Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Название предмета :геометрия
Класс: 11
УМК (название учебника, автор, год издания) Атанасян Геометрия 10-11: М. Просвещение 2015г
Уровень обучения (базовый, углубленный, профильный): базовый
Тема урока: Решение задач по теме «Вектора в пространстве»
Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 7ч
Место урока в системе уроков по теме : урок I раздела Геометрия11: 1 урок
Цель урока: расширить знаний по теме «Вектора в пространстве», умение применить полученные знания на практике.
Задачи урока:
образовательные:
- изучить, что такое “вектор в пространстве", как определяются координаты, вектора, если известны координаты его начала и конца, научитесь решать задачи, связанные с вектором обобщить свои знания о векторах в координатах, узнаете о сложении векторов, вычитании векторов, умножении вектора на число, а также научитесь выполнять эти действия.
развивающие:
- развивать у ребят активность, умение работать с литературой, компьютером, ЦОРами, умение рассуждать, объяснять, делать выводы, творчески мыслить и действовать, работать самостоятельно и в группах;
воспитательные:
- воспитывать чувство ответственности и коллективизма, а также интерес к предмету через современные технологии преподавания.
Техническое обеспечение урока: компьютер, мультимедийный проектор, презентация по теме урока, ноутбуки с выходом в Интернет, интерактивная доска, листы контроля, карточки для проверки формул площадей, карточки с разноуровневыми заданиями, модели многогранников, презентация
ХОД УРОКА
1. Организационный момент.
Приветствие учащихся, проверка готовности класса к уроку, организация внимания учащихся, раскрытие общих целей урока и плана его проведения.
2. Этап актуализации
Открытия, обогащающие математику новыми понятиями, часто приходят из различных областей естествознания. Таким примером является понятие вектора, пришедшее из физики. Например, скорость, ускорение, перемещение, сила являются физическими величинами, которые имеют векторный характер. Впервые понятие вектора появилось в работах немецкого математика 19 века Г. Грассмана и ирландского математика У. Гамильтона; затем его использовали в своих открытиях многие ученые. Современная символика для обозначения вектора была введена в 1853 году французским математиком О. Коши. Применение векторов играет важнейшую роль в современной математике, химии, биологии, экономике и в других науках. Векторы на плоскости были изучены в 9 классе в разделе “Планиметрия”. Сегодня на уроке рассмотрим векторы в пространстве. Определение вектора в пространстве и связанные с ним понятия сходны с определением вектора на плоскости и связанными с ним понятиями.
3. Формирование новых понятий и способов действия.
ВЕКТОР. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ
В пространстве, как и на плоскости, вектором называется величина, которая задается своей длиной и направлением. Вектор изображатеся направленным отрезком, длина которого равна длине вектора. Буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия для векторов в пространстве: абсолютная величина вектора, направление вектора, равенство векторов.
Но это не простое повторение, а обобщение, распространение свойств двумерной геометрии на трехмерную. Если в планиметрии для задания вектора достаточно указать две его координаты, то в стереометрии — три координаты.
Определение.Координатами вектора , начало которого точка A(x1,y1,z1), а конец — точка В(х2, у2, z2), называются числа a1= х2-x1, a2=y2-y1, a3=z2-z1.
Записывают такой вектор, указывая его координаты: (a1 а2, а3) или (a1 а2, а3).
Например, если точкиА(4; 0; 3) и B(0; 6; 4) — начало и конец направленного отрезка , тогда
а1 = 0 - 4 = -4, а2 = 6- 0 = 6, а3= 4 - 3 = 1.
Значит, направленному отрезку соответствует вектор (-4; 6; 1) (рис. 67).
Так же, как и на плоскости, равные векторы имеют соответственно равные координаты и, обратно, векторы с соответственно равными координатами равны. Это дает основание говорить о том, что любой вектор можно отложить от любой точки пространства.
Длину вектора (a1 а2, а3) можно выразить через его координаты. Отложим вектор от начала координат (рис. 68). Тогда четырехугольник OPAN — прямоугольник. Его стороны равны а1и а2, поэтому ОАz2 = а12 + а22. В прямоугольном треугольнике ОА2А второй катет Аz А = а3 иОА2 = ОА2г + а32 = а12 + а22+ а32. Отсюда || =
Длина любого ненулевого вектора — число положительное. Длина нулевого вектора равна нулю.
Вспомним, что два вектора, лежащих на одной прямой или параллельных прямых, называют коллинеарными. Коллинеарные векторы бывают сонаправлены(аb) или противоположно направлены (аb). Если векторы ON и ОМколлинеарны, то точки О, N, М лежат на одной прямой. Нулевые векторы не имеют направлений и считаются коллинеарными к любому вектору.
ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ В КООРДИНАТАХ
Действия над векторами в пространстве осуществляются аналогично тому, как они определялись для векторов на плоскости.
Определение.Суммой векторов a (a1 а2, а3) и b(b1b2, b3) называется вектор а + b с координатами (а1 + b1; а2 + b2; а3 + b3)
Для любых векторов а , b и с справедливы равенства:
1) а+b=b+а — переместительный закон сложения;
2) а + (b + с) = (а+b) + с — сочетательный закон сложения.
Чтобы доказать эти свойства, достаточно сравнить соответствующие
координаты левой и правой частей каждого векторного равенства.
Для любых трех точек А, В, С в пространстве имеет место векторное равенство + = .
Действительно, для любых трех точек A(a1 а2, а3), B(b1b2, b3), C(c1, с2, с3) (b1– а1; b2 - а2; b3 - а3) и (с1 - bг; с2 - b2, с3 - b3).
Отсюда + = (с1– а1; с2 - а2; с3 - а3).
Геометрически сумму двух векторов пространства можно находить, пользуясь правилам треугольника (рис. 69).
Также применяется и правило параллелограмма. Оно часто используется в физике.
Если ABCD — параллелограмм (рис. 70), то + = .
Чтобы найти сумму нескольких векторов, используем правило многоугольника. Например, если в пространстве даны точкиА, В, С, D, Е, F, то всегда
АВ + ВС +CD + DE + EF = AF.
Определение.Два вектора, сумма которых равна нулевому вектору, называются противоположными.
Из определения следует, что у противоположных векторов соответствующие координаты имеют противоположные знаки.
Определение.Разностью векторов а и b называется такойвектор с , который в сумме с вектором b дает вектор а .
Если а (а1; а2; а3) и b(b1; b2; b3), то -= (а1–b1;а2 - b2; а3 – b3).
Определение.Произведением вектора (a1; а2; a3) на число kназывается вектор
k = (kа1; k а2; kа3).
Из определения вытекают следующие свойства:
1) k( + ) =k + k,
2) (т + n) • =т+п и равенство | k • | = | k |•| | (здесь k, т, п — числа).
Ненулевые векторы а и bколлинеарные тогда и только тогда, когда найдется такое число х, что выполняется равенство = х . При этом число х единственно.
4. Применение. Формирование умений и навыков.
Работа по учебнику стр 86. № 320,321(а), 322 . стр 98, №1,2,3,4,5
Контроль за выполнением заданий. Дифференцированная помощь учащимся.
5. Домашнее задание. п.п.38-39. № 321(б), 323
6.Подведение итогов урока.
Мы с вами должны вспомнить понятие вектора на плоскости и определить основные понятия для векторов и заполнить таблицу “Векторы в пространстве»
Название определения
Формулировка определения
Запись
Вектор
Нулевой вектор
Одинаково-направленные (сонаправленные)
Противоположно-направленные
Коллинеарные векторы
Абсолютная величина
Равные векторы
7.Рефлексия.
Что называют вектором?
Выполняется ли правило параллелограмма и правило треугольника в случае сложения векторов в пространстве?
Сформулируйте правило параллелепипеда для сложения векторов в пространстве?
Какие векторы называются равными?
Какие векторы называются сонаправленными в пространстве; противоположно направленными в пространстве?
Автор(ы):
Скачать: Геометрия 10кл - Конспект Решение задач по теме «Вектора в пространстве».docxАвтор(ы):
Скачать: Геометрия 10кл - Приложение.pptx
