Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Название предмета: геометрия
Класс: 10
УМК (название учебника, автор, год издания)
1. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутусов и др. «Геометрия 10-11», Москва, «Просвещение», 2012 г.
2. В.А. Яровенко – Методическое пособие для учителя «Поурочные разработки по геометрии к учебному комплекту Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева, 10 класс» - Москва, «ВАКО», 2011 г.
Уровень обучения (профильный)
Тема урока: «Теоремы Чевы»
Общее количество часов, отведенное на изучение темы:12
Место урока в системе уроков по теме:10
Цель урока: ознакомление с теоремами Чевы;
исследование способов доказательства теорем;
овладение приемами решений планиметрических задач с использованием теоремы Чевы;
Задачи урока:
обучающие:
выявить теоретические положения для доказательства теорем;
систематизировать теоретический материал доказательств:
а) Теоремы Чевы,
проверить эффективность и целесообразность применения теорем при решении задач;
научиться применять теоремы Чевы в задачах разной сложности;сравнить задачи, решенные с использованием теоремы Чевы с задачами, решенными традиционным способом;
развивающие:
1.развивать логическое мышление, память, пространственное воображение, познавательный интерес;
2.расширять представления учащихся об окружающем мире;
3.поддерживать интерес к изучаемому предмету;
4.содействовать развитию навыка самостоятельной работы учащихся посредством вовлечения их в исследовательскую деятельность
воспитывающие:
1.активизировать интерес к изучаемому материалу, используя ИКТ.
Планируемые результаты:
а) изучить теоремы Чевы;
Знать: признак пересечения прямых в одной точке.
Уметь: применять признак пересечения прямых в одной точке.
Техническое обеспечение урока:
1. Персональный компьютер,
2. Мультимедийный проектор
3. Презентация «Теорема Чевы»
4. Приложения (раздаточный материал)
Содержание урока
Тема: Теорема Чевы.
Цели урока:
1. обобщить, расширить и систематизировать знания и умения учащихся; научить использовать знания при решении сложных задач;
2. способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при решении задач;
3. развивать логическое мышление и математическую речь учащихся, умение анализировать, сравнивать и обобщать;
4. воспитывать у учащихся уверенность в себе, трудолюбие; умение работать в коллективе.
Задачи урока:
Образовательная: изучить теорему Чевы; применить её при решении задач.
Развивающая: учить выдвигать гипотезу и умело доказательно отстаивать свое мнение; проверить умение обобщать и систематизировать свои знания.
Воспитательная: повысить интерес к предмету и подготовить к решению более сложных задач.
Ход урока
I этап. Организационный момент (1 мин.)
Выступление ученицы
«Обладая литературой более обширной, чем алгебра и арифметика вместе взятые, и, по крайней мере, столь же обширной, как анализ, геометрия в большей степени, чем любой другой раздел математики, является богатейшей сокровищницей интереснейших, но полузабытых вещей, которыми спешащее поколение не имеет времени насладиться». Е. Т. Белл.
Теоремы Менелая была доказана древнегреческим математиком и астрономом Менелаем Александрийским, жившим в I веке до нашей эры и теорема, опубликованная в 1678 году итальянским математиком и инженером Джованни Чевой. В честь этих учёных теоремы названы их именами.
Эти теоремы просты, интересны и находят применение при решении как простых, так и весьма сложных задач. Несмотря на это Теоремы Менелая и Чевы не изучаются в школе на уроках геометрии и встречаются только в школьном учебнике геометрии под редакцией Атанасяна Л.С. в приложении. Доказательства, предложенные автором сложны. Задачи, помещённые в учебнике на применение обратной теоремы Менелая трудны, а задачи на применение прямой теоремы вовсе не рассматриваются.
Данная тема является дополнением и углублением изученных в курсе геометрии свойств.
Применение опыта решения планиметрических задач с использованием теоремы Чевы и Менелая помогает повысить уровень пространственного воображения и уровень логической культуры.
Изучение данной темы поможет более глубоко подготовиться к вступительным экзаменам и олимпиадам.
Хорошо известно, что выводы школьной геометрии находят широкое применение при решении самых разнообразных практических задач. Знание геометрии необходимо всем кому приходиться исследовать свойства различных фигур и тел. Геометрия изучает наш реальный мир.
Учитель
II этап. Лекция
Чева Джованни (1648-1734 гг.) – итальянский инженер – гидравлик и геометр. Теорема, носящая его имя, опубликована в 1678 году.
Теорема Чевы
Теорема. Пусть на сторонах BC; CA; AB треугольника ABC или их продолжениях взяты соответственно точки A1; B1; C1. Прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда
Доказательство. Пусть прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в точке O, лежащей внутри треугольника (рисунок а) или вне ABC (рисунок б).
Применим теорему Менелая к BCC1 и секущей AA1, получим:
Для треугольника ACC1 и секущей BB1 получим:
Перемножим почленно эти равенства
Что и требовалось доказать.
Замечание. Если AA1, BB1, CC1 параллельны, то доказательство проводится с использованием теоремы об отрезках, отсекаемых на сторонах угла параллельными прямыми.
Для решения задач чаще применяется обратная теорема.
Обратная теорема Чевы. Пусть на сторонах BC; CA; AB треугольника ABC или их продолжениях взяты соответственно точки A1; B1; C1. Если выполняются равенство , то прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в одной точке или параллельны.
Доказательство. Пусть AA1BB1=O. Проведём прямую CO, С2=COAB.
По теореме Чевы . Учитывая условие имеем: , откуда =k, =k. Вычтем второе равенство из первого. По свойству векторов получим =k=
= - k.
Т.к. k -1 (иначе бы, но точки A и B не совпадают), следовательно, , т.е. точки C1,C2 совпадают. Но это и означает, что прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в одной точке.
Аналогично доказывается, что если AA1||BB1, то и CC1||BB1.
III этап. Решение задач. (22 мин.)
Рассмотрим задачи на применение теоремы Чевы.
Задача №1
Доказательство
Пусть AA1, BB1, CC1 – медианы треугольника ABC.
Проверим равенство: , 1*1*1=1 (верно).
Утверждение доказано согласно теореме Чевы.
Задача №2
Доказательство
Пусть BE, CM, AK – биссектрисы ABC.
Воспользуемся свойством: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам.
Значит, . Найдём произведение , по теореме Чевы прямые BE, CM, AK пересекаются в одной точке.
Задача №3
Решение
Прямые AA1, BB1 и CM пересекаются в одной точке P. По теореме Чевы: , , поэтому =>
CB1A1 подобен CAB (; C – общий)
Значит, CB1A1 = CAB – соответственные при прямых B1A1 и AB и секущей AC, поэтому A1B1 || AB. Что и требовалось доказать.
V этап. Итог урока
Замечательным свойством теорем является то, что они могут служить отправной точкой при повторении основных свойств треугольника в 10 классе. В частности, с их помощью легко доказываются следующие утверждения:
Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке
VI этап. Домашнее задание
1. В треугольнике АВС, площадь которого равна 6, на стороне AB взята точка К, делящая эту сторону в отношении АК:BK = 2:3, а на стороне АС – точка L, делящая АС в отношении AL:LC = 5:3. Точка Q пересечения прямых СК и BL удалена от прямой AB на расстоянии . Найдите длину стороны АВ. (Ответ: 4.)
2. На стороне АС в треугольнике АВС взята точка К. АК = 1, КС = 3. На стороне АВ взята точка L. AL:LВ = 2:3, Q – точка пересечения прямых ВК и СL. Найдите длину высоты треугольника АВС, опущенной из вершины В. (Ответ: 1,5.)
Замечание: Записывая отношение отрезков, следует двигаться по контуру треугольника от вершины до точки пересечения с прямой и от точки пересечения до следующей вершины.
Список литературы
1. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. М.: Аванта +, 2002.
2. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии: Ч.1. М.: Наука, Физматлит, 1995.
3. Сканави М. И. Сборник задач по математике для поступающих во Втузы. М.: Высшая Школа, 1995.
4. Г. С. М. Коксетер, С. Л. Грейтцер. Новые встречи с геометрией. М.: Наука, 1991.
5. Математика. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября», 2004 №13,14.
6. Б.Орач «Теорема Менелая». Квант № 3, 1991.
7. Шарыгин И.Ф. Геометрия. Задачник.9—11 классы. — М.: Дрофа, 1996.
8. К. А. Иванов «О пропорциональных отрезках в треугольнике» , журнал « Математика в школе» №8-2004.
9. Е. Качалкина « Применение теорем Чевы и Менелая», журнал «Математика в школе» №13,14 -2004.
10. Г.И.Глейзер. История математики в школе – 1983, - 316с.
Автор(ы): Ильина В. В.
Скачать: Геометрия 10кл - Конспект.docx
