Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Методический электронный образовательный центр Министерства образования Оренбургской области и Оренбургского государственного университета
Конспект урока по геометрии (базовый уровень) для учащихся 10 класса. Название предмета: геометрия Класс: 10 УМК : Атанасян, Л.С. Геометрия, 10 – 11:Учеб. для общеобразоват. Учреждений: базовый и профил. уровни / Л.С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – 21-е изд. – М.: Просвещение, 2012. - 255 с. Уровень обучения: базовый. Тема урока: Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости. Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 5 ч. Место урока в системе уроков по теме: 1-й урок урок усвоения новых знаний. Техническое обеспечение урока: проектор, компьютер, учебные плакаты, модели геометрических фигур. Цель: Образовательная: ввести понятие перпендикулярных прямых в пространстве; доказать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой; дать определение перпендикулярности прямой и плоскости; доказать теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости; научить применять изученные понятия и теоремы при решении задач. Развивающая: Формирование следующих мыслительных операций – анализ, синтез, сравнение, обобщение. Формирование и развитие поисково-познавательной деятельности. Воспитательная: Формирование положительной мотивации учения. Воспитание внимания и умения работать в коллективе. Развитие умения слушать и высказывать свою точку зрения. Планируемые результаты: Учащиеся научатся: определять понятия перпендикулярных прямых в пространстве; формулировать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой; понимать определение перпендикулярности прямой и плоскости; изучат теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости; Учащиеся получат возможность: применять определение понятия перпендикулярных прямых в пространстве при решении задач; доказывать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой; применять лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой при решении задач. доказывать теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости; применять теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости при решении задач. Методы: репродуктивный, индуктивно-репродуктивный, дедуктивно-репродуктивный. Литература: 1. Атанасян, Л.С. Геометрия, 10 – 11:Учеб. для общеобразоват. Учреждений: базовый и профил. уровни / Л.С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – 21-е изд. – М.: Просвещение, 2012. - 255 с. 2. Гаврилова , Н. Ф. Поурочные разработки по геометрии, 10 класс: пособие для для общеобразоват. учреждений / Н. Ф. Гаврилова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ВАКО, 2010. – 304 с. Этап урока Деятельность учителя Деятельность учащихся Запись на доске и в тетрадях I Организационный момент (1 мин). Приветствие учителем учащихся, проверка готовности кабинета и учащихся к уроку, проверка отсутствующих. Сообщение темы урока, формулирование цели урока. Учитель. Мы приступаем к изучению новой главы «Перпендикулярность прямых и плоскостей». Сегодня на уроке введем понятие перпендикулярных прямых в пространстве; докажем лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой; дадим определение перпендикулярности прямой и плоскости; докажем теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости; научимся применять изученные понятия и теоремы при решении задач. Тема урока «Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости». Число. Классная работа. Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости. II Актуализация знаний (7 мин). Учитель. Вспомним, какие прямые на плоскости называются перпендикулярными? Ученик. Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла. Учитель. Обратите внимание на доску. Дан параллелепипед ABCD, ∠BAD=300. Найдите углы между прямыми АВ и ; и AD; AB и . Ученик. Углы между прямыми АВ и ; и AD; AB и равны соответственно 30о, 30о, 150о. III Изучение нового материала (15 мин). Учитель. Рассмотрим модель куба. Учитель. Как называются прямые АВ и ВС? Учитель. Найдите угол между прямыми А и DC; В и AD. Ученик. Прямые АВ и ВС перпендикулярные. Ученик. Углы между прямыми А и DC; В и AD равны 90о. Учитель. Значит эти прямые тоже перпендикулярные. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90о. Перпендикулярность прямых а и b обозначается так: а b а b Учитель. В пространстве перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. Рассмотрим прямые А, С и DC. Прямая А параллельна прямой С, а прямая С перпендикулярна прямой СD. Нами установлено, что А перпендикулярна СD. А‖С, С⊥СD, А⊥СD Учитель. Попробуйте сформулировать это утверждение. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. Дано:a ‖ b, a ⊥ c Доказать: b ⊥ c Доказательство: Учитель. Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. Учитель. Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как а ⊥ с, то ∠АМС=90о. а ⊥ с, то ∠АМС=90о Учитель. По условию, b ‖ a, а по построению а ‖ МА, поэтому b ‖ МА. b ‖ a (по условию), а ‖ МА(по построению)→ b ‖ МА Учитель. Прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между ними равен 90о. b ‖ МА, с ‖ МС, угол между МА и МС равен 90о. Учитель. Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90о, то есть b ⊥ с. Лемма доказана. b ⊥ с. Лемма доказана. Учитель. Рассмотрим модель куба. Учитель. Найдите угол между прямой А и прямыми плоскости (АВС): АВ, AD, AC, BD, MN. Все углы равны 90о. Учитель. Итак, прямая А перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости (АВС). Такие прямые называются перпендикулярными. Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. а ⊥ α Учитель. Окружающая нас обстановка дает много примеров, иллюстрирующих перпендикулярность прямой и плоскости. Не покосившийся телеграфный столб стоит прямо, то есть перпендикулярно к плоскости земли. Также расположены колонны здания по отношению к плоскости фундамента, линии пересечения стен по отношению к плоскости пола и т.д. Докажем две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью и перпендикулярностью к плоскости. Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. Дано: а ‖ , а ⊥ α Доказать, что ⊥ α Доказательство: Учитель. Проведем какую-нибудь прямую x в плоскости α. x ∊ α Учитель. Так как а ⊥ α, то а ⊥ x. Так как а ⊥ α, то а ⊥ x. Учитель. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей ⊥ x. ⊥ x (по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей) Учитель. Таким образом, прямая перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т. е. ⊥ α. Теорема доказана. ⊥ α. Теорема доказана. Учитель. Докажем обратную теорему. Теорема. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. Дано: а ⊥ α, b ⊥ α Доказать, что а ‖ b Доказательство Учитель. Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую , параллельную прямой а. М ∊ b, M ∊ , ‖ a Учитель. По предыдущей теореме ⊥ α. ⊥ α. Учитель. Докажем, что прямая совпадает с прямой b. Тем самым будем доказано, что а ‖ b. Допустим, что прямые и b не совпадают. Тогда в плоскости β, содержащей прямые b и , через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости α и β. Но это невозможно, следовательно, а ‖ b. b ∊ β, ∊β, α β=c (невозможно)→ а ‖ b. IV Первичное закрепление материала (17 мин). Задача №117. В тетраэдре АВСD ВС⊥AD. Докажите, что AD⊥MN, где М и N – середины ребер АВ и ВС. (ученик работает у доски) Дано: ABCD – тетраэдр; М ∊ АВ: АМ=ВМ, N ∊ АС: АN=NC; ВС⊥АD Доказать: AD⊥MN Доказательство: Учитель. Что можем сказать о параллельности прямых MN и ВС? Ученик. MN – средняя линия треугольника АВС, следовательно прямые MN и ВС параллельны. Ученик. По лемме, так как ВС⊥AD, то MN⊥AD. MN – средняя линия АВС MN ‖ BC. Т. к. ВС⊥AD(по лемме)⇒ MN⊥AD. Задача №120. Через точку О пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна а, проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК=b. Дано: АВСD – квадрат, АВ = а, АС∩BD = О, ОК⊥(АВС), ОК=b. Найти: АК, ВК, СК, DK Решение: Учитель. Что можно сказать о равенстве треугольников АОК, ВОК, СОК, DОК? Ученик. Треугольники АОК, ВОК, СОК, DОК равны по двум катетам, так как прямая ОК – перпендикуляр к плоскости квадрата АВСD, ОК⊥АС, ОК⊥BD ОК⊥(АВС) → ОК⊥АС, ОК⊥BD; ∆ АОК= ∆ ВОК= ∆ СОК= ∆ DОК (по двум катетам.) Учитель. Тогда, что можно сказать о равенстве отрезков АК, ВК, СК, DK? Ученик. Отрезки АК, ВК, СК, DK равны. АК=ВК= СК= DK Учитель. Применяя какую теорему, можно найти стороны в прямоугольном треугольнике? Ученик. Применяя теорему Пифагора. . Ответ: АК=ВК= СК= DK=. V Подведение итогов урока (4 мин). Учитель. Какие две прямые в пространстве называются перпендикулярными? Ученик. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90о. Учитель. Какую лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой мы изучили? Ученик. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. Учитель. Какие две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости, мы изучили? Ученик. Т1.Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. Т2. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. VI Домашнее задание (1 мин). П.15 – 16, вопросы 1, 2 (стр. 57), №116, 118.
Автор(ы): Акимова С. А.
Скачать: Геометрия 10кл - Конспект.docxУрок 32 ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ К ПЛОСКОСТИ Цели: доказать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой; дать определение прямой, перпендикулярной к плоскости. Задачи: сформировать навык определения перпендикулярных прямых в пространстве. Планируемые результаты: Знать: определение перпендикулярных прямых, теорему о параллельных прямых, перпендикулярных к третьей прямой; определение прямой, перпендикулярной к плоскости, и свойства прямых, перпендикулярных к плоскости. Уметь: распознавать на моделях перпендикулярные прямые в пространстве; использовать при решении стереометрических задач теорему Пифагора. Ход урока I. Повторение пройденного материала. Актуализация знаний. Цель – повторить, как определяется угол между прямыми в пространстве. Дано: ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед. BAD = 30°. Найдите угол между прямыми АВ и А1D1; А1В1 и AD; АВ и В1С1. BAD = 90°. Докажите, что ВС B1C1 и AB A1D1. АDD1 = 90°. Докажите, что AB CC1и DD1 A1B1. II. Объяснение нового материала. Рассмотрим модель куба. Как называются прямые АВ и ВС? Какие прямые называются перпендикулярными? Найдите угол между прямыми АА1 и DC; ВВ1 и AD. Эти прямые тоже перпендикулярные. В пространстве перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. Рассмотрим прямые АА1, СС1 и DC. Прямая АА1 параллельна прямой СС1, а прямая СС1 перпендикулярна прямой CD. Нами установлено, что АА1 перпендикулярна CD. Сформулируйте это утверждение. Формулируется и доказывается лемма. III. Решение задач. № 117. Рассмотрим модель куба. Найдите угол между прямой АА1 и прямыми плоскости (АВС): АВ, AD, АС, BD, MN. Вывод: прямая АА1 перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости (АВС). Такие прямая и плоскость называются перпендикулярными. Дайте четкое определение прямой, перпендикулярной к плоскости. Докажите, что если прямая а перпендикулярна к плоскости α, то она пересекает эту плоскость (см. п. 16). Доказать две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости. № 120. Дано: ABCD – квадрат, АВ = а, АС BD = О, ОK (АВС), ОK = b. Найдите: АK, ВK, СK, DK. 1. Доказать, что АK = ВK = СK = DK. 2. AK =. Домашнее задание. Теория (п. 15, 16). №№ 118, 121. (Указание: медиана, проведенная в прямоугольном треугольнике к гипотенузе, равна ее половине.)
Автор(ы): Солдатова Е. В.
Скачать: Геометрия 10кл - Конспект.docx
