Эллипс

Текст урока

• Конспект

   Название предмета: геометрия
  Класс: 10
  УМК (название учебника, автор, год издания)
  
  1. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутусов и др. «Геометрия 10-11», Москва, «Просвещение», 2012 г.
  2. В.А. Яровенко – Методическое пособие для учителя «Поурочные разработки по геометрии к учебному комплекту Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева,  10 класс» - Москва, «ВАКО», 2006 г.
  Уровень обучения: (профильный)
  Тема урок: «Эллипс».
  Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 12
  Место урока в системе уроков по теме: Урок по учебному плану 11. 
  Цель урока: сформировать понятие об эллипсе как о геометрическом месте точек; вывести каноническое уравнение эллипса, показать применение полученных знаний об эллипсе к решению задач; показать применение геометрических знаний к реальным процессам в природе; углубить знание по теме “Метод координат”.
  Задачи урока:  
  обучающие: 
  1. создать условия для формирования основных понятий;
  2. сформировать умение работать с текстом учебника и текстом, предъявляемым на экране монитора; 
  3. сформировать умение находить примеры на предметах окружающего мира, мыслить пространственно, анализировать, наблюдать, делать выводы
  развивающие: 
  1.развивать логическое мышление, память, пространственное воображение, познавательный интерес;
  2.расширять представления учащихся об окружающем мире;
  3.поддерживать интерес к изучаемому предмету; 
  4.содействовать развитию навыка самостоятельной работы учащихся посредством вовлечения их в исследовательскую деятельность
  воспитывающие:
  1.активизировать интерес к изучаемому материалу, используя ИКТ.
  Планируемые результаты: 
  Знать: определение эллипса, уравнение эллипса, понятие фокуса осей эллипса.
  Уметь: исследовать взаимное расположение эллипса и прямой, эллипса и окружности.
  Техническое обеспечение урока:
  1. Персональный компьютер  
  2. Мультимедийный проектор
  3. Презентация
  4. Модели геометрических тел
  5. Приложения (раздаточный материал)
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Содержание урока.
  Теме: "Эллипс " 
  Цель: сформировать понятие об эллипсе как о геометрическом месте точек; вывести каноническое уравнение эллипса, показать применение полученных знаний об эллипсе к решению задач; показать применение геометрических знаний к реальным процессам в природе; углубить знание по теме “Метод координат”.
  Ход урока
  Организационный момент. Мотивация изучения нового материала.
  Начать урок можно с цитаты венгерского математика Дьердье Пойа: “Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия”. 
  Действительно, в решении любой задачи присутствует крупица открытия и прежде, чем совершить большое научное открытие, нужно постоянно работать над небольшими задачами, каждая из которых приближает к решению больших задач, так как большое начинается с малого.
  И сегодня на уроке мы попробуем совершить небольшое открытие, которое будет состоять в решении следующей задачи: найти ГМТ, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F1, F2 есть величина постоянная, большая, чем F1F2.
  Цель нашего урока: выяснить, что за линия удовлетворяет этому множеству и каким уравнением она задается, а также посмотреть применение полученных знаний к решению задач.
  Актуализация знаний учащихся. 
  Прежде чем приступить к решению задачи (небольшому открытию), необходимо вспомнить материал, связанный с ГМТ.
  Что такое ГМТ? (ГМТ – фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающим определенным свойством).
  Какие фигуры, определяются через ГМТ? (Например, окружность – ГМТ равноудаленных от данной; гипербола – ГМТ для каждой из которых абсолютная величина разности до двух данных точек F1 и F2 имеет одно и тоже значение, меньшее, чем F1F2.). 
  При выводе уравнений этих линий была использована формула расстояния между двумя точками 
  Представьте, что вам нужно начертить окружность на песке (циркуля нет). Как, пользуясь только подручными материалами это сделать (описать процесс построения окружности с помощью веревки).
  
  Проведение практической работы. 
  Затем возвращаемся к задаче, которую решаем и пробуем практически выяснить, что это за линия. Сделать рисунок и с помощью него составить план построения линии, проанализировав условие задачи.
  
  Т. о., нужно построить линию, для которой сумма МF1+MF2 постоянная: значения слагаемых меняются (но всегда неотрицательны, т. к. это расстояния между двумя точками), а значение суммы постоянно. Длины отрезков в данном случае удобно измерять с помощью нити. Совместно с учащимися составляется план (по аналогии с построением окружности с помощью веревочки).
  
  Прикрепим концы нити с помощью кнопок к точкам F1 и F2.
  Карандашом натянем нить так, чтобы его острие касалось бумаги.
  Будем перемещать карандаш по бумаге так, чтобы нить оставалась натянутой.
  Вычерчиваем карандашом линию.
  Учащиеся выполняют практическую работу по заранее заготовленным моделям и получают на бумаге линию.
  Получившаяся линия называется эллипсом, учащиеся с ней встречались в курсе черчения. Итак, в тетради записываем число и тему урока: “Эллипс как геометрическое место точек”. В начале урока мы с вами сформулировали цель и задачи: что за линия удовлетворяет данному множеству, мы выяснили, осталось вывести ее уравнение и посмотреть, как применяются полученные знания к решению задач.
  Изучение нового материала. 
  Исходя из поставленной задачи, сформулировать определение эллипса.
  Эллипс – ГМТ, сумма расстояний, от которых до двух заданных точек F1, F2, есть величина постоянная, большая, чем F1F2. Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса. 
  Выведем уравнение эллипса с помощью метода координат: ввести удобным образом систему координат и в ней найти координаты всех задействованных точек.
  Дано: 
  F1F2 = 2с
  М(х; у), f(x, y)=0
  МF1+MF2=2а, 2а>2c
  Найти: f(х, у) = 0.
  Решение:
  1) Введем прямоугольную систему координат так чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси абсцисс, а начало координат совпадало с серединой отрезка F1F2. Тогда F1(–c; 0), F2(c; 0).
  2) .
  .
  3) .
  4), т. е. координаты точки М не удовлетворяют уравнению (*).
  5) Уравнение (*) – уравнение эллипса в выбранной системе координат. Преобразуем его к более простому виду.
  . 
  
  Так как, а2 – с2>0, то пусть а2 – с2 = b2
  
  6) Получили уравнение эллипса , где , которое называется каноническим уравнением. Величины а и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса – т.е., расстояния от центра эллипса до наиболее и наименее удаленных точек. Названия “большая” и “малая” объясняются тем, что а>b. 
  
  
  Ответ: 
  “Эллипс” в переводе с греческого означает “выпадение”, “опущение”. Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса, что в переводе с латинского означает “огонь”, “очаг”. Происхождения этих названий связаны с оптическими свойствами эллипса, которые вы будете изучать в курсе физики.
  Первичное закрепление изученного материала.
  1. Эллипс задан уравнением . Найти длины его полуосей и координаты фокусов.
  2. Составить уравнение эллипса, если известно, что его большая полуось равна 5, а один из фокусов задан своими координатами (–4; 0)
  3. Что будет происходит с эллипсом, если фокусы: а) приближаются друг к другу; б) удаляются друг от друга.
  4. Найти геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух заданных точек F1 и F2: а) меньше заданной величины 2а; б) больше заданной величины 2а.
  5. Для заданных точек А и В найти геометрическое место точек С, для которых периметр треугольника АВС равен постоянной величине 2а.
  6. Исследовать взаимное расположение эллипса и окружности радиуса с центром в начале координат.
  7. Исследовать взаимное расположение эллипса и прямой, проходящей через точки с координатами (1; –1) и (3; 1). 
  Ответы.
  1. а =3; b = 2; с =.
  2. .
  3. а) эллипс приближается к окружности; б) эллипс сжимается к отрезку.
  4. а) точки, расположенные внутри эллипса; б) точки расположенные вне эллипса.
  5. Эллипс с фокусами А и В и двумя выколотыми точками.
  6. Пересекаются в четырех точках , .
  7. Пересекаются в двух точках (0; –2), . 
  Поставить оценки за работу на уроке.
  Подведение итогов урока.
  Как вы знаете, все математические объекты тем или иным способом находят свое применение в практике. Эллипс имеет самое непосредственное отношение к Вселенной. Еще Иоганн Кеплер (1571 – 1630) – немецкий астроном обнаружил, что планеты Солнечной системы движутся вокруг Солнца не по окружностям, как думали раньше, а по эллипсам, причем Солнце находится в одном из фокусов этих эллипсов. Посмотрите какое открытие мы с вами сегодня совершили – решили задачу о множестве точек, а это ГМТ имеет отношение к Вселенной, в которой все существует (и это только задача!).
  Вы обратили внимание на тему “Эллипс как геометрическое место точек”? Что это значит? Может быть, эллипс можно рассматривать иначе? (провести аналогию с рассмотрением гиперболы в курсе алгебры и геометрии). Действительно эллипс можно рассматривать и с другой точки зрения – с точки зрения конических сечений. И не только эллипс, но гиперболу и параболу. В старших классах мы докажем, что эллипс, гиперболу и параболу можно получить как сечение конуса плоскостью. Поэтому их и называют коническими сечениями. Конические сечения изучали еще древнегреческие геометры, и теория конических сечений была одной из вершин античной геометрии. А уравнения этих линий были выведены гораздо позднее, когда стал применяться метод координат.
  Домашнее задание. Составить и решить три задачи по теме урока.
  Подвести итоги урока, обсуждая с учащимися следующие вопросы.
  Что нового вы узнали на уроке? Или, какие моменты для вас были наиболее интересными?
  Какая из задач для вас была наиболее легкой, трудной, интересной?
  Поднимите руки те, кто доволен своей работой на уроке.
  Вернутся к цитате, с которой начинался урок: “Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия”. Еще раз обсудить ее.
  Домашнее задание: №863,864 учебника стр219
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Список использованной литературы.
  1. Геометрия: Доп. главы к шк. учеб. 9 кл.: Учебное пособие для учащихся шк. и Кл. с углубл. изуч. математики / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, И. И. Юдина. – М.: Просвещение, 1997. – 176 с.: ил.
  2. Геометрия для 8 – 9 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и Кл. с углубл. изуч. математики / А. Д. Александров. А. Л. Вернер, В. И. Рыжик. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 1996. – 451 с.: ил.
  3. И. Смирнова, В. Смирнов Геометрия на профильном уровне обучения. Лекция 3 // Математика № 19 – 2006г – стр. 39 – 46. 
  4. Еременко С. В., Сохет А. М., Ушаков В. Г. Элементы геометрии в задачах. – М.: МЦНМО, 2003. – 168 с.
  5. Бобров С. П. Волшебный двурог. Издание 3-е. – М. МЦНМО, 2006. – 512 с.
  6. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика / Глав. ред. М. Д. Аксенова. – М.: Аванта+, 1998. – 688с.: ил.
  
   

   Read more ...

  Автор(ы): Ильина В. В.

  Скачать: Геометрия 10кл - Конспект.docx