Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Название предмета: Геометрия.
Класс:11
УМК: Геометрия 10-11,Л.С.Атанасян,В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцева,2013г
Уровень обучения: базовый
Урок №15
Тема урока: Угол между векторами
Общее количество часов, отведенное на изучение темы:15
Место урока в системе уроков по теме:8
Цель урока: ввести понятие угла между векторами и скалярного произведения векторов;
способствовать развитию и закреплению навыков решения задач на нахождение угла между векторами и скалярного произведения векторов.
Задачи урока:
Образовательные:
-продолжить формирование и развитие навыков применения векторов при решении задач;
-формировать умение сотрудничать;
-развивать мотивацию изучения математики.
Развивающие: развитие пространственного мышления, культур математической речи; формирование навыков работы с текстом, с новыми понятиями;
Воспитательные: воспитание ответственного отношения к учебному труду, интереса к предмету, расширение кругозора, самостоятельность в выборе способа решения задач.
Планируемые результаты:
Учащиеся должны уметь вычислять угол между векторами, скалярное произведение векторов
Учащиеся должны уметь строить и читать чертежи.
Техническое обеспечение урока: мультимедийный проектор, экран, презентация.
Содержание урока:
1. Организационный момент.
2. Устная работа (фронтальный опрос)
Учитель предлагает ответить на вопросы и решить задачи на повторение.
Вопрос 1. Что называется вектором? (Направленный отрезок).
Вопрос 2. Какие векторы называются коллинеарными? (Ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных)
Вопрос 3. Какие векторы называются равными? (Сонаправленные векторы, имеющие равные длины)
Задача 1. Дано: А(-3;-2;4) , В(-4;3;2).
Найти: координаты и длину вектора .
Ответ: {-1;5;-2} =
Задача 2. Дано: А(2;-3;1) , В(4;-5;0) ,С(5;0;-4) ,D(7;-2;-3).
Равны ли векторы и
Ответ: Нет, т.к. не равны их координаты, {2;-2;-1}, СD{2;-2;1}.
Задача 3. Дано: А(1;-3;4), В(5;1;-2), С(2;0;1),D(4;-2;2).
Коллинеарны ли векторы и?
Ответ: нет, т.к. их координаты не пропорциональные числа.
3. Изучение нового материала
Изучение нового материала учитель начинает с вопросов о векторах из планиметрии.
Вопрос 1.Вспомните понятие угла между векторами на плоскости.
Ответ: Угол между векторами, отложенными от одной точки и равными данным векторам.
Вопрос 2. Чему равно скалярное произведение векторов на плоскости?
Ответ: Произведение длин векторов на косинус угла между ними.
Учитель обращает внимание учащихся на слайды с чертежами (слайды №2-9), дает понятие угла между векторами и скалярного произведения векторов, после чего предлагает выполнить записи и чертежи в тетрадях.
Слайд №2-3
Слайд №4
Учитель показывает частные случаи скалярного произведения , задавая вопросы учащимся . Идет совместная работа учителя и учащихся. В ходе совместного обсуждения ученики делают выводы по каждому из четырех частных случаев.
Слайд №5
Вопрос: Чему равен ?
Предполагаемый ответ: =0.
Слайд №6.
Вопрос: Что мы знаем о косинусах острых углов?
Предполагаемый ответ:Косинус острого угла положителен.
Слайд №7.
Вопрос: Что мы знаем о косинусах тупых углов?
Предполагаемый ответ: Косинус тупого отрицателен.
Слайд №8.
Вопрос: Чему равен и ?
Предполагаемый ответ: = 1, =-1.
Слайд №9.
Слайд №10
Слайд №11-13
Применение формулы для нахождения скалярного произведения через координаты векторов.
4. Закрепление материала. Формирование умений и навыков учащихся.
Учитель предлагает фронтальную устную работу на закрепление изученного материала.
Слайд №14.
Ответ: а) ;б);в).
Далее к доске приглашается ученик для решения №441(а).
Задание 2. №441(а) – фронтально с записями на доске и на местах.
Ответ: .
Задание 3. №441(б) – 1-ый вариант , №441(з)- 2-ой вариант самостоятельно. Проверка на оценку тех , кто решит быстрее.
Ответ: б); з).
Задание 4. №443(а,г) фронтально с записями на доске и тетрадях. Два ученика решают у доски, остальные на местах.
Ответ: а);г).
Пока все решают №443(а,г) четыре ученика решают самостоятельно по карточкам двух уровней сложности.
1-ый уровень сложности.
Карточка №1. Ребра правильного тетраэдра DABC равны а. Найдите : .
Ответ: 0,5.
2-ой уровень сложности.
Карточка №2. В прямом параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 все ребра равны а, =60.
Найдите: .
Ответ:а2.
5. Подведение итогов урока
Учитель предлагает вспомнить цель и задачи урока.
Ответить на вопрос: «Достигнута ли цель урока?» Вспомнить основные понятия изучаемой темы.
Ученики дают оценку своей деятельности.
Учитель выставляет отметки.
Учащиеся записывают домашнее задание:
Автор(ы):
Скачать: Геометрия 11кл - конспект.docx Название предмета
Геометрия
Класс
11
УМК (название учебника, автор, год издания)
Геометрия, 10-11: Учеб. для общеобразоват. Учреждений/ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2013.
Уровень обучения
Базовый
Тема урока
Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.
Общее количество часов, отведенное на изучение темы
4
Место урока в системе уроков по теме
Урок 1 в п. Скалярное произведение векторов, главы 5. Метод координат в пространстве. Движения
Цель урока
Ввести понятие угла между векторами, скалярного произведения векторов, рассмотреть формулу скалярного произведения векторов в координатах.
Задачи урока
Повторить теоретические сведения по теме «Скалярное произведение векторов», изученные в курсе планиметрии.
Рассмотреть понятие угла между векторами, скалярного произведения векторов.
Обратить внимание обучающихся на нахождение скалярного произведения, зная их координаты.
Развивать познавательный интерес. Воспитывать трудолюбие, настойчивость в достижении цели.
Планируемые результаты
Обучающийся должен знать понятие угла между векторами, скалярного произведения векторов, формулы для вычисления скалярного произведения, зная координаты этих векторов.
Обучающийся должен уметь проводить необходимые преобразования выражений и расчеты.
Техническое обеспечение урока
Компьютер, мультимедийный проектор
Дополнительные методическое и дидактическое обеспечение урока
Геометрия: Учебник для 10-11 кл. ср. шк./ Л.С. Атанасян – М.: Просвещение, 2001;карточки с заданиями на печатной основе.
Содержание урока
I. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ.
II. АКТУАЛИЗАЦИЯ ОПОРНЫХ ЗНАНИЙ.
1.Анализ контрольной работы.
Подводятся итоги контрольной работы и разбираются типичные ошибки.
2. Устные упражнения.
Решение задач и упражнений с целью подготовки обучающихся к восприятию нового материала. Фронтальная работа с классом: отвечает один из обучающихся, остальные при необходимости дополняют, исправляют ответ своего товарища.
1) Как обозначается угол между двумя векторами? Как его построить?
2) .
3) Какие векторы называются перпендикулярными на плоскости?
4) Что называется скалярным произведением двух векторов на плоскости?
5) В чем заключается необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух ненулевых векторов на плоскости?
6) Как зависит знак скалярного произведения двух ненулевых векторов от вида угла между ними?
7) Что называется скалярным квадратом вектора на плоскости?
8) Если A (5; 4; 0), B (3; –6; 2) – координаты концов отрезка AB, то его середина имеет координаты…
9) =6-8 .Какова длина вектора?
10) Вектор имеет координаты. Укажите его разложение по координатным векторам.
III. ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА.
1. Ввести понятие угла между векторами.
Учитель предлагает обучающимся рассмотреть различные случаи расположения векторов в пространстве. Из курса планиметрии рассматривается понятие угла между векторами и вводится аналогичное понятие для векторов в пространстве, обучающиеся работают в парах, используя учебник переносят данные определения в стереометрию. Учитель показывает слайд дети сравнивают, его со своим дополняют, исправляют, проговаривают его (слайд 2).
2. Ввести понятие скалярного произведения векторов.
Далее восстанавливаем из курса планиметрии понятие скалярного произведения векторов и переносим определение этого понятия для векторов в пространстве. Вводятся основные формулы для вычисления скалярного произведения векторов. Обучающиеся продолжают работать в парах, используя учебник, затем учитель вновь показывает слайд, дети сравнивают, его со своим дополняют, исправляют, проговаривают его (слайд 3,4).
Обратить внимание, что -- это число, то есть скаляр от латинского scale – лестница, шкала. Ввел в 1845 году английский математик У. Гамильтон.
Доказательство утверждений рассматривается по усмотрению учителя, можно эти утверждения предложить обучающимся доказать дома, с последующей проверкой на уроке.
Примеры: (первые два примера учитель вычисляет сам, остальные - обучающиеся с проверкой по доске)
1. , ,
2. , ,
3. , ,
4. , ,
5. , ,
3. Пример применения скалярного произведения в физике.
Пусть под действием постоянной силы тело совершило механическое перемещение, которое задается вектором . Если угол между этими векторами равен , то для вычисления работы А, совершенной силой , используют формулу А=∙∙, что по определению является скалярным квадратом (слайд 5).
4. Формула скалярного произведения векторов, и через их координаты, ∙= . (слайд 6).
Приведем доказательство формулы скалярного произведения в координатах для случая, когда векторы и неколлинеарны (рис.1).
По теореме косинусов = - 2∙ОА∙ОВ∙ сos , так как =, =, =-, то это равенство можно переписать в виде =+-2∙∙∙cos, или
=+-2∙∙, откуда получим ∙= (1).
Пусть и , тогда вектор - будет иметь координаты , =++,=++,
=++. Подставив эти выражения в равенство (1) и выполнив преобразования, получим, ∙=.
IV. ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО
1. Устно (слайд 7)
2. Письменное решение задач.
Решение практических задач.
№ 443 (а) - один обучающийся у доски, остальные работают в тетрадях, при необходимости делая замечания, дополнения.
Дано АВСД куб,
АД=а,
- центр грани
Найти
Решение АВСД куб, а следовательно =, а значит по формуле скалярного произведения векторов получим = а∙а∙cos=
Ответ:.
№ 443 (г) Фронтально работая с классом установить возможные способы решения задачи, наметить план решения. Затем разбить класс на группы (по рядам), пригласить трех обучающихся к доске, а затем учитель показывает слайды и обучающиеся дополняют, исправляют свое решение, задают вопросы отвечающим у доски (слайд 8,9,10)
№ 444 (1,2), № 445 (а, в) – работа организуется в парах, с последующей проверкой и обсуждением, ответы предварительно вносятся в оценочный бланк.
Ответ: № 444 – 3;0 № 445 -10;1.
V. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Решить самостоятельно по вариантам № 443(д, е, ж). Решение оформляется в тетрадях и сдается учителю на проверку (слайд 11)
VI. ПОСТАНОВКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ
Обучающимся следует прочитать дома п.50,51 (до формулы косинуса угла), доказать утверждения о скалярном произведении ( по желанию), № 443 (б, в), № 444 (3), №445 (б, г).
VII. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА
Какие понятия были введены на уроке? Как определить скалярное произведение векторов, заданных координатами? На чем основан вывод этой формулы? Как связано скалярное произведение векторов с углом между ними? Когда скалярное произведение векторов равно нулю? Что называется скалярным квадратом?
Учащееся, анализируют свою работу на уроке - достигли ли поставленных целей, если да то каких, Усвоили что-то новое, если нет, то почему?
Оценка работы класса и каждого ученика, осуществляется с точки зрения ребят, самостоятельной, фронтальной работы каждого обучающегося (отметки из оценочных листов) (слайд 12)
- Спасибо за урок!
Автор(ы):
Скачать: Геометрия 11кл - урок 12 (Селезнева С.С.).docx Название предмета
Геометрия
Класс
11
УМК (название учебника, автор, год издания)
Геометрия, 10-11: Учеб. для общеобразоват. Учреждений/ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2013.
Уровень обучения
Базовый
Тема урока
Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.
Общее количество часов, отведенное на изучение темы
4
Место урока в системе уроков по теме
Урок 2 в п. Скалярное произведение векторов, главы 5. Метод координат в пространстве. Движения
Цель урока
Рассмотреть основные свойства скалярного произведения, повторить понятие угла между векторами, формулу для вычисления скалярного произведения зная координаты векторов
Задачи урока
вывести формулу для вычисления угла между двумя векторами; продолжать формировать умения и навыки применения векторов к решению задач; продолжать формировать интерес к математике посредством решения задач; воспитывать осознанное отношение к процессу обучения, прививать чувство ответственности за качество знаний, осуществлять самоконтроль за процессом решения и оформления упражнений.
Планируемые результаты
Обучающийся должен знать формулу угла между векторами, скалярного произведения векторов, формулы для вычисления скалярного произведения, зная координаты этих векторов. Применять полученные знания к решению аналитических, геометрических и прикладных задач.
Обучающийся должен уметь проводить необходимые преобразования выражений и расчеты.
Техническое обеспечение урока
Компьютер, мультимедийный проектор
Дополнительные методическое и дидактическое обеспечение урока
Геометрия: Учебник для 10-11 кл. ср. шк./ Л.С. Атанасян – М.: Просвещение, 2001;карточки с заданиями на печатной основе.
Раздаточный материал
Содержание урока
I. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ.
II. АКТУАЛИЗАЦИЯ ОПОРНЫХ ЗНАНИЙ.
Математический диктант.
Обучающимся предлагается внимательно слушать условие задачи, при необходимости выполнять необходимые записи, рисунки, работая в свой тетрадке. Затем произвести взаимопроверку, при этом один обучающийся объясняет ход решения, а остальные обучающиеся проверяют, в тоже время они должны быть готовы ответить на вопрос «Верно ли решена задача?» Какие замечания к решению у тебя есть?»
При обсуждении решения поставленных задач, происходит фронтальный опрос по теоретическим аспектам :
-угол между векторами
-скалярное произведение векторов
-при каком условии скалярное произведение векторов положительно, отрицательно, равно нулю?
-в чем заключается физический смысл скалярного произведения двух векторов?
- формулы для вычисления скалярного произведения двух векторов через их координаты на плоскости и в пространстве.
-формулы для вычисления длины вектора на плоскости и в пространстве
1. Дан квадрат АВСД. Найти угол между векторами и .
2. Найти скалярный квадрат вектора 7
3. Найти скалярное произведение ∙, если=3, =4, угол между ними равен
4. АВСД - куб, ребро которого равно единице. Найти скалярное произведение векторов и .
5. Вычислить скалярное произведение ∙, если (,
1. Дан квадрат АВСД. Найти угол между векторами и .
2. Найти скалярный квадрат вектора 6
3. Найти скалярное произведение ∙, если=6, =4, угол между ними равен
4. АВСД - куб, ребро которого равно единице. Найти скалярное произведение векторов и .
Вычислить скалярное произведение ∙, если (,
По результатам данной фронтальной работы каждый обучающийся получает отметку от своего напарника.
Ш. ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА.
1. Формула угла между векторами в пространстве.
Работая фронтально со всем классом, осуществляется вывод формулы для нахождения угла между векторами, заданными своими координатами.
По определению скалярного произведения двух ненулевых векторов:
=∙cos
Следовательно, если и
Cos=, то есть
косинус угла между ненулевыми векторами и равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин, то есть
,
cos =
2. Основные свойства скалярного произведения.
Формулировку и запись основных свойств выполнить с опорой на имеющиеся знания по данному вопросу из курса планиметрии.
Для любых векторов и любого числа к справедливы равенства:
1. , причем, при
2. = (переместительный закон)
3. (распределительный закон)
4. )=(к∙ (сочетательный закон)
Рассмотрим доказательство одного из свойств скалярного произведения, например третьего.
Введем прямоугольную систему координат, рассмотрим вектора, . Зная формулу скалярного произведения в координатах, а также то, что координаты вектора, равны сумме соответствующих координат векторов , получим:
= (+(+(=(+ +
(+=
Следует обратить внимание обучающихся на тот факт, что распределительный закон справедлив для любого числа слагаемых, при этом скалярное произведение можно вычислять по правилу умножения многочленов, то есть
∙=+
IV. ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО
1. Применение знаний при решении типовых задач.
Обучающимся предоставляется раздаточном материал с основными типами задач. Обучающиеся достаточно прочно усвоившие новый материал могут выполнять самостоятельно, остальная часть класса работает весте с отвечающим у доски.
- Определить угол между векторами и , если А (1; -3; -4),В (-1; 0; 2),
С (2; -4; -6), D (1; 1; 1). (ответ cos=0.9732,
-Найти скалярное произведение векторов (3 ∙(, если ,
, Если угол между векторами и равен 30°. (ответ 156+36
-При каких значениях m длины векторов, и будут равны? (ответ )
2. Применение знаний при решении комбинированных задач.
№ 446(а)
Дано
Определить вид угла между этими векторами
Решение 1. Найдем длины этих векторов:=, =
2. Найдем соs = - значит угол между данными векторами тупой.
№ 452
V. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Уровень 1
Дано
Найти значение m, при котором векторы перпендикулярны.
Решение: Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, то есть, ∙=4m+3m-28=7m-28=0, а значит m=4.Ответ 4
Уровень 2
Дано ,, угол между этими векторами равен
Найти ,
Решение:= =
==2
Ответ
Уровень 3
Даны три силы , приложенные к одной точке .
Вычислите работу, производимую равнодействующей этих сил, когда точка их приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из А(5;3;-7) в точку В(4;1;-4)
Ответ 7
VI.ПОСТАНОВКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ
Обучающимся следует прочитать дома п.50,51 , доказать свойства скалярного произведения ( по желанию), № 446 (б, в), № 451 (а, б), №453.
VII.ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА
Какие понятия были введены на уроке? Как определить скалярное произведение векторов, заданных координатами? На чем основан вывод этой формулы? Как связано скалярное произведение векторов с углом между ними? Когда скалярное произведение векторов равно нулю? Что называется скалярным квадратом? Как определить угол между векторами, заданными координатами? Каковы основные свойства скалярного произведения?
Итак, в ходе сегодняшнего урока мы рассмотрели основные свойства скалярного произведения векторов, учились применять их для вычисления скалярного произведения и нахождения углов между ними
Учащееся, анализируют свою работу на уроке - достигли ли поставленных целей, если да то каких, Усвоили что-то новое, если нет, то почему?
Оценка работы класса и каждого ученика, осуществляется с точки зрения ребят, самостоятельной, фронтальной работы каждого обучающегося.
- Спасибо за урок!
Автор(ы):
Скачать: Геометрия 11кл - урок 13 (Селезнева С.С.).docxАвтор(ы):
Скачать: Геометрия 11кл - презентация.pptАвтор(ы):
Скачать: Геометрия 11кл - презентация (Селезнева С.С.).pptx
