Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Название предмета: Геометрия Класс:11 УМК: Геометрия 10-11,Л.С.Атанасян,В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцева,2013г Уровень обучения: базовый Урок №19 Тема урока: Осевая, центральная и зеркальная симметрия Общее количество часов, отведенное на изучение темы:15 Место урока в системе уроков по теме:12 Цель урока: познакомить учащихся с понятием движения пространства и основными видами движения Задачи урока: Образовательные: Научить различать виды симметрии в окружающем мире; показать применение симметрии в других науках. Развивающие: развитие пространственного мышления, культуру математической речи; формирование навыков работы с новыми понятиями. Воспитательные: воспитание ответственного отношения к учебному труду, интереса к предмету, самостоятельность в выборе способа решения задач. Планируемые результаты: Учащиеся должны знать понятие движения пространства; основные виды движения; определения осевой, зеркальной и центральной симметрии Учащиеся должны уметь решать простейшие геометрические задачи на движение пространства. Техническое обеспечение урока: мультимедийный проектор, экран, презентация. Содержание урока: 1. Организационный момент. 2. Подготовка учащихся к усвоению новых знаний. Учитель предлагает прочитать слова, записанные на доске: (слайд №2) соразмерность, пропорциональность, закономерность, упорядоченность, структурность, неизменность, стабильность, порядок, красота, гармония Как вы думаете, какое геометрическое понятие можно охарактеризовать этими словами? (симметрия) Симметрия. (слайд № 3-4) Термин “симметрия” по-гречески означает “соразмерность, упорядоченность, закономерность, регулярная повторяемость”. Уместно привести слова Германа Вейля, известного немецкого математика, о том, что “симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство” (цитата на слайде). 3. Изучение нового материала. Современное представление о симметрии предполагает неизменность объекта, по отношению к каким-то преобразованиям, выполненным над ним. Мы познакомимся с различными видами симметрии в пространстве и исследуем симметрию в окружающем мире (слайд №5-34) 4. Закрепление изученного материала 1. Задача № 478 - устно. 2. Разобрать решение задачи № 479 а). Докажите, что при центральной симметрии прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую. Решение: 1) Рассмотрим центральную симметрию пространства с центром О и произвольную прямую АВ, не проходящую через точку О Прямая АВ и точка О определяют единственную плоскость а. Точка А и В переходят при данной симметрии в точки А1 и В1, также лежащие в плоскости а. Поэтому и вся прямая А1В1 лежит в плоскости а. 2) Докажем сначала, что прямые АВ и А1В1 параллельны. ΔОАВ = ΔОА1В1, т.к. ОА = ОА1, ОВ = ОВ1, ∠AОВ = ∠A1ОB1. Из равенства треугольников следует, что ∠ABO = ∠A1B1O1, т.е. равны накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и А1В1 секущей BB1. Следовательно, АВ || A1B1. 3) Докажем теперь, что при центральной симметрии с центром О прямая АВ отображается на прямую А1В1. Для этого нужно доказать, что произвольная точка М прямой АВ переходит в некоторую точку М1 прямой А1В1, и обратно: произвольная точка прямой А1В1 симметрична относительно О некоторой точке прямой АВ. Возьмем на прямой АВ произвольную точку М (отличную от А) и проведем прямую МО. Она пересекает прямую А1В1 в какой-то точке М1. ΔМАО = ΔМ1А1O, так как AO = A1O; ∠MOA = ∠M1OA1 (как вертикальные);∠MAO = ∠M1A1O (накрест лежащие). Поэтому МО = МО1, а это значит, что точка М переходит при симметрии относительно О, в точку M1, лежащую на прямой А1В1. Аналогично доказывается обратное: любая точка М1 прямой A1B1симметрична некоторой точке М прямой АВ относительно О. Итак, при симметрии с центром О прямая, не проходящая через точку О, отображается на параллельную прямую A1B1. 5. Подведение итогов урока - Сегодня на уроке мы показали, что отображение пространства на себя, сохраняющее расстояние между точками, является движением. Примерами тому служат центральная, осевая, зеркальная симметрия, параллельный перенос. Мы также убедились, что при движении отрезок переходит в равный ему отрезок, прямая - в прямую, плоскость - в плоскость. 1) Домашнее задание. (слайд № 35) П.54-56, № 480 (а), индивидуальные задания учащимся: подготовить сообщения «Симметрия в природе», «Симметрия в технике». 2) Выставление оценок за работу на уроке. 3) Рефлексия. (слайд № 36) С чем вы познакомились на уроке? Что узнали нового? Чему научились?
Автор(ы):
Скачать: Геометрия 11кл - конспект.docx Название предмета
Геометрия
Класс
11
УМК (название учебника, автор, год издания)
Геометрия, 10-11: Учеб. для общеобразоват. Учреждений/ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2013.
Уровень обучения
Базовый
Тема урока
Центральная симметрия. Зеркальная и осевая симметрия.
Общее количество часов, отведенное на изучение темы
3
Место урока в системе уроков по теме
Урок 1 в п. Движение, главы 5. Метод координат в пространстве. Движения
Цель урока
Познакомить обучающихся с понятием движения пространства и рассмотреть различные виды симметрии
Задачи урока
Учить различать виды симметрии в окружающем мире. Показать применение симметрии в других науках.
Развитие познавательного интереса и расширение кругозора. Воспитание внимания, умения слушать. Воспитание трудолюбия, настойчивости в достижении цели.
Планируемые результаты
Обучающийся должен иметь представление о симметрии в пространстве, различать виды симметрии, научиться находить симметричные объекты в окружающем мире.
Обучающийся должен научиться работать с большим объемом информации.
Развивать умение кратко излагать свои мысли устно и письменно.
Техническое обеспечение урока
Компьютер, мультимедийный проектор
Дополнительные методическое и дидактическое обеспечение урока
Геометрия: Учебник для 10-11 кл. ср. шк./ Л.С. Атанасян – М.: Просвещение, 2001;карточки с заданиями на печатной основе.
Содержание урока
I. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ.
Приветствие. Проверка готовности к уроку.
II. АКТУАЛИЗАЦИЯ ОПОРНЫХ ЗНАНИЙ.
1. Разобрать задания, предложенные на предыдущем уроке в самостоятельной работе, с которыми не справилось большинство обучающихся, но работу над ошибками выполнить дома.
2. Устная работа
Как вы думаете, какое геометрическое понятие можно охарактеризовать словами соразмерность, пропорциональность, закономерность, упорядоченность, структурность, неизменность, стабильность, порядок, красота, гармония? (Симметрия)
Какие виды симметрии на плоскости вы знаете? (осевая и центральная симметрия)
Какое отображение плоскости на себя мы называли осевой симметрией, центральной симметрией? ( Осевая симметрия – это симметрия, при которой каждая точка фигуры симметричная относительно некоторой прямой также принадлежит этой фигуре. Центральная симметрия – это симметрия, при которой каждая точка фигуры симметричная относительно некоторой точки также принадлежит этой фигуре. Данные определения известны обучающимся еще из курса 8 класса)
Верно ли утверждение, что при движении в плоскости любая фигура отображается на равную ей фигуру? (да)
Какой четырехугольник имеет только одну ось симметрии?
Имеет центр симметрии фигура, которая состоит из трех прямых, две из которых параллельны, а третья пересекает первые две?
Приведите примеры геометрических фигур, которые обладают и осью симметрии и центром симметрии.
III. ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА.
1. Ввести понятие отображение пространства на себя.
Если каждой точке М пространства поставлена в соответствие некоторая точка , причем любая точка пространства оказалась поставленной в соответствие некоторой точке М, то говорят что задано отображение пространства на себя.
Отметим, что особую роль в геометрии играют отображения, сохраняющие расстояние между точками. Они называются движениями пространства. Таким образом, если при движении пространства точки А и В отображаются в точки и , то АВ=.
Мы познакомимся с различными видами симметрии в пространстве и исследуем симметрию в окружающем мире. Современное представление о симметрии предполагает неизменность объекта, по отношению к каким-то преобразованиям, выполненным над ним (слайд 1, 2)
2. Класс разделяется на три группы, каждая из которых рассматривает один из видов симметрии и доказывает, что она является движением, представляет свою информацию на доске, отвечает на вопросы одноклассников. Учитель комментирует и дополняет по мере необходимости с помощью слайдов презентации.
Первая группа: центральная симметрия (слайд 3). Предлагаю возможный путь ответа обучающегося.
Центральная симметрия это отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку относительно данного центра О.
Центральная симметрия является движением
Обозначим точку О – центр симметрии и введем прямоугольную систему координат Оxyz с началом в точке О. Установим связь между координатами двух точек:
M(x; y; z) и M1(x1; y1; z1), симметричных относительно точки О.
Если точка М не совпадает с центром симметрии О, то О- середина отрезка М. По формулам для координат середины отрезка получим
, а значит
х= у= значит z=. (1)
Полученные формулы верны и тогда, когда точки М и О совпадают.
Выберем теперь любые две точки и В и докажем, что расстояние между симметричными им точками равны, то есть АВ= Используя полученные формулы (1) можно записать координаты точек и , а значит расстояние между ними будет определяться так
АВ=
,
То есть получено, что АВ= , а значит центральная симметрия является движением.
Вторая группа: осевая симметрия (слайд 4). Предлагаю возможный путь ответа обучающегося.
Осевая симметрия это отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку относительно данной оси а.
Осевая симметрия является движением.
Пусть в прямоугольной системе координат Оxyz, ось ОZ совпадает с осью симметрии. Установим связь между координатами двух точек M(x; y; z) и M1(x1; y1; z1), симметричных относительно оси OZ.
Если точка М не лежит на оси симметрии, то ось ОZ проходит через середину отрезка ММ1 и перпендикулярно к нем, а значит, во-первых, из формул координат середины отрезка получим , то есть х= у=, а во-вторых, аппликаты точек М и равны, то есть z=.
Выберем теперь любые две точки и В и докажем, что расстояние между симметричными им точками равны, то есть АВ= Используя полученные формулы можно записать координаты точек и , а значит расстояние между ними будет определяться так
АВ=
,
То есть получено, что АВ= , а значит центральная симметрия является движением.
Третья группа: зеркальная симметрия (слайд 5). Предлагаю возможный путь ответа обучающегося.
Зеркальная симметрия (симметрия относительно плоскости) это отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку относительно данной плоскости .
Зеркальная симметрия является движением.
Пусть в прямоугольной системе координат Оxyz, плоскость (ОХУ) совпадает с плоскостью симметрии. Установим связь между координатами двух точек M(x; y; z) и M1(x1; y1; z1), симметричных относительно плоскости (OХУ).
Если точка М не лежит в плоскости симметрии, то плоскость (ОХУ) проходит через середину отрезка ММ1 и перпендикулярно к нем, а значит, во-первых, из формул координат середины отрезка получим , то есть , а во-вторых, отрезок М параллелен оси ОZ, то есть , .
Выберем теперь любые две точки и В и докажем, что расстояние между симметричными им точками равны, то есть АВ= Используя полученные формулы можно записать координаты точек и , а значит расстояние между ними будет определяться так
АВ=
,
То есть получено, что АВ= , а значит зеркальная симметрия является движением.
IV. ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО.
1. Работа с самопроверкой и самооценкой. ( За каждый верно указанный ответ обучающийся получает один балл, затем оценивает себя «3» - от 12 до 20, «4» - от 21 до 30, «5» - от 31 до 37, слайд 9)
Задача 1. (слайд 6)
Назовите буквы алфавита, имеющие одну ось симметрии.
(Ответ: А В Д Е З К М П С Т Ш Э Ю )
Назовите буквы алфавита, имеющих две оси симметрии (вертикальную и горизонтальную).
(Ответ: Н О Ф Х )
Задача 2. (слайд 7,8,9)
Выберите слова, имеющие ось симметрии (вертикальную или горизонтальную).
(Ответ КОКОС, НОС, СОК, ВОЗ, ЗОВ, ФОН, КОК, ПОП, ВЕНОК, СЕНО, НОЖ, ЭХО, ВОСК, ПОТОП, ВЕКО, ВЕК, МАДАМ, КОН, КОКС, ДОХОД).
2. Работа с учебником.
№ 478. Для точки А рассмотреть все виды симметрий, работая фронтально со всем классом, для точки В обучающиеся находят координаты симметричных точек самостоятельно, оформляют в тетрадь и затем в конце урока сдают учителю (включая все работу на данном уроке, с последующей проверкой и выставлением оценки в журнал, на усмотрение учителя можно выставить и не несколько оценок за различные виды деятельности).
3. Решение более сложной задачи (при наличии времени и с более подготовленными обучающимися, остальные продолжают работать с № 478).
№479. Один обучающийся работает у доски, остальные в тетрадях, при необходимости делая замечания и добавления к отвечающему.
Дано: Zо (a) = a1
Доказать:
а ) a || a1, если О a
б) a = a1, если О a
Решение:
а) А —> А1, В —> В1 ,тогда АО = ОА1,
ВО = ОВ1,
угол 1 = углу 2, то АОВ = А1О В1, значит, угол В = углу В1, а они внутренние накрест лежащие, тогда АВ || А1В 1 .
б) А, В, А1, В1 лежат на одной прямой, значит a = a1
V. ПОСТАНОВКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ
Обучающимся следует прочитать дома п.54-56 № 478 (для точки С), № 480 (а), подготовить сообщение, презентацию «Симметрия в природе», «Симметрия вокруг нас»
VI.ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА
Итак, мы познакомились с движениями в пространстве, кроме того узнали, что отображение пространства на себя, сохраняющее расстояние между точками, является движением. Примерами могут быть центральная, осевая, зеркальная симметрии.
Автор(ы):
Скачать: Геометрия 11кл - урок 16 (Селезнева С.С,).docxАвтор(ы):
Скачать: Геометрия 11кл - презентация.pptАвтор(ы):
Скачать: Геометрия 11кл - урок 16 (Селезнева С.С,).pptx
