Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Название предмета
Геометрия
Класс
10
УМК
Геометрия, 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений /Л.С.Атанасян и др., - М.: Просвещение, 2012 г.
Уровень обучения
Базовый
Общее количество часов
5
Место урока в системе уроков по теме
1. Урок по учебному плану – четвертый.
2. Тема урока согласно поурочно-тематическому планированию учебного
материала по геометрии в 10 классе « Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий».
Тема: решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий
Цель урока: обобщение и применение аксиом и их следствий к решению задач
Задачи урока:
1.Проверить усвоение учащимися аксиом стереометрии и некоторых следствий из них и на этой основе проверить навык решения задач по данной теме.
2.Развитие устной и письменной речи учащихся, абстрактно-логического мышления, пространственного воображения
3.Воспитание умения слушать других учащихся организованность, ответственность за свой труд и труд одноклассников.
Методы и приёмы: словесный и наглядный.
По типу: урок обобщения и систематизации знаний.
Планируемые результаты:
Предметные: знать аксиомы, теоремы по данной теме и уметь их доказывать, применять при решении типовых задач.
Личностные: уметь отстаивать свою точку зрения.
Метапредметные:уметь планировать и оценивать процесс и результат своей деятельности, обрабатывать информацию.
Готовить учеников к успешной сдаче ЕГЭ.
Техническое обеспечение урока:
Презентация, карточки (разноуровневые задания).
Содержание урока
I. Организационный момент.
Проверка готовности обучающихся к уроку.
Сообщение учащимся темы и определение цели урока.
II. Актуализация знаний.
Одним из заданий прошлого урока было: повторить аксиомы стереометрии и их следствия. Как вы справились с домашним заданием, проверим с помощью математического диктанта.
1. Математический диктант
Ответить на вопросы:
1 вариант.
2 вариант
1. Назовите основные фигуры на плоскости.
1. Назовите основные фигуры в пространстве.
2. Сформулируйте аксиому А2
2. Сформулируйте аксиому А1
3. Могут ли прямая и плоскость иметь две общие точки?
3. Сколько плоскостей можно провести через прямую и не лежащую на ней точку?
4. Сколько плоскостей можно провести через три точки?
4. Сформулируйте аксиому А3
5. Сколько может быть общих точек у прямой и плоскости?
5. Могут ли прямая и плоскость иметь одну общую точку?
Собрать листочки с ответами.
2. Продолжаем работать устно: ответить на вопросы.
1 вариант 2 вариант
1) Две плоскости, содержащие прямую DE.
1) Две плоскости, содержащие прямую EF.
2) Прямую по которой пересекаются плоскости АЕF и SBC.
2) Прямую по которой пересекаются плоскости ВDE и SAC
3) Плоскость, которую пересекает прямая SB.
3) Плоскость, которую пересекает прямая АС.
III. Решение задач (фронтальная работа)
Задача №1.
Дан тетраэдр МАВС, каждое ребро которого равно 6 см. Д ∊ MB, Е ∊МС, F ∊ АВ, AF=FB, P ∊ MА.
1) Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости: а) МАВ и MFС, б) MCF и АВС.
2) Найдите длину CF и SABС.
3) Как построить точку пересечения прямой ДЕ с плоскостью АВС?
(Один ученик отвечает у доски, остальные – фиксируют решение в тетради.)
Решение:
М ∊ МАВ, М ∊ MFC,
1. а) => аксиома А3 МАВ ∩ MFC = MF.
F ∊ МАВ и F ∊ MFC
C∊MCF, C∊ABC,
б) => аксиома А3 MCF ∩ АВС = FC.
F ∊ MFC и F ∊ АВС
2. ΔАВС - равносторонний => FC - медиана, высота, биссектриса. ΔCFB - прямоугольный: СВ = 6 (см), FB = 3 (см). По теореме Пифагора FC = (см). Sabc = АВ • CF; Sabc= (см2).
Как еще можно найти длину FC?
Как по-другому найти SABC?
3. DЕ и ВС лежат в плоскости ВМС. Пусть они пересекаются в точке К, так как К принадлежит ВС, значит К принадлежит плоскости АВС (аксиома А2):
1 )DЕ ∊ ВМС, ВС ∊ ВМС;
2)DЕ ∩ ВС = К (К ∊ ВС => К ∊ АВС).
Задача № 2
Дан куб АВСDА1В1С1D1, РЄВВ1, В1Р = РВ.
1) Как построить точку пересечения плоскости АВС с прямой D1Р?
2) Как построить линию пересечения плоскости АD1Р и АВВ1 ?
3) Вычислите длину отрезков АР и АD1, если АВ = а.
(Один ученик отвечает у доски, остальные – фиксируют решение в тетради.)
Решение:
1. D1Р и DВ лежат в одной плоскости Д1ДВ. Пусть они пересекаются в точке К. Тогда точка К принадлежит прямой DВ, а значит, К Є АВС.
2. Точка Р принадлежит ВВ1, а значит, и плоскости АВВ1. Точка Р принадлежит АВ, а значит, и плоскости АВВ1. Следовательно, по аксиоме А2: АР с АВВ1. Аналогично АР с АD1Р. Значит, АD1Р∩ АВВ1 =АР.
а) Из ΔАВР, по теореме Пифагора АР =
б) Из ΔАDD1 по теореме Пифагора АD1 = а .
Далее работа строится следующим образом:
Задача N 3
Точки А, В, С не лежат на одной прямой. МЄАВ,КЄАС,РЄМК.Докажите, что точка Р лежит в плоскости АВС. (Один ученик отвечает у доски, остальные –делают записи в тетрадях с помощью математических символов, проговаривая соответствующие аксиомы и следствия из аксиом.
Вопросы учащимся ( по необходимости):
- Зная, что точки А, В, С не лежат на одной прямой, какой вывод можно сделать?
- Если точки А и В лежат в плоскости, какой вывод о прямой АВ можно сделать?
- Какой вывод можно сделать о точке М?
- Если точки А и С лежат в плоскости, какой вывод о прямой АС можно сделать?
- Какой вывод можно сделать о точке К?
- Зная, что точки М и К лежат в плоскости, какой вывод можно сделать о прямой МК?
- Какой вывод можно сделать о точке Р?
Решение:
АВ ∩ АС=А. По второму следствию прямые АВ и АС определяют плоскость ά. Точка М Є АВ, а значит, принадлежит плоскости ά, и точка К Є АС, а значит, и плоскости ά . По аксиоме А2: MKc ά. Точка Р Є МК, а значит, и плоскости ά .
Задача № 4
Плоскость ά и β пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости ά и пересекает плоскость β. Пересекаются ли прямые a ис? Почему?
(Один ученик отвечает у доски, остальные – фиксируют решение в тетради.)
Решение:
По условию, прямая а пересекает плоскость β. Пусть a ∩ β = В(ВЄ а). По условию прямая а принадлежит плоскости ά, значит,
В Є ά. По аксиоме А3 существует прямая с, такая, что ВЄс.
IV.Динамическая пауза звучит музыка «Ой ты степь широкая»
А теперь ребята давайте прервёмся и отдохнём. Сядьте поудобнее, расслабьтесь, послушайте музыкальное произведение и скажите: почему мы взяли это произведение на уроке, какие ассоциации оно у вас вызывает?
(отв.: Ассоциируется с безграничной плоскостью)
V. Самостоятельная работа по карточкам ( разноуровневые задания)
1 уровень Точка С – общая точка плоскости альфа и бета . Прямая с проходит через точку С. Верно ли, что плоскости альфа и бета пересекаются по прямой с. Ответ объясните.
2 уровень
Прямые а, b и с имеют общую точку. Верно ли, что данные прямые лежат в одной плоскости? Ответ объясните.
3 уровень
Четыре прямые попарно пересекаются. Верно ли, что если любые три из них лежат в одной плоскости, то все четыре прямые лежат в одной плоскости? Ответ объясните.
VI. Работа в парах
Далее предлагаю вам творческое задание. На каждой парте у вас лежит лист , на котором изображён чертёж. Вам предстоит найти ошибку в чертеже и исправить. Приступаем к работе.
VII. Подведение итогов
Ребята, мы сегодня на уроке решали задачи, применяя аксиомы стереометрии и их следствия
Аксиома
Не доказываемая, применяемая
Помогает, обосновывает, доказывает
Важна при изучении геометрии
Применяй !
Цели урока, которые мы ставили с вами, на мой взгляд, были достигнуты. Аксиомы вы знаете и умеете их применять при решении задач.
VIII. Домашнее задание: п 1-3, № 9, 11, 13
Задание для внеаудиторной работы
Цель работы: Развитие мыслительных способностей учащихся и повышение интереса к изучению математики.
Решение кроссворда.
По горизонтали:
1. Тело, ограниченное конечным числом многоугольников.
2. Ограниченная замкнутая область в пространстве.
3. Буква.
4. Часть геометрии, в которой изучаются свойства фигур в пространстве.
5. Ситуация, в которой требуется найти решение.
6. Комплект приемов и операций, необходимых для решения задачи.
7. Часть геометрии, в которой изучаются свойства фигур, расположенных в одной плоскости.
8. Логическое рассуждение, обосновывающее или опровергающее какое-либо утверждение.
По вертикали:
1. Наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.
2. Утверждение, которое принимают за одно из основных положений теории.
3. Математическая модель конфликтной ситуации.
4. Предложение, истинность которого устанавливается при помощи доказательства.
5. Простейший объект геометрии, характеризуемый только его положением.
6. Операция.
7. Одно из основных понятий математики.
Выставление оценок за урок.
Используемая литература и интернет-ресурсы:
1. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутусов и др. «Геометрия 10-11», Москва, «Просвещение», 2011 г.
2. В.А. Яровенко – Методическое пособие для учителя «Поурочные разработки по геометрии к учебному комплекту Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева, 10 класс» - Москва, «ВАКО», 2013 г.
Автор(ы): Каткова О. Н.
Скачать: Геометрия 10кл - Конспект Аксиомы.docx
Название предмета: геометрия
Класс: 10
УМК (название учебника, автор, год издания)
1. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутусов и др. «Геометрия 10-11», Москва, «Просвещение», 2012 г.
2. В.А. Яровенко – Методическое пособие для учителя «Поурочные разработки по геометрии к учебному комплекту Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева, 10 класс» - Москва, «ВАКО», 2011 г.
Уровень обучения: (профильный)
Тема урока: «Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий».
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3
Место урока в системе уроков по теме: Урок по учебному плану третий.
Цель урока: Применить полученные знания при решении задач.
Задачи урока:
обучающие:
1. создать условия для формирования основных понятий, аксиом;
2. сформировать умение работать с текстом учебника и текстом, предъявляемым на экране монитора;
3. сформировать умение находить примеры на предметах окружающего мира, мыслить пространственно, анализировать, наблюдать, делать выводы
развивающие:
1.развивать логическое мышление, память, пространственное воображение, познавательный интерес;
2.расширять представления учащихся об окружающем мире;
3.поддерживать интерес к изучаемому предмету;
4.содействовать развитию навыка самостоятельной работы учащихся посредством вовлечения их в исследовательскую деятельность
воспитывающие:
1.активизировать интерес к изучаемому материалу, используя ИКТ.
Планируемые результаты:
Знать: основное аксиомы стереометрии.
Уметь: применять аксиомы при решении задач.
Техническое обеспечение урока:
1. Персональный компьютер,
2. Мультимедийный проектор
3. Презентация «Решение задач»
4. Модели геометрических тел
5. Приложения (раздаточный материал)
Содержание урока
Тема урока: «Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий».
Цель урока: Применить полученные знания при решении задач.
Методы: словесный, объяснительно-иллюстративный, индивидуальная работа. Применение информационных технологий с целью повышения интереса к изучаемому предмету.
Ход урока.
1. Организационный момент.
2. Постановка темы и учебной цели урока.
Учитель: И так, мы с вами познакомились с аксиомами стереометрии. Применить эти знания мы сможем при решении задач. Вы знаете, что в геометрии есть вычислительные задачи, и задачи на доказательство. Задачи на доказательство чаще всего решаются методом от противного. Вспомним основные этапы этого метода
1. Делаем предположение, противоположное тому, что надо доказать.
2. Путем рассуждений, опираясь на аксиомы и теоремы, приходим к выводу, противоречащему условию.
3. Заключаем, что наше предположение не верно.
4. В ответ записываем верное утверждение, которое доказывали.
(К доске вызывается ученик).
Задача. Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые AB и CD не пересекаются.
Учитель: С чего начинаем решать задачу по геометрии?
Ученик: С построения чертежа.
Учитель: Что потом делаем?
Ученик: Делаем краткую запись условия. Дано. Доказать. Доказательство.
Дано:
Доказать: АВ и СД не пересекаются
Учитель: Каким методом будем решать задачу?
Ученик: Методом от противного.
Доказательство:
Предположим, что АВ и СD пересекаются, тогда по аксиоме А3 через них можно провести плоскость, в которой лежат все четыре данные точки, что противоречит условию задачи. Следовательно, наше предположение неверно и прямые АВ и СД не пересекаются.
Решение задачи из презентации
5. Домашнее задание.
П. 1,2; № 10-13
6. Подведение итогов урока.
Устные упражнения:
1. Даны две прямые а и в, через которые нельзя провести плоскость. Докажите, что эти прямые не пересекаются.
2. Могут ли две плоскости иметь только одну общую точку?
3. Могут ли три плоскости иметь только одну общую точку?
Вопросы для закрепления:
- что изучает стереометрия?
- каковы основные (простейшие) фигуры в пространстве?
- сформулируйте стереометрические аксиомы?
Учитель благодарит учащихся за работу на уроке, отмечает наиболее активных и проводит оценивание ответов учащихся.
Используемая литература и интернет-ресурсы
1. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутусов и др. «Геометрия 10-11», Москва, «Просвещение», 2012 г.
2. В.А. Яровенко – Методическое пособие для учителя «Поурочные разработки по геометрии к учебному комплекту Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева, 10 класс» - Москва, «ВАКО», 2011
3. Сайт Савченко Е.М http://le-savchen.ucoz.ru/ «Учителю – сайтост»
Приложение
Слайд 1: Решение задач на применение аксиом и их следствий
Слайд 2-10: Решение задач
Автор(ы): Ильина В. В.
Скачать: Геометрия 10кл - Конспект.docxАвтор(ы): Каткова О. Н.
Скачать: Геометрия 10кл - Презентация к уроку Аксиомы.pptxАвтор(ы): Ильина В. В.
Скачать: Геометрия 10кл - Презентация к уроку.ppt
