Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах

Текст урока

• Конспект

   Урок 37
  РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ
  Цели:  ввести понятие расстояния от точки до плоскости; перпендикуляра к плоскости из точки; наклонной, проведенной из точки к плоскости; основания наклонной; проекции наклонной; рассмотреть связь между наклонной, её проекцией и перпендикуляром.
  Задачи: формировать навык нахождения расстояний в пространстве
  Планируемые результаты: Иметь: представление о наклонной и ее проекции на плоскость. Знать: определение расстояний от точки до плоскости, от прямой до плоскости, расстояние между параллельными плоскостями. Уметь: находить наклонную или ее проекцию, применяя теорему Пифагора. 
  Ход урока
  I. Устная работа.
  1. Верно ли утверждение: «Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости»?
  2. Верно ли утверждение: «Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости»?
  3. Как расположены по отношению друг к другу ребра, выходящие из одной вершины куба?
  4. Как расположены плоскости верхней и нижней граней по отношению к боковым ребрам?
  5. Что можно сказать о двух (трех, четырех) прямых, перпендикулярных к одной плоскости?
  6. Верно ли утверждение: «Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны»?
  II. Объяснение нового материала.
  
  Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости? (Как кратчайшее расстояние от точки до прямой, как длина перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.) Вспомнить, как называются отрезки АМ, МН. Определить расстояние от точки до плоскости (п. 19). 
  
  III. Решение задач: №№ 138 (а), 139, 140, 143.
  № 143.
  
  Дано: Δ АВС – правильный, АВ = 6 см, М (АВС), АМ = ВМ = СМ = 4 см.
  Найдите расстояние от М до (АВС).
  Решение
  Опустим перпендикуляр МО к плоскости (АВС).
  1. МО (АВС).
  2. Δ АОМ = Δ ВОМ = Δ СОМ  (как  прямоугольные  по  гипотенузе  и катету)  АО = ВО = СО, то есть О – центр описанной около Δ АВС окружности.
  3. R =,  R =см.
  4. Δ МОС – прямоугольный, МО == 2 см.
  Если точка равноудалена от всех вершин многоугольника, то во что она проецируется на его плоскости?
  Составьте обратное утверждение для № 143.
  Докажите, что любая точка прямой, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через центр описанной около него окружности, равноудалена от всех его вершин. (Для доказательства можно использовать тот же рисунок.)
  Верно ли утверждение: «Любая точка прямой, проходящей через центр описанной около многоугольника окружности перпендикулярно к плоскости этого многоугольника, равноудалена от всех его вершин» (№ 200).
  Далее определяется расстояние между двумя параллельными плоскостями, между плоскостью и параллельной ей прямой (№ 144), между скрещивающимися прямыми (п. 19). Делаются соответствующие рисунки.
  IV. Актуализация знаний.
  
  1. Дано: AD (АВС), АВ = 5, АС = 4, СВ = 3, AD = 6.
  Определите вид Δ АСВ.
  Найдите DC и DB.
  AD – перпендикуляр к плоскости, DC – наклонная, AC – проекция этой наклонной на плоскость (АВС).
  По условию задачи проекция АС перпендикулярна прямой СВ, проходящей через основание наклонной – точку С.
  Вы доказали, что и наклонная DС перпендикулярна прямой СВ.
  Сможем ли мы доказать это утверждение без метрических данных?
  
  2. Дано: AD (АВС), АСВ = 90°.
  Доказать, что: а) AD CB;
  б) СВ (ADC); в) СВ CD.
  Какое утверждение вы доказали? Это утверждение получило название теоремы о трех перпендикулярах.
  Учитель формулирует теорему о трех перпендикулярах. Доказывает её вместе с учащимися.
  Сформулируйте обратную теорему, докажите ее (№ 153).
  V. Решение задач: №№ 145, 146, 147.
  VI. Домашнее задание: теория (п. 20), №№ 148, 149, 150.
  № 150. 
  
  Дано: ABCD – прямоугольник,
  АK (АВС), KD = 6 см, KВ = 7 см,
  KС = 9 см.
  Найдите ρ (K, (АВС)), ρ (АK, CD).
  Решение
  1. ρ (K, (АВС)) = АK.
  2. 
  3. Δ KВС – прямоугольный. CB =см.
  4. Δ AKD – прямоугольный. AK == 2 см.
  5. ρ (АK, CD) = АD; AD = 4см.
  
   

   Read more ...

  Автор(ы): Солдатова Е. В.

  Скачать: Геометрия 10кл - Конспект.docx