Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Учитель математики 1 категории МОАУ «СОШ №52 г. Орска» Кожевникова Наталья Валерьевна
Название предмета
геометрия
Класс
11
УМК (название учебника, автор, год издания)
Геометрия, 10-11: Учеб. для общеобразоват. учреждений/ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2013
Уровень обучения
базовый
Тема урока
Заключительное повторение. Угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями.
Общее количество часов, отведенное на изучение темы
10ч по теме «Заключительное повторение»
Место урока в системе уроков по теме
8 урок по теме «Заключительное повторение»
Цель урока
Организовать деятельность учащихся по обобщению знаний по теме “Угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями” и применению различных способов нахождения угла между прямой и плоскостью, угла между плоскостями.
Задачи урока
Задачи:
образовательные: организовать деятельность учащихся по повторению и систематизация знаний об угле между прямой и плоскостью, угле между плоскостями;
организовать деятельность учащихся по применению поэтапно-вычислительного метода, координатно-векторного метода нахождения угла между прямой и плоскостью, угла между плоскостями и метода, основанного на свойстве площади ортогональной проекции многоугольника при решении задач №14 (С2) из ЕГЭ;
воспитательные: создание положительной внутренней мотивации обучения учащихся при подготовке к ЕГЭ по математике; воспитание аккуратности и внимательности при записи формул и построении чертежей; формирование навыков контроля и самоконтроля; активизация познавательной деятельности в коллективе и формирование навыков сотрудничества в решении поисковых задач.
развивающие: развивать навыки самостоятельного поиска решения; развитие умения логически мыслить, аргументировать; развитие умения применять полученные знания в нестандартных ситуациях; развитие абстрактного и наглядно-образного мышления
Планируемые результаты
описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении;
использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;
исследовать и описывать пространственные объекты, для чего использовать: свойства плоских и пространственных геометрических фигур, методы вычисления их линейных элементов и углов (плоских и двугранных);
выполнять изображения пространственных фигур, основанном на параллельном проектировании.
Техническое обеспечение урока
ПК, мультимедиа проектор, ЭОР.
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на интернет-ресурсы)
1. Презентация «Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями»
2. https://math-ege.sdamgia.ru
3. http://mathege.ru/
Тип урока:
урок обобщения и систематизации знаний и способов деятельности
Структура урока - мотивация – анализ содержания учебного материала – выделение главного в учебном материале – обобщение и систематизация – установление внутрипредметных и межпредметных связей – рефлексия. Структура урока реализуется через различные виды деятельности на следующих этапах урока:
Содержание урока:
1. Организационный этап (мотивация). 2мин
2. Этап актуализации субъектного опыта учащихся. Фронтальная работа с классом по основным понятиям темы. 2 мин.
3. Этап применения изученного. Работа по готовым чертежам. Устное решение задач.5 мин
4. Этап обобщения и систематизации. Решение одной задачи разными методами. 16 мин
5. Этап актуализации субъектного опыта учащихся. Фронтальная работа с классом по основным понятиям темы.3 мин
6. Этап применения изученного. Работа по готовым чертежам. Устное решение задач.5 мин
7. Этап обобщения и систематизации. Решение одной задачи разными методами. 5 мин.
8. Этап подведения итогов учебного занятия. 3 мин
9. Этап информации о домашнем задании. 2 мин
10. Рефлексия. 2мин
Ход урока:
1.Организационный этап (мотивация). Учитель приветствует учащихся, сообщает тему урока. Учащиеся совместно с учителем формулируют цели урока, опираясь на схему:
Повторить…..Систематизировать…Применять ……...при решении задачи №14 из 2-й части ЕГЭ…..
Итак, сегодня мы повторим способы решения задачи №14 из ЕГЭ по теме “Угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями”.
2.Этап актуализации субъектного опыта учащихся
Фронтальная работа с классом по основным понятиям темы. Повторение теории с помощью презентации «Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями».
Слайд 2-3
Слайд 3
Слайд 4
3. Этап применения изученного. Работа по готовым чертежам. Устное решение задач.
Слайд 5.
Задача №1.
Решение: Так как АВ перпендикулярен плоскости (ВСС1), то проекцией
прямой АВ на плоскость (ВСС1) является прямая ВВ1. Поэтому углом между прямой АВ1 и плоскостью ВСС1 является угол АВ1В. АВ1 является диагональю квадрата, поэтому искомый АВ1В=45°.
Слайд 6.
Задача 2.
Решение: точка О- точка пересечения диагоналей квадрата АВВ1А1. Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому А1О перпендикулярен АВ1 (АВ1 принадлежит плоскости АВ1С1).
AD перпендикулярен плоскости АВВ1, значит АD перпендикулярен А1О.
Итак, A1O перпендикулярен АВ1, АВ1 АВ1С1,
A1O перпендикулярен АD, АВ1С1.
Поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости А1О перпендикулярен плоскости АВ1С1. Значит проекцией прямой АА1 на плоскость (АВ1С1) является прямая АО. Поэтому угол между прямой АА1 и плоскостью (АВ1С1) это А1АО=45°.
4. Этап обобщения и систематизации. Решение одной задачи разными методами.
Слайд 7. Задача 3
1 метод. Поэтапно-вычислительный.
Пусть ребро куба равно а. Обозначим плоскость АВС1=α. Проведем В1С. Точку пересечения В1С и ВС1 обозначим К. ВС1 α. АВ﬩(ВСС1В1), т.к. дан куб, В1К (ВСС1В1), значит, В1К﬩АВ АВ и α.
В1К перпендикулярен ВС1, ВС1 , В1К перпендикулярен АВ, АВ. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости В1К перпендикулярен α. Следовательно, проекцией точки В1 на плоскость α является точка К. Проекцией АВ1 на плоскость является АК. Следовательно, углом между прямой АВ1 и плоскостью является угол между АВ1 и АК, угол В1АК.
В1К перпендикулярен α, КА, значит В1К перпендикулярен КА. Поэтому, треугольник В1КА прямоугольный. В1К =0,5∙ В1С=0,5 ; В1А=.
2 метод. Векторно-координатный. Слайд 8.
Введем систему координат ОXYZ так, что А(0;0;0), , , .
Пусть искомый угол это угол между АВ1 и плоскостью α, где α- плоскость АВС1.
(*)
А(0;0;0), B1(0;a;a), значит
Для нахождения координат вектора нормали
Возьмем три точки, принадлежащие плоскости α: В(0;а;0), D1(a;0;а), А(0;0;0)., подставим их координаты в уравнение плоскости. AX+BY+CZ+D=0;
Составим уравнение плоскости α: ; ;; -СX+0∙Y+CZ+0=0; -CX+CZ=0; X-Y=0 –уравнение плоскости α. Следовательно, .
Итак, подставим в (*)
=
Ответ: 30°.
5. Этап актуализации субъектного опыта учащихся. Фронтальная работа с классом по основным понятиям темы. Повторение теории с помощью презентации «Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями». Слайд 10-12
6. Этап применения изученного. Работа по готовым чертежам. Устное решение задач.
Слайд 13.
Задача №4. Искомый угол между плоскостями это линейный угол В1СВ двугранного угла ВСDB1. Он равен 45°, т.к. В1С – диагональ квадрата ВСС1В1.
Слайд 14. Задача №5
Обозначим точку О1- точку пересечения А1С1 и В1D1. Обозначим точку О- точку пересечения АС и ВD. Искомый угол между плоскостями это линейный угол В1ОА1 двугранного угла B1ОО1А. Он равен 90° по свойствам диагоналей квадрата.
7. Этап обобщения и систематизации. Решение одной задачи разными методами.
Слайд 15.
Задача №6.
1. Поэтапно-вычислительный метод.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями ABC и BSC.
2. Метод на основе свойства площади ортогональной проекции многоугольника.
Вспомним теорему о площади ортогональной проекции многоугольника: площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции. Пусть Тогда
3. Векторно-координатный. Слайд 16.
Введем систему координат ОXYZ так, что О(0;0;0), , , . Обозначим α=плоскость (SBC), плоскость (АВС). ….(решить дома)
8. Этап подведения итогов учебного занятия. Итак, вы повторили, как находить угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями поэтапно-вычислительным методом, векторно-координатным методом и методом, основанным на свойстве площади ортогональной проекции многоугольника. Применили свои знания при решении задачи №14 из ЕГЭ. Надеюсь, что в дальнейшем теоретические знания, полученные на уроках геометрии, вы сможете успешно использовать в различных жизненных ситуациях, в особенности на ЕГЭ.
9. Этап информации о домашнем задании 1)Решить задачу №6 векторно-координатным методом. 2) https://math-ege.sdamgia.ru Решить задачи разными методами.
Задание 14 № 507576. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостью A1BC и прямой BC1, если AA1 = 8, AB = 6, BC = 15.
3) Задание 14 № 507695. Дана прямая призма ABCDA1B1C1D1. Основание призмы — ромб со стороной 4 и острым углом 60°. Высота призмы равна 5. Найдите угол между плоскостью AC1B и плоскостью ABD.
10. Рефлексия. Проанализируйте свою деятельность на уроке. Справились ли мы с поставленными задачами на урок? Чувствуете ли вы себя увереннее, готовым к сдаче ЕГЭ по теме «Угол между прямой и плоскостью, угол меду плоскостями»? Может быть, для кого-то из вас остались нерешенные проблемы, над которыми еще стоит поработать самостоятельно? Тогда сайт https://math-ege.sdamgia.ru выступит вам помощником при самостоятельной подготовке к ЕГЭ.
Автор(ы):
Скачать: Геометрия 11кл - урок.docxАвтор(ы):
Скачать: Геометрия 11кл - презентация.pptx
