Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Название предмета: Геометрия
Класс:11
УМК: Геометрия 10-11,Л.С.Атанасян,В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцева,2013г
Уровень обучения: базовый
Урок №17
Тема урока: Вычисление углов между прямыми и плоскостями
Общее количество часов, отведенное на изучение темы:15
Место урока в системе уроков по теме:10
Цель урока: показать, как используется скалярное произведение векторов при решении задач на вычисление углов между двумя прямыми, а также между прямой и плоскостью.
Задачи урока:
Образовательные: формировать навыки решения задач на нахождение угла между векторами, прямыми, прямой и плоскостью;
Развивающие: учить проводить доказательные рассуждения, используя математическую речь, развивать самоконтроль и творчество учеников.
Воспитательные: воспитание ответственного отношения к учебному труду, самостоятельность в выборе способа решения задач; воспитывать чувство коллективизма и сопереживания успехам и неудачам своих одноклассников;
Планируемые результаты:
Учащиеся должны уметь решать простейшие геометрические задачи, связанные с нахождением скалярного произведения векторов и вычислять углы между прямыми и плоскостями.
Техническое обеспечение урока: мультимедийный проектор, экран, презентация.
Содержание урока:
1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания
Во время перемены консультанты проверяют домашнюю работу (предварительно обсудив ее результаты с учителем).
В начале урока - доклад консультантов о результатах проверки.
3. Формирование новых знаний учащихся
1. Для вычисления угла между двумя прямыми, а также между прямой и плоскостью, удобно использовать скалярное произведение. Прежде чем рассмотреть две такие задачи на вычисление углов, введем понятие направляющего вектора прямой.
Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой а, если он лежит либо на прямой а, либо на прямой, параллельной а (рис. 1). (слайд №2)
2. Разбираются ключевые задачи 1 и 2, предложенные в учебнике (п. 52).
3. Нахождение угла между прямыми. (слайд №3)
Так как угол между прямыми принято считать острым, то
cos α =, где и – направляющие векторы прямых.
4. Нахождение угла между прямой и плоскостью. (слайд №4)
Пусть {x1; y1; z1} направляющий вектор прямой a.
Вектор {x2; y2; z2} – ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости α.
sin α = cos β =.
4. Формирование умений и навыков учащихся
Задача № 464 а).
Дано: А(3; -2; 4), В(4; -1; 2;), С(6; -3; 2), D(7; -3; 1).
Найти: угол между прямыми АВ и CD.
Решение: Найдем координаты векторов Так как угол между прямыми 0° < φ < 90°, то cosφ > 0. Имеем:
поэтому φ = 30°. (Ответ: 30°.)
Задача № 466 а).
Дано: куб ABCDA1B1C1D1, M ∈ АА1АМ: МА1 = 3 : 1, N - середина ВС (рис. 2).
Вычислить косинус угла между прямыми MN и DD1.
Решение:
1. Введем систему координат так, как показано на рисунке (заранее - на доске).
Рассмотрим направляющие векторы и прямых DD1 и MN. Пусть единица измерения отрезков выбрана так, что АА1 = 4, тогда М(0; 4; 3),N(4;2;0), {4; -2; 3}, {0; 0; 4}.
2. Используя векторы и , находим косинус угла φ между прямымиDD1 и MN: (Ответ: )
Дополнительная задача (слайд №4)
Дан: прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, DA = 1, DC= 2, DD1 = 3 (рис. 3).
Найти: угол между прямыми СВ1 и D1B.
Решение: (слайд №6) Введем систему координат Dxyz. Рассмотрим направляющие векторы прямых D1B и СВ1. D(0; 0; 3), B(1; 2; 0), {1; 2; -3}, С(0; 2; 0), В1(1; 2; 3), {1; 0; 3}. Пусть φ - искомый угол, φ ≈ 47°28'. (Ответ: 47°28'.)
Задача № 467 а) (предложить для самостоятельного решения двумя способами).
Проверить ответ и решение, заранее записанное на доске, или работают два ученика на переносных досках.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ = ВС = 1/2АА1.
Найдите угол между прямыми BD и CD1 (см. рис. 4).
Решение:
1 способ. (слайд №7)
Введем систему координат, как показано на рис. 4. Пусть единица измерения отрезков выбрана так, что АА1 = 2, тогда АВ = ВС = 1, В(0; 0; 0), D(1; 1; 0), С(1; 0; 0), D1(1; 1; 2), {1; 1; 0}, {0; 1; 2}. Используя векторы и , находим косинус угла φ между прямыми BD и CD1. Отсюда, φ ≈ 71°34'. (Ответ: 71°34'.)
2 способ. (слайд №8)
Угол между прямыми BD и CD1 равен углу между прямыми BD и ВА1, так какCD1 || ВА1. В ΔBDA1 имеем по теореме Пифагора находим По теореме косинусов отсюда, (Ответ: 71°34'.)
5. Подведение итогов урока
1) Домашнее задание.
П.52, №466 (б,в), для сильных учащихся № 467 (б) двумя способами (слайд №9)
2) Выставление оценок за работу на уроке.
3) Рефлексия. (слайд №10)
Возьмите смайлик соответствующий Вашему настроению на конец урока и, уходя прикрепите его на доске с магнитной основой.
Автор(ы):
Скачать: Геометрия 11кл - конспект.docx Название предмета
Геометрия
Класс
11
УМК (название учебника, автор, год издания)
Геометрия, 10-11: Учеб. для общеобразоват. Учреждений/ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2013.
Уровень обучения
Базовый
Тема урока
Вычисление углов между прямыми и плоскостями.
Общее количество часов, отведенное на изучение темы
4
Место урока в системе уроков по теме
Урок 3 в п. Скалярное произведение векторов, главы 5. Метод координат в пространстве. Движения
Цель урока
повторить с обучающимися вопросы теории, касающейся скалярного произведения векторов;
формировать умения вычислять скалярное произведение векторов, показать, как используется скалярное произведение векторов при решении задач на вычисление углов между двумя прямыми, а также между прямой и плоскостью.
Задачи урока
Показать, как используется скалярное произведение
векторов при решении задач на вычисление углов между двумя прямыми, а также между прямой и плоскостью.
Формирование мировоззрения: показать, что источник возникновения изучаемых понятий представляет собой определённую систему знаний в геометрии.
Планируемые результаты
Обучающиеся должны овладеть приёмами и навыками решения задач на вычисление углов в пространстве, научиться применять изученный теоретический материал на практике, при этом достаточно хорошо должна быть развита самостоятельность при решении задач разными методами.
Техническое обеспечение урока
Компьютер, мультимедийный проектор
Дополнительные методическое и дидактическое обеспечение урока
Геометрия: Учебник для 10-11 кл. ср. шк./ Л.С. Атанасян – М.: Просвещение, 2001;карточки с заданиями на печатной основе.
Содержание урока
I. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ.
II. АКТУАЛИЗАЦИЯ ОПОРНЫХ ЗНАНИЙ.
1. Устные упражнения.
Дано ,
Найти косинус угла между векторами , определить вид угла.
(ответ cos =угол между векторами тупой)
Дано
Угол между векторами равен
Найти ∙
m, при котором вектора перпендикулярны
(ответ 5;3)
2. Устный опрос.
Повторяем теоретический материал. Фронтально работаем с классом.
- Как находят координаты вектора, если известны координаты его начала и конца?
-Как находят координаты середины отрезка?
-Как находят длину вектора?
-Как находят расстояние между точками?
-Как вы понимаете выражение «угол между векторами»?
-Что называется скалярным произведением векторов?
-Чему равно скалярное произведение перпендикулярных векторов?
-Чему равен скалярный квадрат вектора?
-Свойства скалярного произведения?
-Формула для нахождения косинуса угла между векторами из определения скалярного произведения векторов и через координаты векторов?(слайд 2,3)
III. ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА.
Для вычисления угла между двумя прямыми удобно использовать скалярное произведение. Прежде рассмотреть задачи на вычисление углов введем понятие направляющего вектора.
Направляющим вектором прямой называется ненулевой вектор, лежащий на прямой или на прямой параллельной данной.
Рассмотреть задачи 1 и 2, на нахождение угла между прямыми, между прямой и плоскостью. Можно класс разделить на две группы и предложить обучающимся разобрать решение самостоятельно. Затем более подготовленные учащиеся представляют решение данных задач на доске.
Задача 1. Найти угол между двумя прямыми, если известны координаты направляющих векторов этих прямых.(слайд 4)
Пусть даны две прямые a и b, и их направляющие вектора и , заданные координатами, и . Найдем угол β между прямыми.
Возможны два случая:
1) Если угол φ между векторами острый, то угол φ равен углу β между прямыми. Тогда по формуле скалярного произведения векторов: Cos=
(см. рис. 1).
Рис. 1. Острый угол между прямыми.
2) Если угол φ между векторами тупой, то угол между прямыми равен (180-φ),то есть
Cos=
(см. рис. 2).
Рис.2. Тупой угол между прямыми
Можно объединить два случая в одной формуле: Cos=, где – угол между прямыми, а вектора и , - их направляющие вектора.
Используя формулы для нахождения угла между векторами в координатах, можно записать cos =
Задача 2. Найти угол между прямой и плоскостью, если известны координаты направляющего вектора прямой и координаты ненулевого вектора, перпендикулярного к плоскости.(слайд 5)
Напомним, что углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
Пусть даны направляющий вектор для прямой а и ненулевой вектор , перпендикулярный к плоскости , заданные координатами, и . Если нам известен направляющий вектор прямой a и вектор , перпендикулярный плоскости α (см. рис. 3), то мы можем выразить угол между прямой и плоскостью через угол между данной прямой и прямой, перпендикулярной плоскости α
sin =cos( Cos=
Рис. 3. Угол между прямой и плоскостью
IV. ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО.
Задача 1. Дан прямоугольный параллелепипед АВСД, ребра которого соответственно равны ДА=1, ДС=2, Д= 3. Найти угол между прямыми С и В.
Наметить ход решения задачи совместно, в результате фронтального опроса, затем один учащийся работает у доски, остальные в тетрадях.(слайд 6)
Ход решения задачи:
1.Ввести прямоугольную систему координат с центром в точке Д, определить координаты точек С,В, .
2.Расмотрим направляющие вектора для прямых С и В, найти их координаты.
3.По формуле найти косинус угла между направляющими векторами.
(ответ )
Задача 2. №464(а)
Работу по решению данной задачи провести в парах, предварительно составив вновь ход решения, фронтально работая с классом. При необходимости учитель оказывает индивидуальную консультацию, проверку провести с помощью слайда 7.
(ответ )
Задача 3. № 467(а)
Класс разделить на две группы. Решение провести двумя способами координатно-векторным методом, рассмотренным на уроке. Обычным способом, используя теорему косинусов, понятие угла между скрещивающимися прямыми, теорему Пифагора.
Обучающиеся работают в группах самостоятельно, при необходимости учитель консультирует, оказывает помощь. Затем решение каждой группы представляется на доске, проверяется и дополняется.(слайд 8,9)
№ 467(а). В прямоугольном параллелепипеде АВСД , АВ=ВС=А. Найти угол между ВД и С.
Решение
Первый способ: 1. Введем систему координат с центром в точке В.
2. Пусть единица измерения отрезков выбрана так, что А=2, тогда АВ=ВС=1.
3.Определим координаты точек В(0;0;0), Д(1;1;0), С(1;0;0), (1;1;2)
4.Определим координаты направляющих векторов прямых ВД и С, ,
5.Используя векторы и , находим косинус угла между прямыми ВД и .
6.cos==
7.
Второй способ: 1. Угол между скрещивающимися прямыми ВД и С равен углу между прямыми ВД и В, так как Спараллельно В, по определению угла между скрещивающимися прямыми.
2. В треугольнике ВД по теореме Пифагора находим В=,
, ВД =
3. По теореме косинусов получим Вcos, а тогда cos=, то есть
Ответ
V. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Решить самостоятельно по вариантам
Уровень А --- № 464(б,в).
Уровень В --- №467 (б)- координатным методом
Решение оформляется в тетрадях и сдается учителю на проверку.
VI. ПОСТАНОВКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ
Обучающимся следует прочитать дома п.52, № 464 (г), № 444 (4), №467 (б)- кто не выполнил в самостоятельной работе (двумя способами), кто выполнил методом координат, вторым способом.
VII. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА
Какие понятия были введены на уроке? Как определить между прямыми? Какие вектора называются направляющими для прямой? Как определить угол между прямой и плоскостью? На чем основан вывод этих формул? В чем ход решения геометрической задачи координатным методом для нахождения углов между прямыми?
Итак, на примере решения сегодняшних задач мы убедились, что использование координатно-векторного метода значительно облегчает решение некоторых задач. А
наш урок я хочу закончить словами: «Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию» - Ян-Амос Каменский.
Автор(ы):
Скачать: Геометрия 11кл - урок 14 (Селезнева С.С.).docx Название предмета
Геометрия
Класс
11
УМК (название учебника, автор, год издания)
Геометрия, 10-11: Учеб. для общеобразоват. Учреждений/ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2013.
Уровень обучения
Базовый
Тема урока
Повторение вопросов теории и решение задач
Общее количество часов, отведенное на изучение темы
4
Место урока в системе уроков по теме
Урок 4 в п. Скалярное произведение векторов, главы 5. Метод координат в пространстве. Движения
Цель урока
повторить с обучающимися вопросы теории, касающейся скалярного произведения векторов; нахождение углов между прямыми , между прямой и плоскостью; формировать умения вычислять скалярное произведение векторов, скалярное произведение векторов при решении задач на вычисление углов между двумя прямыми, а также между прямой и плоскостью.
Задачи урока
Повторить и проверить уровень усвоения темы скалярное произведение векторов; создать ситуацию успешности, воспитывая самостоятельность, вычислительную культуру; развивать логическое мышление, память, математическую речь.
Планируемые результаты
Обучающиеся должны овладеть приёмами и навыками решения задач на вычисление углов в пространстве, научиться применять изученный теоретический материал на практике, при этом достаточно хорошо должна быть развита самостоятельность при решении задач разными методами.
Техническое обеспечение урока
Компьютер, мультимедийный проектор
Дополнительные методическое и дидактическое обеспечение урока
Геометрия: Учебник для 10-11 кл. ср. шк./ Л.С. Атанасян – М.: Просвещение, 2001;карточки с заданиями на печатной основе.
Содержание урока
I. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ.
II. АКТУАЛИЗАЦИЯ ОПОРНЫХ ЗНАНИЙ.
1. Математический диктант.
Учитель предлагает учащимся, подготовится к изучению нового материала вспомнить нужные правила и формулы – написать диктант. Проверить по заготовленным ответам и произвести взаимопроверку, работая в парах.
Запомните пропуски, чтобы получить верное высказывание.
Вариант I
Вариант II
1. Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы…
1. Если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно…
2. Если A (5; 4; 0), B (3; –6; 2) – координаты концов отрезка AB, то его середина имеет координаты…
2. Если A (4; –4; –2), B (–8; 4; 0) – координаты концов отрезка AB, то его середина имеет координаты…
3. . Длина вектора равна…
3. . Длина вектора равна…
4. Вектор имеет координаты
{–3; 3; 1}. Его разложение по координатным векторам равно…
4. Вектор имеет координаты
{–2; –1; 3}. Его разложение по координатным векторам равно…
5. A (2; 7; 9), B (–2; 7; 1). Координаты вектора равны…
5. A (–3; 5; 5), B (3; –5; –2). Координаты вектора равны…
6. Даны точки A (0; 1; 3), B (5; –3; 3). A – середина отрезка CB. Координаты точки C равны…
6. Даны точки A (0; 1; 3), B (5; –3; 3).
В – середина отрезка CB. Координаты точки C равны…
7. Скалярное произведение векторов {–4; 3; 0} и {5; 7; –1} равно …
7. Скалярное произведение векторов {2; –8; 1} и {–3; 0; 2} равно…
8. Если = 5, то угол между векторами и …
8. Если = –2, то угол между векторами и ……
9. Угол между векторами {2; –2; 0} и {3; 0; –3} равен…
9. Угол между векторами
{; ; 2} и {–3; –3; 0} равен…
10. Даны точки A (1; 3; 0), B (2; 3; –1), C (1; 2; –1). Угол между векторами и равен…
10. Даны точки A (1; 3; 0), B (2; 3; –1), C (1; 2; –1). Угол между векторами и равен…
II. ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО.
Решим следующую задачу.
Задача:
В тетраэдре ABCD, а) вычислите косинус угла между прямой, проходящей через середины ребер AD и BC,и прямой AC.
б) вычислить sin угла между прямой MN и плоскостью грани ABD.
Один из учеников читает задачу, а затем выходит к доске. Вопросы для фронтальной и индивидуальной работы над задачей.
а)- Что нужно найти?
-Введем систему координат.
- Вспомните, по какой формуле мы можем вычислить косинус угла?
- - это что такое в формуле?
-Как связать эти координаты с векторами?
-Хорошо. То есть на прямых AC и MN выберем направляющие векторы.
-Чтобы найти координаты векторов, что мы должны знать?
-Теперь у нас все есть, и остается подставить в формулу.
б) -Как найти угол между прямой и плоскостью?
- Какой вектор будет нормалью?
Решение
1). Введем прямоугольную систему координат, определим в ней координаты точек
2) А (2, 0, 0)
В (0, 0, 0)
С (0, 1, 0)
D (0, 0, 2)
Т.к. М – середина отрезка AD, то , то есть М (1, 0, 1), аналогично
N (0, , 0)
,
1) = =
Ответ:
б) - нормаль.
, .
=
Ответ:
Задача: 469(а)
Группа сильных учеников решат задачу № 469 (а), аналогичную задаче части С в материалах ЕГЭ, решение сдают учителю
Нахождение угла между прямой и плоскостью.
Пусть {x1; y1; z1} направляющий вектор прямой a.
Вектор {x2; y2; z2} – ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости α.
sin α = cos β =.
№ 469 (а).
Дано: ABCDA1B1C1D1 – куб,
AC BD = N, M A1D1,
A1M : MD1 == 1 : 4.
Вычислить sin(MN, (ABC)).
Решение
1. Введем систему координат.
2. Пусть AB = a. Тогда B (0; 0; 0), A (a; 0; 0), A1 (a; 0; a), C (0; a; 0),
N , M .
3. .
4. {0; 0; a}.
5. .
6 .
(Ответ: sin)
Задача: 471.
Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб
Доказать:
Доказательство:
1. Введем систему координат.
2. В(0; 0; 0), А(а; 0; 0), D(a; a; 0), (а; а; а), (0; 0; а).
3. {0; a; a); {-а; -а; а}
4. а=0, значит вектор перпендикулярен вектору , то есть перпендикулярна
Ш. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Уровень А
Вариант I
Даны векторы
Вычислите (Ответ: 6).
Вариант II
Даны векторы
Вычислите (Ответ: 2).
Решение:
Уровень Б
Вариант I
Вычислить угол между прямыми AB и CD, если А(√3; 1; 0), В(0; 0; 2√2), С(0; 2; 0), D(√3; 1; 2√2). (Ответ: 60°.)
Вариант II
Вычислите угол между прямыми АВ и CD, если А(6; -4; 8), В(8; -2; 4), С(12; -6; 4), D(14; -6; 2). (Ответ: 30°).
Решение:
Уровень В
Вариант I
В кубе ABCDA1B1C1D1 диагонали грани ABCD пересекается в точке N, а точка M ежит на ребре A1D1, причем А1М : MD1 = 1 : 4.
Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани DD1C1C[AA1D1D].
(Ответы: .)
Вариант II
№ 469 (б) - I, (в) - II.
Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб, AC ∩ BD = N, M ∈ A1D1,
А1М : MD1 = 1 : 4
Найти: б) sin(MN,(DD1C1C)), в)
Решение: Введем систему координат так, чтобы В(0; 0; 0), АВ ∈ ох, ВС ∈ оу, ВВ1 ∈ oz, А(а; 0; 0), С(0; а; 0), D(а; а; 0), В1(0; 0; а), А1(а; 0; а), С(0; a; a), A (a; a; a), D1(а; а; а), М(а; a/5; a), N(a/2; a/2; 0).
Угол между прямой и плоскостью.
Угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
б) В ΔMFN: так как Значит, (Ответ: .)
в) Аналогично, (Ответ: .)
IV. ПОСТАНОВКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ
Обучающимся следует повторить дома параграф №2, обратить еще раз внимание на основные теоретические сведения, № 454, № 455 .
V. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА
Мы отработали умение применять формулу скалярного произведения векторов в координатах; повторили теорию по этой теме; сформировали навык решения задач на нахождение угла между прямыми, между прямой и плоскостью.
Учащееся, анализируют свою работу на уроке - достигли ли поставленных целей, если да то каких, Усвоили что-то новое, если нет, то почему?
Оценка работы класса и каждого ученика, осуществляется с точки зрения ребят, самостоятельной, фронтальной работы каждого обучающегося
- Спасибо за урок!
Автор(ы):
Скачать: Геометрия 11кл - урок 15 (Селезнева С.С.).docxАвтор(ы):
Скачать: Геометрия 11кл - презентация.pptxАвтор(ы):
Скачать: Геометрия 11кл - урок 14 (Селезнева С.С.).pptx
