар.
  Теорема 8. В цилиндр (прямой круговой) можно вписать шар в том и только в том случае, если цилиндр равносторонний.
  Теорема 9. В любой конус (прямой круговой) можно вписать шар.
  Теорема 10. В усеченный конус (прямой круговой) можно вписать шар в том и только в том случае, если его образующая равна сумме радиусов оснований.
  2) Сфера вписана в цилиндр. Найдите отношение площади сферы к площади полной поверхности цилиндра. ()
  IV. Закрепление изученного материала
  1) Ответьте на вопросы:
  - Можно ли описать сферу около цилиндра (прямого кругового)? (Да, можно)
  - Можно ли описать сферу около конуса, усеченного конуса (прямых круговых)? (Да, можно, в обоих случаях)
  - Во всякий ли цилиндр можно вписать сферу? Какими свойствами должен обладать цилиндр, чтобы в него можно было вписать сферу? (Нет, не во всякий: осевое сечение цилиндра должно быть квадратом)
  -  Во всякий ли конус можно вписать сферу? Как определить положение центра сферы, вписанной в конус? (Да, во всякий. Центр вписанной сферы находится на пересечении высоты конуса и биссектрисы угла наклона образующей к плоскости основания)
  - В какой усеченный конус можно вписать сферу? (В усечённый конус, в осевое сечение которого можно вписать окружность. Осевым сечением конуса является равнобедренная трапеция, сумма её оснований должна равняться сумме её боковых сторон. Другими словами, у конуса сумма радиусов оснований должна равняться образующей)
  - В усеченный конус вписана сфера. Под каким углом образующая конуса видна из центра сферы? (90 градусов)
  2) Решение задачи №643(а)
  
  2) самостоятельно решить №:645, проверить по эталону
  
  V. Повторение. 
  Решение прототипов задания №: 6 ЕГЭ профильный уровень
  1) В тре­уголь­ни­ке ABC AC = BC = 5,  Най­ди­те АВ.
  2) В тре­уголь­ни­ке ABC AC = BC = 8,  Най­ди­те АВ.
  .
  3)  Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 51 и 65. Бо­ко­вые сто­ро­ны равны 25. Най­ди­те синус остро­го угла тра­пе­ции
  VI. Итоги урока 
  На уроке мы разобрали задачи на комбинации сферы, многогранников и круглых тел.Всегда ли существует вписанная в многогранник и описанная около многогранника сфера, где находится ее центр
  Домашнее задание: глава 6, №551(в), 589,630, 646
   

   Read more ...

  Автор(ы):

  Скачать: Геометрия 11кл - урок 13.doc

• урок 14 из материалов ЕГЭ

   Название предмета: Геометрия 
  Класс: 11 
  УМК: Геометрия 10-11, Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. 
  Уровень обучения: базовый
  Урок №35
  Тема урока: Решение задач на многогранники, цилиндр, шар и конус из материалов ЕГЭ.
  Количество часов, отведенное на изучение темы: 16
  Место урока в системе уроков по теме: 14
  Цель урока: решение задач на основные комбинации многогранников с вписанной сферой
  1.  выработать навыки решения задач на комбинацию: сферы и пирамиды, цилиндра и призмы;  подготовка к ЕГЭ
    2. Развивающая: развивать пространственное воображение; культуру математической речи..
   3. Воспитывающая: воспитывать трудолюбие, уважение к мнению других.  
        Планируемые результаты: 
  Учащиеся должны знать определение вписанного и описанного многогранников.
  Учащиеся должны уметь решать задачи на комбинацию тел.
  Техническое обеспечение урока: 
  Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока:
  1) поурочные разработки по геометрии. 11 класс/сост. В.А. Яровенко
  2) http://stereometry.ucoz.ru 
  3) http://festival.1september.ru/articles/211460/
  
  Содержание урока 
  I. Организационный момент
  Приветствие учащихся, проверка готовности класса к уроку
  II. Актуализация знаний
  1) Проверка домашнего задания(три тетради)
  2) Индивидуальная работа по карточкам
  Карточка 1.
  В правильную четырехугольную призму вписана сфера. Найдите отношение площади полной поверхности призмы к площади сферы.
  Карточка 2.
  1.  Длина образующей конуса - 10 см, диаметр его основания - 12 см. Найти высоту конуса.
  2. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4, а боковые грани наклонены к основанию под углом 60о. найдите радиус вписанной в эту пирамиду сферы.
  3) Решение задач по готовым чертежам (задание №3 ЕГЭ)
  
  
  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.
  
  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.
  
  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, вер­ши­ны ко­то­рой имеют ко­ор­ди­на­ты (1;1), (10;1), (8;6), (5;6).
  3) Теоретический опрос
  - Lать определение цилиндру, конусу и шару
  -Как найти площадь поверхности цилиндра(конуса; шара)?
  - Какой многогранник называется вписанным(описанным) в сферу?
  III. Решение задач
  Учащиеся решают задачи самостоятельно. После решения всех задач работы проверяются, за каждую задачу 1-10 учащиеся получают 1 балл, за 11 – 2 балла.
  1) Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен 2, вы­со­та равна 3. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра, де­лен­ную на . 
  Ответ: 12.
  2) Длина окруж­но­сти ос­но­ва­ния ци­лин­дра равна 3, вы­со­та равна 2. Най­ди­те пло­щадь  
        бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра. 
          Ответ: 6
  3) Длина окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са равна 3, об­ра­зу­ю­щая равна 2. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са. 
      Ответ: 3.
  4) Вы­со­та ко­ну­са равна 6, об­ра­зу­ю­щая равна 10. Най­ди­те пло­щадь его пол­ной по­верх­но­сти, 
         де­лен­ную на .
  5) Пло­щадь боль­шо­го круга шара равна 3. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти шара.Ответ:12
  6) Ра­ди­у­сы двух шаров равны 6 и 8. Най­ди­те ра­ди­ус шара, пло­щадь по­верх­но­сти ко­то­ро­го равна сумме пло­ща­дей по­верх­но­стей двух дан­ных шаров. Ответ: 10.
  7) Шар впи­сан в ци­линдр. Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра равна 18. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти шара. Ответ: 12.
  8) Се­ре­ди­на ребра куба со сто­ро­ной 1,9 яв­ля­ет­ся цен­тром шара ра­ди­у­са 0,95. Най­ди­те пло­щадь S части по­верх­но­сти шара, ле­жа­щей внут­ри куба. В от­ве­те за­пи­ши­те S/.
      Ответ: 0,9025.
  9) Пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная приз­ма опи­са­на около ци­лин­дра, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го   равен 2. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы равна 48. Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра. Ответ:56.
  10) Около ко­ну­са опи­са­на сфера (сфера со­дер­жит окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­са и его 
         вер­ши­ну). Центр сферы на­хо­дит­ся в цен­тре ос­но­ва­ния ко­ну­са. Ра­ди­ус сферы
         равен 28. Найди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са. 
  11) В пра­виль­ную ше­сти­уголь­ную пи­ра­ми­ду, бо­ко­вое ребро ко­то­рой равно 10, а вы­со­
         та равна 6, впи­са­на сфера. (Сфера ка­са­ет­ся всех гра­ней пи­ра­ми­ды.) Най­ди­те пло­ 
        щадь этой сферы.
  IV. Итог урока
  1) Рефлексия учебной деятельности
  Продолжите предложение:
  - На уроке я…
  - У меня получилось…
  - У меня вызвало затруднение…
        2) Домашнее задание:
  1. Объем шара равен 18 432 . Най­ди­те пло­щадь его по­верх­но­сти, де­лен­ную на .
  2. Шар впи­сан в ци­линдр. Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра равна 69. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти шара.
  3. В пра­виль­ную ше­сти­уголь­ную пи­ра­ми­ду, бо­ко­вое ребро ко­то­рой равно , а вы­со­та равна 1, впи­са­на сфера. (Сфера ка­са­ет­ся всех гра­ней пи­ра­ми­ды.) Най­ди­те пло­щадь этой сферы.
  4. Глава 6.
   

   Read more ...

  Автор(ы):

  Скачать: Геометрия 11кл - урок 14 из материалов ЕГЭ.doc

• урок (Селезнева О.А.)

   Задачи на комбинацию сферы и пирамиды
  Название  предмета
  Геометрия
  Класс
  11
  УМК
  Атанасян Л.С, Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия . 10-11 кл.
  Уровень обучения
  базовый
  Тема урока
  Задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар
  Общее количество часов, отведенное на  изучение  темы
  18
  Место урока в  системе уроков  по  теме
  13
  Цель урока
  Формировать умение решать задачи на комбинацию: шара и пирамиды
  Задачи урока
  продолжить формирование знаний о взаимном расположении  геометрических тел (место нахождения центра сферы, радиуса сферы); систематизировать и обобщить знания по комбинациям шара с пирамидой;
  воспитать ответственное отношение к учебе, трудолюбие, целеустремленность; объективно оценивать свои знания, осуществлять самоконтроль, взаимоконтроль.
  способствовать развитию математической речи, оперативной памяти, наглядно-действенного мышления;  развивать пространственное воображение, навыки решения задач.
  Планируемые результаты
  Получат навыки решения задач на комбинацию шара и пирамиды; умеют заменять пространственные чертежи планиметрическими, сформируют навыки применения формул планиметрии для решения задач на комбинации тел
  Техническое  обеспечение
  Карточки с печатным материалом на комбинацию сферы и пирамиды.
  Дополнительное методическое и  дидактическое обеспечение урока
  
  Тип урока
  Урок ознакомления  с  новым материалом
  Содержание   урока
  I. Сообщение темы, цели, задач урока и мотивация учебной деятельности.
  Давайте вспомним факты, известные нам из курса планиметрии:
  Всякий ли треугольник можно вписать в окружность?
  Где находится центр окружности, описанной около треугольника?
  Где находится центр описанной окружности в остроугольном, прямоугольном, тупоугольном треугольнике?
  Всякий ли четырехугольник можно вписать в окружность?
  Каким свойством обладает четырехугольник, вписанный в окружность? Описанный около окружности?
  Где находится центр окружности, вписанной в треугольник?
             Почему мы затронули эти вопросы? Какую аналогию можно провести на плоскости и в пространстве? Тема нашего урока «Задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар». Учащиеся определяют цели урока.
  II. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию
  опорных знаний.   
  a) Устный опрос по вопросам №№9,10 к главе IV.
  b) Три человека заранее готовят решение домашних задач №598, №600, доп. задачи. Учащиеся выполняют самопроверку.
  c) Пять человек у доски записывают формулы для вычисления площади сферы, равностороннего треугольника, радиуса описанной около треугольника окружности, теорему косинусов. Остальные работают в тетрадях.
  d) По цепочке опрос понятий: многогранника описанного около сферы (шара); сферы, вписанной в многогранник.
  III. Ознакомление с новым материалом.
  Давайте поясним некоторые термины, которые будут встречаться в задачах: многогранник, описанный около сферы; сфера, вписанная в многогранник; многогранник, вписанный в сферу; сфера, описанная около многогранника. Посмотрите на рис. 172 и рис. 173 учебника, стр.156.
  Далее учащиеся получают карточки с печатным материалом на комбинацию сферы и пирамиды.
  Теория на комбинацию сферы и пирамиды.
  а) Шар, вписанный в пирамиду.
  В любую треугольную пирамиду можно вписать шар.
  В пирамиду, у которой в основание можно вписать окружность, центр которой служит основанием высоты пирамиды, можно вписать шар.
  В любую правильную пирамиду можно вписать шар.
  Центр шара, вписанного в пирамиду, есть точка пересечения высоты пирамиды с биссектрисой угла, образованного апофемой и ее проекцией на основание.
  Центр (сферы) шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит на высоте этой пирамиды.
  б) Шар, описанный около пирамиды.
  Около любой треугольной пирамиды можно описать шар.
  Если около основания пирамиды можно описать окружность, то около пирамиды можно описать шар.
  Около любой правильной пирамиды можно описать шар.
  Центр шара, описанного около пирамиды, лежит в точке пересечения прямой перпендикулярной основанию пирамиды, проходящей через центр описанной около основания окружности и плоскости, перпендикулярной любому боковому ребру, проведенной через середину этого ребра.
  IV. Первичное осмысление и закрепление связей и отношений в объектах изуче-ния.
  1. Решим задачу № 633. При решении задачи будем рассматривать треугольную пирамиду (опираемся на теорию под буквой а)).
  Учащиеся записывают краткую запись задачи и совместно с учителем проводят обсуждение и доказательство задачи (рис.1)
  
  
  Доказательство:
  Проведем AE перпендикулярно BC и отрезок SE. По теореме о трех перпендикулярах SE перпендикулярно CB. Впишем в ∆ SDE полуокружность DFG, центр O которой лежит на катете SD, а дуга касается сторон DE и SE. ∆ SED вместе с полуокружностью DEF будем поворачивать вокруг SD. Тогда катет DE опишет окружность, вписанную в ∆ ABC, поэтому гипотенуза SE при вращении остается внутри пирамиды, за исключением трех положений, когда SE будет совпадать с высотой боковых граней. Отсюда вывод: сфера, образованная вращением полуокружности G, будет иметь единственную общую точку с каждой из боковых граней. Эта сфера касается и основания пирамиды в точке D. Тогда центр вписанной в пирамиду SABC сферы (O;R) лежит на высоте SD.
  2. Решим задачу № 639(в). Вместе с учителем учащиеся записывают условие задачи и проводят анализ задачи. Выделяют этапы решения. Отмечают, что для решения необходимо пространственный чертеж перевести на плоскость. Затем одному из учащихся предлагается записать решение задачи на доске.
  Решение:
  Пусть ребро тетраэдра равно a. Центр сферы лежит на высоте DH, точка H- центр ∆ABC, поэтому HA=. Из прямоугольного ∆ADH (рис.3): 
  DH==a*, тогда cosα==, где α=∟ADH. Из ∆AOD по теореме косинусов: a2=2R2-2R2cos(180ₒ-2α)=4R2cos2α=R2. Все грани пирамиды равносторонние треугольники, площадь одной грани равна ,тогда Sп.п.=
  =4*=.
  Ответ: 
  V. Постановка заданий на дом.
  №№629, 637 стр.155-156 и карточка с теорией на комбинацию сферы и пирамиды.
  VI. Подведение итогов урока.
  Еще раз поработать с карточкой на теорию комбинации сферы и пирамиды.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар
   Решение задач на вписанные в сферу многогранники
   Решение задач на описанные около сферы многогранники
  Сфера,  вписанная в цилиндрическую, коническую поверхности. Сечения  цилиндрической, конической поверхностей
  Обобщение по теме: "Цилиндр, конус, сфера и шар"
  
   

   Read more ...

  Автор(ы):

  Скачать: Геометрия 11кл - урок (Селезнева О.А.).docx

Презентация к уроку

• урок 14

  Автор(ы):

  Скачать: Геометрия 11кл - урок 14.ppt