Элементы симметрии правильных многогранников

Текст урока

• Конспект

   Геометрия  10 класс
  Геометрия. 10-11 классы : учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.], 2012 год
  Уровень обучения базовый
  Тема урока: Элементы симметрии правильных многогранников.
  Общее количество часов, отведенных на изучение темы: 14 часов
  Место урока в системе уроков по теме: 10 урок
  Цель урока: развитие личности учащегося на основе усвоения предметных знаний.
  Задачи урока: 
  1) ознакомить учащихся с симметрией в пространстве;
  2) ввести понятие «правильного многогранника»;
  3) рассмотреть все пять видов правильных многогранников;
  4) решение задач с правильными многогранниками.
  
  Планируемые результаты: 
  Знать: виды симмет­рии в пространстве. 
  Уметь: определять центры симметрии, оси симметрии, плоскости симметрии для правильных многогранников.
  Техническое обеспечение урока: 
  Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на интернет-ресурсы)
  Содержание урока
  1. Мотивация и стимулирование учебной деятельности.
  «Раз, стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия приятна для глаз? Что такое симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе. На чем же оно основано? Разве во всём в жизни есть симметрия?»                                           
  2. Л. Толстой «Отрочество»
  2. Актуализация опорных знаний.
  Самостоятельная работа
  №1
  
  №2
  
              .
  
  3.Постановка целей и задач урока.
  
  1. Раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. (Стереометрия)
  2. Преобразование пространства, сохраняющее расстояние между соответствующими точками. (Изометрия)
  3. Фигура, образованная простой замкнутой ломаной и ограниченной ею частью плоскости, называется…(Многоугольник)
  4. «Геометрическое тело», поверхность которого состоит из многоугольников называется…(Многогранником)
  5. Через две пересекающиеся прямые проходит…плоскость.(единственная)
  6. Утверждения, которые необходимо доказать, называются…(Теорема)
  7. Как называются два двугранных угла, если они имеют одну и ту же величину? (равными)
  8. Плоскости, которые… хотя бы одну общую точку, называются пересекающимися.(имеют)
  9. Что вы видите на рисунке? (Прямая)
  - Ребята! Сформулируйте тему нашего урока.
  - Какие цели поставим перед собой?   
  4. Изучение нового материала
  Давайте еще раз вспомним, какие многогранники называются правильными.
  Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.
  Существует только пять правильных многогранников: правильный тетраэдр, правильный гексаэдр или куб, правильный октаэдр, правильный икосаэдр, правильный додекаэдр.
  Теперь вспомним, основные виды симметрии: центральная – симметрия относительно точки, осевая – симметрия относительно прямой, зеркальная – симметрия относительно плоскости.
  Еще вспомним, что элементами симметрии многогранника называют центр симметрии, ось симметрии, плоскость симметрии.
  На сегодняшнем уроке мы попробуем подсчитать, сколько элементов симметрии есть у каждого из правильных многогранников.
  Начнем мы с правильного тетраэдра.
  У правильного тетраэдра нет центра симметрии.
  Осью симметрии правильного тетраэдра является прямая, проходящая через середину двух противоположных ребер. То есть правильный тетраэдр имеет три оси симметрии.
  Плоскостью симметрии правильного тетраэдра будет плоскость, проходящая через ребро, перпендикулярно к противоположному ребру. То есть правильный тетраэдр имеет шесть плоскостей симметрии.
  
  Теперь перейдем к кубу или правильному гексаэдру.
  Центром симметрии куба является точка пересечения его диагоналей.
  Осями симметрии будут прямые, которые проходят через центры противоположных граней или середины противоположных ребер. Поскольку грани гексаэдра – квадраты, значит, оси симметрии будут проходить через точки пересечения диагоналей противоположных граней. То есть у куба девять осей 
  симметрии. Все оси симметрии проходят через центр симметрии.
  Проводя через каждые две оси симметрии плоскость, мы получим плоскость симметрии куба. То есть у куба девять плоскостей симметрии.
  
   
  
  Теперь давайте перейдем к правильному октаэдру.
  Но начнем мы не с центра симметрии, а с осей симметрии. Осями симметрии 
  правильного октаэдра будут прямые, которые проходят через противоположные вершины октаэдра и прямые, которые проходят через середины противоположных ребер. То есть у октаэдра девять осей симметрии.
  Точка пересечения осей симметрии октаэдра будет центром симметрии.
  Плоскостями симметрии октаэдра будут плоскости, которые проходят через каждые четыре вершины октаэдра. Таких плоскостей три. И плоскости, которые 
  проходят через две вершины, не лежащие в одной грани, и середины противоположных ребер. Таких плоскостей шесть. То есть у правильного октаэдра девять плоскостей симметрии.
  
   
  Теперь давайте рассмотрим правильный додекаэдр.
  Осями симметрии додекаэдра будут прямые, проходящие через середины противоположных параллельных ребер. Их пятнадцать. То есть у правильного додекаэдра пятнадцать осей симметрии.
  
  Центром симметрии правильного додекаэдра будет точка пересечения всех осей симметрии.
  Плоскости, проходящие в каждой грани через вершину и середину противолежащего ребра будут плоскостями симметрии.
  
  Таких плоскостей пятнадцать. То есть у правильного додекаэдра пятнадцать плоскостей симметрии.
  Теперь перейдем к правильному икосаэдру.
  Осями симметрии правильного икосаэдра являются прямые, которые проходят через середины противолежащих параллельных ребер. Таких прямых пятнадцать. То есть у правильного икосаэдра пятнадцать осей симметрии.
  
  Центром симметрии правильного икосаэдра является точка пересечения всех осей симметрии.
  Плоскости симметрии правильного икосаэдра проходят через четыре вершины, которые лежат в одной плоскости, и середины противоположных ребер. Таких плоскостей пятнадцать. То есть у правильного икосаэдра пятнадцать плоскостей симметрии.
  
  
  
  5.  Первичное закрепление.
  
  № 276-278 (устно)
  
  6. Творческое применение и добывание знаний в новой ситуации (проблемное задание)
  Упражнения.
  
  № 279 (решается самостоятельно с последующей проверкой у доски).
  Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб. А1В и A1C1 - диагонали граней куба, имеющие общий конец.
  Найти: ∠ВА1С1.
   
  
   
  Решение:
  1) Пусть а - ребро куба. Так как все грани куба - равные квадраты, то диагонали граней равны 
  2) ΔA1B1Q - равносторонний, значит, ∠BA1C1 = 60°. (Ответ: 60°.)
  № 281 (для ранения ученик вызывается к доске).
  Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб. D1A, D1C, D1B — диагонали граней.
  Доказать: D1AB1C - правильный тетраэдр.
  Найти: 
   
  
   
  Решение:
  1) Все грани куба - равные квадраты. Диагонали граней куба, являющиеся ребрами тетраэдра, равны. D1AB1C — правильный.
  2) Пусть а - сторона куба. Значит, из ΔАВС:  - ребро тетраэдра.  
  3)  (Ответ: √3.)
  № 287 (для решения ученики вызываются к доске)
  Дано: ABCDEF - правильный октаэдр; АВ = а.
  Найти: a) BD; б) KL - расстояние между центрами двух смежных граней; в) НМ - расстояние между противоположными гранями.
   
  
   
  Решение:
  а) Расстояние между противоположными вершинами для всех вершин одинаково. ΔABD - прямоугольный; 
   
  
   
  
   
  б) Расстояние между центрами двух смежных граней одинаково для всех смежных граней.
  1) В грани DEA проведем высоту ЕР, в грани АЕВ проведем высоту EQ. Точки К, L - центры граней. KL - расстояние между центрами граней.
  2) В плоскости РОЕ проводим KN ⊥ PO; в плоскости EQO проводим LM ⊥ QО. Тогда MN - проекция искомого отрезка KL на основание, KLMN - прямоугольник.
  3) В ΔРЕН по теореме косинусов  ΔЕНВ - прямоугольный.  
  4) РК - радиус окружности, вписанной в правильный ΔEAD;
  
  5) ΔNOM - прямоугольный и равнобедренный.  Тогда 
   
  
   
  в) 1) Проведем через середину квадрата ABCD РН || АВ. FH ⊥ BC, EP ⊥ AD.  грани AED и FBC параллельны
  2) Плоскость (РЕН) ⊥ плоскости (FBC). В плоскости (РЕН) проведен отрезокMN ⊥ РЕ.
  3) (РЕН) ⊥ AD ⇒ НМ ⊥ AD, НМ ⊥ РЕ, значит, MH ⊥ (AED) и МН ⊥ (FBC). Значит, НМ - искомое расстояние.
  4)  
  (Ответ: )
  Вопросы по математике:
  1. Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются:
  
  а) сторонами многогранника; б) ребрами многогранника; в) гранями многогранника 
  
  2. Какое наименьшее число граней может иметь многогранник?
  
  а) 3; б) 4; в) 6
  
  3. Диагональ многогранника - это отрезок, соединяющий
  
  а) две вершины многогранника, б) две вершины многогранника, не принадлежащие одной грани; в) две вершины грани многогранника 
  
  4. Площадь боковой поверхности призмы вычисляется как:
  
  а) произведение периметра основания на высоту; б) произведение периметра основания на боковое ребро; в) сумма площадей ее боковых граней
  
  5. В основании правильной треугольной призмы лежит треугольник:
  
  а) прямоугольный; б) остроугольный; в) тупоугольный
  
  6. площадь боковой поверхности куба с ребром 10см равна:
  
  а) 40см²; б) 400см; в) 400см²;
  
  7. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит
  а) квадрат; б) прямоугольник; в) ромб
  
  ОТВЕТЫ: 1 – в, 2 – б, 3 – б, 4 – в, 5 – б, 6 – в, 7 – а.
  
  
  6. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.
  Запись на доске и в дневниках: п. 37, № 283, 286
  
  
  
  7. Итог урока. Рефлексия деятельности учащихся.
  синквейн
  
  
   

   Read more ...

  Автор(ы): Бисалиева А. А.

  Скачать: Геометрия 10кл - Конспект.docx